理论力学课第一次习题课讲义-北航

第一次习题课讲义

第一次习题课分为两部分内容，第一部分是两个作业题，意图通过它们讲述作业中所发现和需要解决的问题，第二部分是六个习题，意图通过它们介绍解题的思路、方法以及解题步骤。而整个习题课围绕“关联”的概念，讲述已知运动信息与待求运动信息间的关联，并有次形成解题的契机，步步为营，直至得到最终结果。下面便是本次习题课的主要内容。

不管是在理论力学还是数学，抑或是物理等其它学科中，碰到一个问题，第一步是分析问题，分析问题性质，找出待求量与已知信息间的关联，然后根据不同的问题性质，用相应的方法予以解决。在而实际上任何问题的分析方法也都大同小异，重要的在于总结，对不同类的问题进行归纳整理，使相应问题的基础和方法系统化、条理化。

第一个题是第一次作业的1-15，从作业可以看出它的困难在于计算的繁复，利用解析法，在极坐标系下，最后速度大小的计算是两个两项和的平方和，而加速度却是两个四项和的平方和。

1-15 杆AB长为L，M在AB杆上，AM长为b。A端以均速vA沿直线导轨CD运动，杆AB始终穿过套筒O，套筒与导轨相距为a。取O为极点，试用极坐

标r,?表示M点的速度和加速度。

分析：此题要求解的是M点的运动信息，而已知的是点A的运动信息，那我们的目的就是要设法建立这两点之间的关联，并且利用这一关联求解出M的速度及其加速度。而且此题明确了解题方法，那就是极坐标法，因此问题就是一个在极坐标方法中怎么描述点的运动的问题。

解：如图所示，对A点：rA(t)??A(t)e?(t)……………A点的极坐标表达式，定义式而已

对M点：rM(t)??M(t)e?(t)………….M点的极坐标表达式，定义式而已

同时A点和M点在空间位置上的关系为：

?M??A?b……………………………点M与点A之间的关联

)be?t(从而有 rM(t)?rAt(? )于是点M的速度为

?e??vAsin?e??(vAcos??b??)e? 这其实就是第二章所讲的vM(t)?vA(t)?b?基点法

于是点M的加速度为

??e?-b??2e??aM(t)?aA(t)?b???e?-b??2e? ??aM(t)?b?aA(t)?0? …….…大小只是两项的平

方和

?,??? 再求?由几何关系可知：

?A(t)?a cos??A(t)? ???sin??a??vAsin? 2cos?vAcos2??? ?a?求一次导： 再对??co??2vA?ssin??2vAsin?co3s????? ? 2aa2

代入vM,aM经运算可得：

vM?aMvAa2sin2??r2cos4? abvA2?2cos3?1?3sin2? a

第二个题是第二次作业中的补充题2，重点在于分析定点运动中瞬时转动轴的确定及其角加速度的计算。

补充作业题2.半径为10cm的圆盘EDF用轴承装在曲杆BCD上，曲杆可绕铅垂轴AB转动，如图所示。已知

BC?7.5cm，CD?53cm,曲杆绕AB

轴转动的角速度ω= 10 rad/s，圆盘与固

B′ D′ 定水平面接触点E处无滑动。试求：(1). 圆盘EDF的角速度及角加速度；(2). 圆盘边缘上点F的速度及加速.

分析：要求解的是圆盘EDF的运动信息，实质上这是一个定点运动问题，因此，

我们第一步必须判断出定点的所在，继而得到它的瞬时转动轴，也就是它角速度所在的方向。而我们已知的是曲杆BCD的运动，那么我们必须试图建立已知运动与未知运动信息之间的关联，同时参与两种运动的点就是这个问题中关联点，也就是点D。

解：实质上圆盘EDF在做定点运动，定点是

DC延长线与Z轴的交点O，此外 vE?0， 所以EDF的瞬时转动轴就是OE连线。 1) 求角速度和角加速度：

?rOE?1?3??EDF??EDF???(?i?k)

rOE22假设曲杆BCD向里旋转，即 ???EDF?10k 同时由关联点D有

vD??BCDDB'??EDFDD'??EDF?103问题：定点的确定，是DC延长线与Z轴的交点，为什么不是点B？点B是否是EDF上的点呢？ 回答：这时我们考虑刚体的性质，刚体隐含的是其上任意两点的距离在运动中保持不变，假如点B是刚体EDF上的点，我们考察B、E的距离，在此时BE如图示，那么假设E运动到F点的位置，则BE’＝BF≠BE,因此，点B不是刚体EDF上的点，也不是其延拓部分上的点。 问题：定点运动中，角加速度怎么计算？ 回答：角加速度是角速度矢量端点的运刚体上任意一点的运动信息由定点运动公

动速度，此时将角速式可得：

度矢量虚拟成一刚2）求F的速度及加速度

体，考察它的运动，

本题中，角速度矢量????vF??EDF?rOF?????????vF?(?53i?15k)?20i?300j刚体自身在做定轴?rOF?20i?????转动，所以先求角速???????aF??5003k?4500iaF??EDF?rOF??EDF?vF?度矢量的角速度。

求角加速度：是角速度矢量端点的运动速度， 将角速度矢量虚拟成一刚体，本题中，角速 度矢量刚体自身在做定轴转动：

?????????'??BCD??EDF??'??EDF??BCD??EDF?503j

第二部分是六个习题，这六个习题中每个题目都能代表一类问题，但最

重要的是我们在这里引入的“关联”的概念，大家在下面也会进一步看到，那些既参与已知运动又属于未知运动体的点或者刚体，就成为“关联点”或者“关联体”，它们成为整个题目分析的中心和研究对象。建立未知运动和已知运动之间的关系是整个解题过程的关键，也是解题的出发点和契机所在。

1．杆AC在导轨中以匀速v平动，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为l。求图示瞬时杆AB的角速度和角加速度。

分析：首先分析一下问题的性质，以此确定问题A 的解法。要求解的运动是杆AB的运动，所以这是C 一个刚体的一般平面运动问题，因此，平面运动的解法均可使用，我们不妨把基点法、瞬心法和速度投影定理归为一类解法，因为，瞬心是个特

l 殊的基点，而速度投影定理则可视为基点法的一

w 个推论。此外，这个问题在结构上比较简单，而B且几何关系也比较清晰，因此，可以使用解析法O 进行解题。而如果我们正好站在导套O上看点A，X 我们又会发现A点的相对导套的运动也很简单，是沿直线的运动，因此本题还可以运用点的复合*C B 运动去求解。我们为什么要看点A而不是其它点

呢？是因为我们已知的是杆AC的运动，而要求解

的是AB的运动，同时参与这两个运动的点只有A，它就是前面所说的关联点。所以点A是中心。

法一：瞬心法

解：i.研究对象AB，第一步确定其瞬心C*,如图： ii．确定几何尺寸：

C Y 6v A l B O

AO?lsin?AC*?AOl ?sin?sin2?iii．计算角速度和角加速度：

vAsin2?3v??AB??????60???l?AB4lAC* ???2 ?33vv?vv?sin2?A???AB??AB?A????8l2?lvA

法二：解析法（最基本但有时比较繁琐而本题比较简便的方法）

解：研究对象A，A受到杆AB的约束，所以，它的位置与转角关联，

以O为坐标原点，水平方向为X皱，竖直方向为Y轴建立直角坐标系，如图示。因A的y坐标不发生变化，所以其x坐标为

2vsin???????3vl?w?2?A??l??csc?xA?lctg??xv??sin2????AB4l?? ?????2 33v?l又?xA＝v???AB???60???8l2???

法三：复合运动理论（相对运动和牵连运动比较简单）

解：1).选择动点、建立动系：动点：点A；动系：固结在导套O上

2).分析三种运动：

相对运动：沿直线AO的直线运动 牵连运动：绕点O的定轴转动 绝对运动：沿直线AC的直线运动 3).计算： 速度：

ve v ???vA?ve?vr??vA??vi3v 21vr?vAcos??v2v3v?AB?e?AO4l

ve?vAsin??θ vr 加速度： aet ????n??ar

aA?ae?ae?ar?ac 各加速度方向如图示 ac 大小分析：

??a？ a?0已知e＝?AOAaen ? aen＝?2AO可直接计算

?? ac＝2?vrar＝？可直接计算

往AO垂直连线投影得

3v2?ae?ac?2?ABvr??4l?233vl2l????2AO??8lsin?3???ae??AO??

注：点的复合运动理论或刚体的复合运动理论，都只是一种用以分析和解决问题

的方法，不是你非得这样用，也并非只有它才能解决问题，而是因为使用它能使得问题得以简化，也就是使一个绝对运动较复杂的问题转化为一个相对运动和牵连运动都易解决的问题。理论上动点可任意选择，但一经选定则不可再变化，因此对于一些变化的接触点不宜选作动点，而且实际中有一个准则，那就是最简原则，怎样的动点，怎样的动系，能使得问题最便于解决，这就是选择方案。一般而言，我们要保证相对运动比较简便。

?BC?vBBPAC?BP??AB?cos45?? AC?ABcos45??BCcos???17???BP?m??2?34?2?10sin???ABBCm??6??AC?????20sin?sin45??34???cos????6?????BC?1017rad/s 17求角加速度：（基点法）

已点B为基点，考察点C的运动

n??aCB aC?aB?aCB 2AB aB??ABn2aCB??BCBC???? n??aBsin45??aCBsin??aCBcos??0?1600?2????rad/s?BC?aCB??BCBC?1717?aB tnaCB aCB ?aCB??BCBC??

2).求aGF：(点的复合运动理论)

动点就选点F，动系固结在杆BC上

绝对运动是沿竖直方向的直线运动 相对运动是沿BC的直线运动

牵连运动是平面运动，所以牵连加速度用基点法求解得到

因为科氏加速度ak与相对速度相关，因此

先求相对速度：

??????vF?ve?vr?vB?vFB?vr

aB anFB atFB ak aF ar 92?6m/s34向x轴方向投影：vFB??BCBC?vBcos45??vFBsin??vrcos??0?vr???

96?923417??m/s?????n?a? aF?ae?ar?ak?aB?aFBFB?ar?ak

aB??2ABn2aFB??BCBFa?FB??BCBFar??ak?2?BCvraF??

向a?FB方向投影有

aFcos???aBcos(45???)?a?FB?ak?aF??10.74m/s?

小结：

本次习题课是运动学部分的习题课，内容涉及到平时的作业与我们甄选的六道习题，以上仅给出其相应的某种思路和解法，当然，还不乏其它的思路和解法，我们希望大家能够在作业中充分思考，一题多解，触类旁通。从上述内容可知，解决一个问题的大致思路如下：

1).分析问题性质，即分析相应构件的运动学性质，找出已知运动与待求运动之间的联系，确定所谓的关联点或构件。

2).根据问题性质和构件的运动学性质，确定解题方法，并以关联点为研究对象，建立数学模型，也就是写出其对应的速度和加速度计算公式，有时是独立就可求解，有时则需联立才能求解。

3).依据建立的数学关系式，分析其中各变量(速度、加速度)的方向，画出示意图，以助分析。

4).分析示意图或公式中各变量(速度、加速度)的状况（已知、待求），选择适当的投影方向(避免未知量的联立求解)，由此得到最终的待求结果。 5).对结果进行必要的分析，包括方向、量纲的合理性等。

学习一门课，时常进行总结，使之条理化、系统化，是非常必需的，因为它有助于基础的牢固把握和方法的灵活运用。

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