用几何画板探究三角形中的费马点和它的一个应用

用几何画板探究三角形中的费马点和它的一个应用

鄞州区钟公庙中学 童文虎

关于三角形中的费马点问题，已被编入浙教版八年级数学下册4.2节后的设计题，但书本和教参都并没有给出其探究结果和方法。查找有关资料，发现对于费马点的探求大都分两种情况进行独立探究，这样在揭示这两种情况的相关性方面就有所欠缺。本文运用几何画板，通过连续变化，揭示两种情况的相关性，以改进上述不足。

费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在△ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。

下面我们来探求费马点：

如图1，在几何画板中作△ABC，和任意点P，为了使线段PA、PB、PC连接起来，我们把△APC绕点A旋转60°得△AP′C′。这时， PA=PP′，PC= P′C′，所以PA+PB+PC=BP +PP′+P′C′≥BC′。移动点P点使点P、P′在线段BC′上，如图2，此时PA+PB+PC= BC′成立，因为线段BC′长是一个定值，所以，点P即为探求的费马点。

图1 图2

在图2中，△APP′是正三角形，∠PAP′=∠CAC′=60°，∠APB=120°，∠APC=∠AP′C′=120°，∠BPC=360°-∠APB-∠APC=120°，∠BAC=∠BAC′-∠CAC′ <180°-60°=120°，即∠BAC<120°。

那么当∠BAC ≥120°时情况又怎样呢？

在图1中清除点P，连接BC′，并在BC′上作点P、P′，使△APP′是正三角形，图形同图2，但点P的属性不再是自由点，选中直线BC，然后慢慢向上移动，发现∠BAC逐渐增大，当∠BAC =120°时，点C′在BA的延长线上，而点P、P′与点A重合，如图3，PA+PB+PC= AB+AC= AB+AC′= BC′，点P仍为探求的费马点。

图3 图4

继续向上移动直线BC，∠BAC继续增大，如图4，此时∠BAC >120°，PA+PB+PC=BP+PP′ +P′C′=BC′+2PP′>BC′,PA+PB+PC=BC′不成立，点P不能确定为探求的费马点。究其原因，是因为∠BAC+∠CAC′ >180°时，点P、P′在线段BC′上的相对位置发生了变化，也就是说本来四个点顺次是B、P、P′、C′，点P在点B、P′之间，而现在是点P′在点B、P之间。所以，为保证PA+PB+PC=BC′成立，必须∠BAC+∠CAC′ ≤180°。

所以，当∠BAC >120°时，调整旋转角∠CAC′=180°-∠BAC<60°，这时点C′在BA的延长线上， PA ≥PP′，PC= P′C′，PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C′≥BC′= AB+AC′=AB+AC，等号在点P与点A重合时成立，如图5。

图5

综上所述，得出如下结论：

当三个内角都小于120°时，费马点P是满足∠APC=∠BPC=∠CPA=120°的△ABC内一点。

当三角形有一个内角大于或等于120°时，费马点就是这个最大内角的顶点。 下面给出当三个内角都小于120°时，费马点P的作法：如图6，分别以AB、AC为边向△ABC形外作正△ABB′和正△ACC′，连接BC′和B′C，因费马点既在BC′上，又在B′C上，所以它们的交点P即为费马点。

图6

下例是作为上述结果应用的一个典型例题：

例：如图7，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄供水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？

图7 图8

它在公路、自来水、煤气管道或是电力线路设计等方面都有一定应用价值，现探讨如下： 分析：在几何画板中，如图8，分别用点A、B表示张村、李村，用直线m表示河，如果直接由水泵站向两村供水，则作点B关于直线m的对称点B′，连接A B′交直线m于点P，则水泵站修在点P1时，所用水管最短，如图8。

图9

但是当∠APB<120°时，ΔABP存在异于点P1的费马点O，有OA＋OB＋OP1＜P1A＋P1B，可见水管由点P1引到点O后再直接向A、B两地供水，其总长要更小一些。

在几何画板中删除点B′，然后把点B绕点A旋转60°得点C，作ΔABC的外接圆，因为当点O是ΔABP内的费马点时，∠AOB=120°，所以点O在120°的圆弧AB上。设水泵修建点为P2，根据“直线外一点与直线上的各点的连接的线段中垂线段最短”．必有OP2⊥m, 所以∠AOC=60°，∠AOP2=120°，∠COP2=∠AOC+∠AOP2 =60°+120°=180°，即点O在过点C作直线m的垂线上；所以，寻求的费马点O必是过点C作直线m的垂线与120°的圆弧AB的交点。在几何画板中作出点O和点P2，因为用对称点P′则水管由点P引到点O后再直接向A、B两地供水，其总长最小，如图9所示。

选中直线m，慢慢地向上移动，

如果符合条件的点O不在ΔABP内，则点O必是°的顶点，若点O与点P重合，即点O在直线m上，则可用轴对称法作出，如图8。若点O与点A或是点B重合，则∠PAB≥120°或∠PBA≥120°，此时直线AB与直线m的交角大于或等于30°。

如果符合条件的点O在ΔABP内，如图10，以AB为一边作正ΔABC，和ΔABC的外接圆．设点O是符合本例条件的费马点，则∠AOB=120°，即点O在120°的圆弧AB上；又∠AOC=60°，∠AOP=120°，所以∠COP=∠AOC+∠AOP =60°+120°=180°，即点O在过点C作直线m的垂线上；所以，寻求的费马点O必是过点C作直线m的垂线与120°的圆弧AB的交点。

但是反过来：过点C作直线m的垂线与120°的圆弧AB的交点O是不是一定是本例所寻求的费马点？如图12，点O在ΔABP外，不是ΔABP的费马点。因此，此例就要对位置进行讨论。

图11

问题2：有人讨论时分为图11的情形是当直线与圆相离时，费马点是ΔABP内一点；而图12的情形是当直线与圆相交或是相切时，费马点是直线m上一点。

图13

如图13，直线与圆相交，费马点似乎不在直线m上！

下面对一般情况进行讨论： 设直线AB与m的夹角为α。 （1）当α<30°时．

（ⅰ）如图10，当点P在圆外时，由∠AOB=∠AOP=∠BOP=120°知，点O是符合条件的费马点。因此水泵站修在点P，水管由点P引到点O后再直接向A、B两地供水，所需水管最省。此时铺设的水管呈“Y”字型。

（ⅱ）如图11，当点P在圆上时，如果费马点在直线m上，作点B关于直线m的对称点B′，连接AP、PB′，则∠APB=120°，∠BPC=60°，∠BP B′=2（90°-60°）=60°，∠AP B′=120°+60°=180°，所以点A、P、B′在同一直线上。也就是说如果费马点在直线m上，则为点P，如果不在直线m上，则在

（ⅲ）如图11，当点P在圆内或圆上时，点O在ΔABP外，不是ΔABP的费马点，说明无论点P选在直线m的何处，在ΔABP内找不到符合条件的费马点。所以符合条件的费马点O只能是ΔABP中内角不小于120°的角顶点。若点A是符合条件的费马点，则∠BAP=90°±α<120°,所以点A不可能是费马点，同理点B也不可能是费马点，故费马点只能是点P，而点P在直线m上，由例2知，符合条件的点P可用如下方法确定：

图11 图12

如图17，作点B关于直线m的对称点B′，连接A B′交直线m于点P，点P即为水泵站修建的最佳位置，水管由点P直接向A、B两地供水，此时铺设的水管呈“V”字型。

（2）当α≥30°时．

如图18，设点B较点A更靠近河道，过点B作直线m的垂线，垂足为点H，因为∠ABC+∠ABH=60°+α+90°>180°,所以∠AOB=60°≠120°。因此，点O不符合费马点条件。所以符合条件的费马点只能是ΔABP中内角大于120°的角顶点。

图13 图14

如图19，若点A是ΔABP费马点，则∠BAP=90°-α<120°,所以点A不可能是费马点。 如图20，若点P是ΔABP费马点，作点A与点B关于直线m的对称点A′、B′，则A B′与B A′的交点即为点P，所以∠APB=∠A′AP+∠AA′P=2∠A′AP<2∠A′AB=2（90°-α）≤120°，即∠APB<120°，所以，点P不可能是费马点。

所以点B必是符合条件的费马点，此时点P与点H重合。此时铺设的水管呈“厂”字型。 综上所述水管的最短线路形状有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．

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