电磁学 第一章 习题答案

第一部分 习题 第一章 静电场基本规律

1．2．1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距5?10?2米时，相互排斥力为1.6牛顿。问它们相距0.1米时，排斥力是多少？两点电荷的电量各为多少？

解：设两点电荷中一个所带电量为q，则另一个为4q：

?F1r22q1q2? 得：（1） 根据库仑定律：F?K　r?2 r2F2r12F1r121.60?（5?10?2） F2?2??0.（牛顿）4?12r2（10）4q2(2) F2?K2

r1F1r1221.60?52?10?42∴ q??（）??（）

4K4?9?10911 =±3.3×10?7 （库仑） 4q=±1.33×10?8 （库仑）

1．2．2两个同号点电荷所带电量之和为 Q，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大？

解： 设其中一个所带电量为q，则一个所带电量为

Q-q。

根据库仑定律知，相互作用力的大小：

q(Q?q)F?K 2r 求 F对q的极值 使F??0

K 即：(Q?2q)?0

r1∴ q?Q。

2

1．2．3两个点电荷所带电量分别为2q和q，相距L，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零？

解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。

图 1．2．3

即：

14??0

2q0qq0q1 = 22x4??0(L?x)12? 即：x2?2xL?L2?0 22x(L?x) 解此方程得：

x?(?1?2)L(X是到q0的q距离) （1） 当x?(2?1)L时，x?0为所求答案。 （2） 当x?(?2?1)L时，x?0不合题意，舍去。

1．2．4在直角坐标系中，在（0，0.1），（0，-0.1）的两个位置上分别放有电量为q?10?10（库）的点电荷，在（0.2，0）的位置上放有一电量为Q?10?8（库）的点电荷，求Q所受力的大小和方向？（坐标的单位是米）

解：根据库仑定律知：

?qQ?1 F?K12　rr1 ?Kq1Qr21??sin?1?　(cos?1ij)

?9?10?10?100.12?0.229?10?8????0.2i?0.1j?? ?11??222222?(0.1?0.2)??(0.1?0.2)???8.0?10?8? =1.61?10?7ij 如图所示，其中 cos?1?x1(x12?y)1221

sin?1?y1(x12?y)1221

?qQ??sin?2?同理：F2?K12　?(cos?2ij)

r2????9?109?10?10?10?80.2i?0.1j?? ?×?11??0.12?0.22222222?(0.1?0.2)??(0.1?0.2)???8.0?10?8?=1.61?10?7ij

????(牛顿) F?F1?F2?3.22?10?7i

1．2．5在正方形的顶点上各放一电量相等的同性点电荷q。 （1）证明放在正方形中心的任意电量的点电荷所受的力为零；

（2）若在中心放一点电荷Q，使顶点上每个电荷受到的合力恰为零，求Q与q的关系。

证：

（1） 如图（a）,设正方形每边长为a,中心所放的点电荷的电量Q。由库

仑定律及迭加原理得： ?????F合?FBO?FDO?FAO?FCO

?r??DOr?AOr?CO?r =kQq ?BO ???2222??rBOrDOrAOrCO? ?2kQq?BO?r?DO?r?AO?r?CO)?0 (ra2 其中：rBO?rAO?rCO?rDO?2a 2?BO??r?DO,r?AO??r?CO r在证明过程中可看出：放在正方形中心的点电荷不论其电量为何值，

它所受的力均为零。

（2） 讨论B点的电荷所受的力：

???? 设A，O，C，D点的点电荷对B点的电荷q的作用力分别为：FA,FO,FC,FD

??Kq2Kq2?A FC?2　r?C 如图所示：FA?2　raa?Kq2Kq200???C) 　r?(cos45r?sin45r FD?DA222a2a =?2Kq2?A?r?C) (r4a22KQq?A?r?C) (r2a?2KQq2?O?FO?　r2a?????使F?FA?FO?FC?FD

?Kq22Kq22KQq???(r?A?r?C)= 0 ??　??22?a2?4aa???Kq22Kq22KQq????0 即使：?2　??22?4aa?a??12??q ?∴ Q=-??42???

1．2．6两电量相等的同性点电荷，在其联线的中垂面上放一点电荷，根据

对称性可知，该点电荷在中垂面上受力的极大值的轨迹是一个圆，求该圆的半径。

解： 如图（a），设x轴上有两个点电荷，其电量均为q, 坐标分别

为（-a,o,o）、

(a,o,o); 中垂面yoz平面上有一点点电荷Q，坐标为（o,y,z）

?? 设r?y?j?zk r2?y2?z2 即在中垂面内Q到坐标原点的距离。

?如图（b），根据对称性点电荷Q所受的合力方向与r方向一致，

设（q与Q同号）

?kQq2kQqr?? ∴F?22　sin?r)?r2322r?a(r?a)2求F对r的极值：

??2kQqr???3r21???2kQq??? = 0 ?35322222222??(r?a)2??(r?a)???(r?a)? 即：?3r2?(r2?a2)?0

a2 ∴ r?

22a2 即： y?z? 是一个圆的方程。 圆心 (o,o,o) ,半径为

222?2a。 2

1．3．1在长为50厘米、相距1厘米的两个带电平行板间的电场是匀强电场（场强方向垂直向上）。将一速度为v0?107（米/秒）的电子从M点（距上下板等距离）水平射入电场（见图），若电子恰在平行板的边缘处离开电场，求该匀强电场的大注。（忽略边缘效应，认为板外场强为零，且略去重力对电子的影响。）

解：根据场强的定义得，电子所受的力：

?? F??eE

电子产生一个向下的加速度：

F?Ee? a? mm设板长为L，电子在平板间运动的时间： t?L?v02h a 即：

L?v02hm eE22hmv0∴ E? 2Le2?5?10?3?9.11?10?31?1014 ?

25?10?2?1.6?10?19 =22.8 （牛/库）

1．3．2用细线悬一质量为0.2克的小球，将其置于两个竖直放置的平行板间（见图）。设小球带电量为6?10?9库仑，欲使悬挂小球的细线与场强夹然成60°角，求两板间场强？

?? 解：带电小球所受的电场力：F?QE，重力为mg,细

绳的

?张力为T，根据力的平衡条件知：

?Tsin600?mg ? 0?Tcos60?QE

图 1.3 2 即：E?mgctg600 Q2?10?4?9.8?0.577 ? ?96?10 =1.89?105(牛/库)

1．3．3有一电子射入一电场强度是5?103牛顿/库仑的均匀电场，电场的方向是竖直向上，电子的初速度是107米/秒，与水平线所夹的入射角为30°（见图），不考虑重力对电子的影响。

（1）求该电子上升的最大高度；

（2）此电子回到其原来高度时的水平射程是多少？

解：

??F??eE

??eE?F??其加速度a? mm当电子上升到最大高度时：v??0

2∴v0??(v0sin300)2?2ah

(v0sin300)2(v0sin300)2m?∴h?

2a2eE(107?0.5)2?9.1?10?81 =

2?1.6?10?19?5?103 ?1.4?10?2(米)

（2）电子从上升到返回到原来高度时共用时间： t?22hm2h?2

eEa2?1.4?10?2?9.1?10?31 ?2

1.6?10?19?5?103?1.13?10?8(秒)

水平射程：

S?vo``t?vocos30ot

?107?0.866?1.13?10?8

?9.79?10?2(米)

1．3．4电子所带的电量（基本电荷—e）最先是由密立根通过油滴实验测出的。密立根设计的实验装置如附图所示，一个很小的带电油滴在电场E内，调节E，使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡。如果油滴的半径为1.64?10?4厘米。若平衡时，E?1.92?105牛顿/库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为0.851克/厘米3）。

解：设油滴的电量为Q，体密度为 ?，半径为R（设油滴所带电量为体分布），

它受的电场力和重力分别为F和P， 由F=P得：

4?R3?gEQ=mg=

34?R3?g Q=

3E4??(1.64?10?6)3?0.851?103?9.8 =

3?1.92?105 ?8.02?10?19(库仑)

1．3．5两个电荷，q1?4.0（微库），q2?8.0（微库），其相距为10厘米，求离它们都是10厘米处的电场强度E。

9?109?4?10?6?解：E?

10?24??0r12q1?3.6?108(牛/库)

9?104?4?10?6?E2? ?22104??0r2q2?7.8?108(牛/库)

如图所示，在直角坐标系o x y中，

?? 将E1，E2 分解：

Ex?E1x?E2x

?E1cos600?E2cos1200 ?9.36?108(牛/库)

Ey?E1y?E2y?E1sin600?E2sin1200 ?9.52?108(牛/库)

1．3．6如图，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q。 （1）求轴线上离环中心O为x处的场强E； （2）画出E-x曲线；

（3）轴线上什么地方的场强最大？其值是多少？ 解：（1）如图所示，圆环上任一电荷元dq在p点产 生的场强为： dE?dq 24??0r根据对称性分析，整个圆环在距圆心x处P点产生的场强： E??dEcos?? ?x4??0r3dqx?

4??0?r2rxq 34??0r31?dq?xq22 ?

24??0(x?R) （2）E—x曲线如图所示。

? （3）求E的极值： 由

?dEd?qx = 0 ??2232?dxdx?4??0(x?R)?2R2 得： x?

2 既：x??22R，在距圆心左右两侧R处的场强最大。其值为： 22 Emax?

q63??0R2

1．3．7电荷以线密度?均匀分布在长为L的直线段上。 （1）求带电线的中垂线上与带电线相距为R的点的场强； （2）证明当L??时，该点的场强E??； 2??0R（3）试证当R>>L时，所得结果与点电荷场强公式一致。

解：（1）如图建立坐标，带电线上任一电荷元在P点产生的场强为：

? dE??dx4??0(R?x)22? r? 根据对称性分析，E的方向是y轴方向。

E?? E??L2L?2?dx4??0(R2?x2)R?4??0(R2?x2)sin?

dx

L2L?232 ??L4??0RR2?L42

? ∴E??L4??0RR2?L42?j

（2）当L??时：

E??L4??0RR2?L42?4??0R?RL?4L222

R 当L??时，()2?0

L ∴E?2?4??0R?? 2??0RR1 （3）当R>>L时：()2??

L4 ∴E??Lq ?224??0R4??0R 其中 ?L?q ，与点电荷公式一致。

1．3．8线电荷密度为?的无限长均匀带电线，分别弯成附图中（a），（b）两种形状，若圆弧半径为R，试求：（a），（b）图中O点的场强。

解：（a）在O点建立坐标系，如图所示：

A?半无限长直导线在O点产生的场强E1：

??E1????0?R?4??0(R2?y2)32?j??y4??0(R2?x2)32?dy i???????j?i

4??0R4??0R同理：B?半无限长直导线在O点产生的场强E2：

?E2?????j?i

4??0R4??0R⌒ 弧在O点产生的场强为：

AB

?E??AB????i?j

4??0R4??0RAB???? ∴E?E1?E2?E?

?????(ij) 4??0R （b）建立如图所示的坐标系，与图（a）讨论相同得：

? E1?? E2?? E??AB????(?ij) 4??0R????(?ij) 4??0R?? i2??0R????E?E1?E2?E3?0

1．3．9一无限长带电圆柱面，其面电荷密度由下式所决定：???0cos?，

?角为与x轴间夹角，见附图，求圆柱轴线z上的场强。

解：设该圆柱面的截面半径为R，根据1。3。7题中L??时的结论：

无限长直带电线在空间一点产生的场强E??得出：带电圆柱面上宽度为d 2??0r(=Rd?)的无限长带电线在轴线一点产生的场强为：

?dE???????0cos?Rd?R? R2??0R2??0R???0cos???sin??(cos?ij)d? 2??0?2x?0cos???sin??∴E???(cos?ij)d?

02??0??

?0?i 2?0

1．4．1如图所求，匀强电场的场强E半径为R的半球面的轴线平行，试计算通过此半球面的电通量，若以半球面的边线为边，另作一个任意形状的曲面，此面的通量为多少？

解：S1的通量：如图设与场强垂直的圆平面为S0，S1和S0组成一个闭和

曲面，其包围电荷?q1?0,利用高斯定理得：

?????? ??E?dS???E?dS???E?dS

S0S1 ??0??S1?0 ∴ ?S1???S0

???S0???E?dS???R2E

∴ ?S1???S0??R2E 同理： ?S2???S0??R2E

1．4．2图中电场强度分别为Ex?bx,Ex?Ez?0，其中b=800（牛顿/库仑）。试求：

（1）通过正立方体的电通量；

（2）正立方体内的总电荷是多少？设a?10（厘米）。 解：（1）通过立方体的左侧面的电通量：

?左??ExS??ba

通过立方体的右侧面的电通量：?右?ExS?2ba 其余各面的电通量为零。 ∴ 通过正立方体的电通量：

521252???左??右1??ba?2ba ?(2?1)ba?(2?1)?800?(10) ?(2?1)?800?(10)

?52525?125253

?(2?1)?800?10

?52) 库（2）根据高斯定理得： ??????E?ds?2?1.05(牛顿?米?q

?0??q??0??8.85?10?12?1.05?9.92?10?12(库仑) 1.4.3

求线电荷密度为?的无限长均匀带电直线在空间任意一点产生的场强。

解：根据对称性分析，无限长均匀带电直线在空间任意一点产生的场强与棒垂直，呈辐射状。如图所示以带电直线为轴过p点作一封闭的圆柱面。长度L是任意的。 由高斯定理：

??E?ds?侧面??Ecos?ds??2上底??Ecos?ds?下底??Ecos?ds??L ?0上下底面上??

?cos??0

侧面上场强夹角??0

?cos??1

?????E?ds??E?侧面??Ecos?ds?Ecos?ds?E?2?rL??L ?0? 2??0r求面电荷密度为?的无限长均匀带电圆柱面的场强分布，并画出E?r曲线。

解：设带电圆柱面的半径为R，根据对称性分析，在以圆柱的轴线为轴的任意一圆柱面上场强大小相等，而且场强方向垂直于圆柱面。在柱面内，过任一，以z为轴作一封闭圆柱面为高斯面，其半径为r，（r?R），长为L，如图所示。由高斯定理：

????E内?dS???E内cos?dS???E内cos?dS???E内cos?dS?0 1.4.4

侧面上底下底2侧面与场强夹角??0 cos??1

??? ??E内?dS???E内cos?dS?0

侧面上下底与场强夹角??? cos??0

?E内?0

在柱面外，同理过任一点p作半径（r>R 定理：

???E外?dS???E外cos?dS?侧）的封闭圆柱体形高斯面。由高斯

cos?dS

上底??E外cos?dS?下底??E外??E外dS?2?rLE外=

?E外?2?L??0

?Rr?0

1.4.5 在一厚度为d 的无限大的平板层内电荷均匀分布，起体密度??0，求 在平板层，外的电场强度。

解：如图（a）所示的是平板的俯视图，OO’是与板面平行的对称面，根据对称性分析，

在对称面两侧等距离x出的场强大小相等，方向垂直该对称面指向两侧。在板内过任一点?0，被对称面平分的封闭圆柱面为高斯面，其底面积为?S，底面与对称面的距离为x:

由高斯面定理：

??E?dS???侧Ecos?dS?2??柱面Ecos?dS

=2E?S?2??Sx/?0 ?E?

?x?x 即E内? ?0?0d?S??E?dS=2??S=

????0

?d?d ?外?? 2?02?0E—x的分布曲线如图（b）

1.4.6 一 半径为 R的 带电球，起体电荷密度

r ???0(1?)，?0为一常数，r为空间某带至球心的距离。

R 试求：（1）球内，外的强度分布。

（2） 为多大时，场强最大，该点的?max??

r)，?与r 是线性关系。在球内 ?0做一个半R径为r的与带电球同心的 球面斯面如图，根据对称性分析，此球面上

解：（1）????0(1?的场强大小相等，方向与 r 的一致。 由高斯面定理：????dS?q?0

??E?dS?4?rq???(1?00r2E内r2)4?rdrRrR??0?r(?)3243?4?rE内?00??r430?0r(?)3R

?r?E?3?内(1?3r)(r,?R)4R当r?R时，即在球外过任一点p仍作球形高斯面。由高斯定理得：??E外?ds?4?rR2E外

q??r?(1?0r133)4?rdr???R

0R3

4?r21?E外3??R03

?R?E?12?r0外032

(2)d?3r?(1?)?0 E内dr3?02R2R 3?r?r越大，强无极值。 E外单调减小，因而球外场1.4 如图所示，两条平行的无线长均匀带电直线，相距为2a，电荷线

密度分别为+a，求这两条直线在空间任一点的场强。

解：利用高斯定理分别求出两条均匀带电直线在点p的电场强度：

EE?? r?2??r0?????2??0r?r????

?\\r?cos??i?sin?j

?????x?a?ri?y??rj

??r?E?E?E?x?a?r?i?y??rj

?

?

?

?2??0r?(x?a?ri?y?rj)??2??0r?(x?a??ri?y??rj)

????aa?xx??????r2?r2???(r2?r2)?i? 2??0????????????yy(2?2)j 2??0r?r? 其中：r?2?y2?(x?a)2 r?2?y2?(x?a)2

1.4.8 两无限大的平行平面均匀带电，面电荷密度都是?，求各处的场强分

布。 解：设

??0（对??0解题方法相同，只是图中E的方向不同），由

高斯定理可求得无限大均匀带电平板的场强的大小为： E?? 2?0 规定场强方向向右为正，向左为负。 E1???????? 2?02?0?0 E??????0 2?02?0 E?????? 2?02?0?0

1.4.9如图所示，两无限大平行的均匀带电平面，相距为L ，其面密度分别为??与?，以z为轴分别在两平面上挖去两个半径为的圆，且有l??R，试求，轴上一点的场强分布（子轴原点在

l处）. 2解：利用迭加原理，先求两个没有挖去圆的无限大带电平面在I（两平面的区域），?（两平面外的区域）区域内的场强，再减去两个圆产生的场强。

利用高斯定理求两带相反电荷的无限大平面产生的场强：

??在I区内：EI?k

?0在?区内：E??0

两个半径为R的带异号电荷的圆板在轴上产生的场强：

??在I区内：，?l??R，两带电圆板产生的场强：E??K

?0''1l在?区内：带正电荷的圆板在Z轴上一点(z?)产生

2????(1?的场强E?2?0z?12?)k

1R2?(z?)22带负电荷的圆板在z轴同一点产生的场强

??E???(1?2?0z?12? )k1R2?(z?)22????????k??0 ?I区的总场强：E?EI?EI?k?0?0

??????E?? ?区的总场强：E?E??E???(2?0z?12z???121R2?(z?)221R2?(z?)22? )k?l很小，用台劳级数将上式在l=0处展开，取前两项：

z?f(l)?12z??12

1R2?(z?)221R2?(z?)22f(0)=0

f?(0)?R2(R2?z2)32

??? ?f(0)?f?(0)l?k?E?2?0?=(0?2?0=

R2l(R2?z2)3232? )k?R2l2?0(R2?z2)? k1.1.10 如图所示，在半径为R，电荷体密度为?的均匀带电球体内O?点放一个

点电荷q。试求:O,P,N,M,点的场强（O?,O,P,N,M,在一条直线上）。

解：利用高斯定理分别求出均匀带电球体分别在O，P，N，M，点的场强为（其

中O为球心）： ?ERO?0

??r? ERN??ONr3?0??rop? ERP??r3?0?ERM??R33?0r02M? r点电荷q分别在O，N，P，M点产生的场强为

??Eqo?EqO?q4??0r02? rq? r4??0r2O?N?EqP??EqM?q? r24??0rO?Pq? r24??0rO?M利用迭加原理：

???EO?ERO?EqO?q? r24??0rO?O???EN?ERN?EqN?(?rONq??)r23?0 4??0rO?N????rq? EP?ERP?EqP?(OP?)r23?04??0rO?P??E??E??(EMRMqM?R33?0r2OM?q? )r24??0rO?M1．4．11 在半径为R，电荷体密度为?的均匀带电体内，挖去一个半径为r的小球，如图所示，试求：O, O?, P, M各点的场强。（O?,O,P,M在一直线上）。 解：将挖去的小球Q?用电荷体密度为?的球补起来。先求均匀带电球体O产生的场强，再求填补的带电球体Q?产生的场强，两者相减即是所要求的场强。 利用高斯定理求带电球体O分别在O,O?,P,M,产生的场强为：

?EOO?0

??r?方向如图所示，原点在O点） ?（rEO?O?oo?r3?0??r? EOP??OPr3?0?EOM???R33?0r2OM? r带电球体O?分别在各点产生的场强为：

??r? EO?O??oo?r3?0?EOO?0 ?EO?P???r33?0r2O?P? r?EO?M???r33?0r2O?M? r图中各点的场强分别为：

???r3?Ep?Eop?Eo?p?(?rop)r3?0ro?p2????rR3EM?EoM?Eo?M?(?)r

3?0ro?M2ro?M21.4.12 半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度?，求场强分布，

并画E----曲线。

解：分别过圆柱体内，外一点P0,P作如图（a）所示高斯面，由高斯定理可得：

???12 r?R时，EdS?2?rlE??.?l 内??内?0

?E内??r 2?0?1???r?R时：E.dS?2?rlE??外外?0??R2l

?R2 ?E外?2?0r场强的方向为径向 E---r曲线如图（b）。

1.4.13一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R1和R2,筒面上都均匀带电。沿轴线单位长度的电量分别为?1和?2。（1）求各区域内的场强分布；（2）若?1???2，情况如何？并画出此情形的E---r曲线

解：如图（a）所示，将空间分成 三个区域， 应用1.4.4题的结果可得：

?（1）?区域内（r

?E??当

?1? r2??0r??方向一致?1?0时，E?的方向与r ?? 方向相反。 当 ?1?0时， E? 的方向与 r 区域内：（r?R2):

????2? E?1r2??0r?? 方向一致。 当 ?1??2?0 时， E? 方向与 r?? 方向相反。 当 ?1??2?0 时， E? 方向与 r

??（2）若?1???2时，则E1,E?不变。

??1??2?0? ?E??0E—r曲线如图（b）

1.5.1 设有一个电量q=1.5?10?8（库仑）的电电荷。试求：（1）电位为30伏特的等位面的半径有多大？（2）电位差为1.0伏特的任意两个等位面，其半径之差是否相同？

解：（1）选无限远为电位参考点，根据电电荷电位公式

U?q4??0r得：

1.5?10?8 30?

4??8.9?10?12r ?r?4.5(米）

（2）设半径差为?r,则r2?r1??r, 根据电位差公式得：

Vq4??0(11?)r1r1??r?V?1.（伏）04??0?r??r1(r1??r)q 4??04??02

?r(1?)?r1qq??r?r1q24??0?r1 从上式看出，当r1取不同值时，?r值不等。

1.5.2

如图所示，两个点电荷的电量分别为q与-3q,，其间距离

为d，求：（1）在它们连线中间U=0的点和（2）在连线上?E?0的点在什么位置？ 解：建立如图所示坐标，设其原点在q所在出。

（1） 设电位U=0的点的坐标是x,

点电荷q在该点的电位为：Uq?q4??0x

点电荷-3q在该点的电位为：U?3q?? 根据电位迭加原理得：

3q

4??0(d?x)U?Uq?U?3q?q4??0x?3q4??0(d?x)

?q4??0[d?4x]?0 x(d?x)?d?4x?0d 4?（2）设E?0的点的坐标为x?

x?? 点电荷q在该点产生的场强：Eq??q4??0x?2?i

? 点电荷-3q在该点产生的场强：E?3q??3qi

4??0(x??d)2 由场强迭加原理得：

??? E?Eq?E?3q??q?q3q ?i22??4??0x4??0(x?d)?13 =[?]i

4??0x?2(x??d)22x?2?2x?d?d2? =i=0 24??0x?(x??d)q即：2x?2?2x?d?d2?0

d(1?3) 2d x???(1?3) 符合题意。

2d x???(1?3)不符合题意应舍去。

21．5．3如图所示，假如在电场中某一部分的电力线的形状是以O点为中心的通信圆弧。试证明：该部分上各点的电场强度都与该点离O点的距离成反比。 证：利用环路定理，如果过1，2两点做一闭和环路：

?x??? dl1?r1d? dl2?r2d?

?????????? ?E?dl??E1?dl1??E2?dl2??E12?dr??E21?dr21?0

12

???? ?E12?r12 E21?r21

???? ? ?E1dl1??E2dl2?E1dl1?E2dl2?0

?E1r1d??E2r2d? ?E1r2? E2r1 说明每点的电场强度都与该点离O的距离成反比。

1.5.4证明：在静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定

处处相等：或者换句话说，凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。 （提示：利用高斯定理和环路定理，分别证明沿同一电力线和不同电力线上任意两点的场强相等。） 证：先证明同一条电力线上任意两点A,B场强相等。过A,B两点以该条电力线为轴做以闭合的圆柱面，如图所示，底面积?S?0，即认为上场强相同，由高斯定理得：

?EA?S?EB?S?0 ?EA?EB

点C,D场强相等。过C,D两点做如图所示的矩形积分环路，由环路定理得： ?ECl?EDl?0 ?EC?ED

?（注：此处L不一定趋于无限小，为已证明电力线上各点E都相等。）[证毕]

1.5.5如图所示，AB=2L, OCD是以B为中心，L为半径的半圆。A点有正点电荷+q,B点有负点电荷-q.

(1)把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它做了多少功？ （2）把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处，电场力对它作了多少功？ 解：根据点位叠加原理：

U0?qq(?)?0 4??0LL1??UD?14??0(qqq ?)??3LL6??0L?（1） 电场力把单位正电荷（即q0??1）从D点沿OCD移到点D所做的

功：

?q) A??q0(U0?UD)?qo(0?6??LOCDo =

q6??0L

（2） 场力把单位负电荷（即q0??1）从D点移到无穷远处所作的功：

AD??q(UD?U?)?qo(0??q6??oL)=

q6??0L

1.5.6电荷Q均匀分布在半径为R的球内，证明离球心r处（r

Q(3R2?r2) U? 38??0R证明：利用高斯定理求得球内外任一点场强： E内?Qr

4??0R3Q4??0r2 E外?

离球心r处（r

????R?U??E内?dl??E外?dl

rR =

Q4??0R3?Rrrdr +

dr 2?R4??0rQ?Q(R2?r2)Q = + 334??0R8??0RQ(3R2?r2)8??0R3=

证毕。

1．5．7 求1。4。7 题中两条平等的无限长均匀带异号电荷的直线，在空间任一点的电位。选无限远为电位参考点。

解： 利用迭加原理求空间任一点p(x,y)的电位： 一条无限长直带电线 在p点的场强：

? E???r 2??0r在这种情况下不能选无限远外为电位参考 （指一条无限长直带电 的情况），因为电荷分布不是在有限区域内，

选用与带电线相距rQ远的Q点作为参考点，如图所示。 对带正电荷的直线：

U?=

?rQ?r?rQ??? drr??ln2??0r?2??0rQ?

对带负电荷的直线：

U?= —

?2??0?rQ?rrQ?dr? ??lnr?2??0r?利用迭加原理：

U?U??U?rQ?r????(ln?ln)2??0r?r?

=

rr?ln??? 2??0r??r?当参考点Q趋于无限远处时，r???r??

U?r?lnr? 2??0rr?

1．5．8 如图所示，电量q均匀分布在长为2L的细直 线上。

（1） 求空间任一点p(x,y)的电位U（0〈y<+?,-??x???), （2） 讨论：当p点在延长线上，距O为x外；当p点在直线中

垂直面上离中心O为y外的电位。

解：（1）在图中： r?(x?l)?y2 带电线元d l在p点 的电位；

2dU?qdl228??0L(x?l)?yqdl

整个带电线在p点的电位；

dU?8??0L?L?L(x?l)?y22

=

?q8??0Lqln[x?l?(x?l)2?y2]x?L?(x?L)2?y2x?L?(x?L)?y22?l?l

=

8??0Lln

（2） 当p点在其延长线上，距O为x[即p(x,0)]

外，

U?q8??0Llnx?L?(x?L)2x?L?(x?L)2

=

q8??0Llnx?L x?L当p点在直线中垂面上，离中心O为[即p(0,y)]处

U?q8??oLqlnL?L2?y2?L?L?y22

L?L2?y2ln= 4??0Ly1．5．9 如图所示，两个平行放置的均匀电圆环，它们 的半经为R，电量为q及-q，其中相距为l，并有l<

（1） 试求以两环的对称中心O为坐标原点，垂直于环面的x 轴上的电位

（2）证明：当x>>R时，U?ql4??0x2

解：（1）求在x轴上p点的电位：

?q带电圆环上电荷线密度???

2?R 带正电的圆环在p点的电位

U??2??R124??0(x?)2?R2?q14??0(x?)2?R22

同理，带负电的圆环在p点的电位，

U???q14??0(x?)2?R22

由迭加原理得：

U?U??U??q4??0[11(x?)2?R22?11(x?)2?R22]

当l<

qlx U?34??0(x2?R2)2（2） 当x>>R时，

qlxU??3ql4??0x2

4??0(x2?R2)21.5.10 求1.4.9题中，沿z轴上的电位分布。选无限远处为电位参考

点。

???lR2解：利用1.4.9题结论E??i 32?0(z2?R2)2积分求电位：

??????

U???zE?dl???z????lR?l?z?dz?1?31? 2?0?222222?2?0(z?R)?(z?R)??21?5?11 如图所示，在半径为R1和R2的两个同球心球面上，分别均匀带电，电量为Q1，Q2

（1） （2）

求

、Ⅲ区域内的电位分布

讨论：当Q2??Q1；

Q2??R2Q1 两种情况下Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中电位分布，并画出两种R1情况下U-r曲线 解：（1）利用高斯定理求出：

???

???E??0（r＜R）

1

E??????Q14??0r2r(R1＜r＜R2)

^^Q?Q2 E????14??0r2r(r＞R

???2)

电位分布：

??? U???=?

?rE????dl???rQ1?Q2Q1?Q2dr?(r≥R2) 24??0r4??0rU???Q1?Q2Q1Q1?Q2Q12??Rdr??R14??0r4??0r4??04??0r2?11?1?????rR?4??2?0??Q2Q1???R?r?? ?2? (R1≤r≤R2)

??? U???R2E????d? (r≤R1) (2)当Q2=-Q1时， U????0 U???Q14??0??????l??R2R1E???dl???R1??r???E1?dl????1?Q2Q1???? ?4??0?R2R1???11???r?R??

2??Q U?1?4??0 当Q2?? U U?11????RR??

2??1R2Q1时， R1?????Q1?R2?R1? 4??0R1r???Q14??0?11???r?R??

1?? U??0

在此两种情况下的U-r曲线如图

1.5.12 在上题中，保持内球上电量Q1不变，当外球电量Q2变化时，试讨论三个区域内的电位有没有变化？两球面之间的电位差有没有变化？

解；在上题中

U1=

14??0(1Q2Q1?)R2R1(

UⅡ=

4??0Q2Q1?) R2r1 UⅢ=

Q1?Q2 4??0r从上面结论可看出，当Q2变化时，三个区域的电位都变化。

两球面间电位差?U=

Q111(?)不随Q2的变化而变化。 4??0R1R21.5.13 求1.4.11题中O'O?，P，M各点的电位。 解 用1.4.11题解同样的“挖补法”求各点的电位。 先计算均匀带电球体在O?O'M，P各点的电位； UOM?R3?3?0r0M

?R2?2UOP=?(R2?rOP)

3?06?02?R2?rOP= ?3?06?0UOO??R2???(R2?r02O) 3?06?0?R2?r02O?= ?2?06?0?R2 UOO=2?0再计算均匀带电球体O?O'M，P各点的电位；

?r2 UO?M=

3?0ro?M?r2 UO?P=

3?0ro?PUO??O??r2= 3?0rO?O??r2=-2?0?ro?o 6?0UO?O利用迭加 原理得

UM?UOM?UO?M?R3r3?(?) 3?0r0Mro?m

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