2022年高考真题答案及解析：理科数学(全国Ⅰ卷)_中小学教育网

2018年普通高等学招生全国统一考试

（全国一卷）理科数学

一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=

A、0

B、

C、1

D、

【答案】C

【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则A=

A、{x|-1

B、{x|-1x2}

C、{x|x<-1}∪{x|x>2}

D、{x|x-1}∪{x|x2}

【答案】B

【难度】容易

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经

济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是：

A、新农村建设后，种植收入减少。

B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A

【难度】容易

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班

中均有涉及。

4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=

A、-12

B、-10

C、10

D、12

【答案】B

【难度】容易

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第六章《数列》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：

A、y=-2x

B、y=-x

C、y=2x

D、y=x

【答案】D

【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=

A、--

B、--

C、-+

D、-

【答案】A

【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱

表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A、

B、

C、3

D、2

【答案】B

【难度】较难

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=

A.5

B.6

C.7

D.8

【答案】D

【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A. [-1，0）

B. [0，+∞）

C. [-1，+∞）

D. [1，+∞）

【答案】C

【难度】较难

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直

角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则

A.p1=p2

B.p1=p3

C.p2=p3

D.p1=p2+p3

【答案】A

【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

11.已知双曲线C： -y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=

A.

B.3

C.

D.4

【答案】B

【难度】较难

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【难度】较难

【点评】【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .

【难度】较难

【点评】【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

【答案】6

14.记S n为数列｛a n｝的前n项和.若S n=2a n+1，则S6= .

【答案】-63

【难度】容易

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第六章《数列》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中

均有涉及。

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）

16

【难度】容易

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班

中均有涉及。

16.已知函数f （x ）=2sinx+sin2x ，则f （x ）的最小值是 . 【答案】332

- 【难度】中等 【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒

假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5.

（1）求cos∠ADB ； （2）若DC =

，求BC . 【解析】

解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB

=?∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠

. 在BCD △中，由余弦定理得

2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠

22582525=+-??

25=.

所以5BC =.

【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

18.（12分）

如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把?DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BP .

（1）证明：平面PEF ⊥平

面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所

成角的正弦值.

【解析】 解：（1）由已知可得，BF

⊥PF ，BF ⊥EF ，

所以BF ⊥平面PEF .

又BF ?平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .

（2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD . 以H 为坐标原点，HF u u u r 的方向为y 轴正方向，||BF uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H ?xyz

.

由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，所以PE =3.又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF . 可得33,2

PH EH ==. 则3333(0,0,0),(0,0,),(1,,0),(1,,),2222H P D DP --=u u u r 3(0,0,)2

HP =u u u r 为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则334sin ||4||||3HP DP HP DP θ?===?u u u r u u u r u u u r u u u r .

所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为3. 【难度】中等 【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

19.（12分）

设椭圆C ：

+y2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，

0）.

（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；

（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB . 【解析】

（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A 的坐标为2(1,2或2(1,2

-. 所以AM 的方程为222y x =-222

y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=?.

当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.

当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ， 则122,2x x <

MA MB x x y y k k +=

+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)

MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2

212

x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.

所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.

则3131322244128423()4021

k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.

综上，OMA OMB ∠=∠.

【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

20、（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P （0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f （P ），求f （P ）的最大值点。

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为P 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i ） 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ： （ii ） 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【解析】

解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-.因此

2

182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--.

令()0f p '=，得0.1p =.当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<.

所以()f p 的最大值点为00.1p =.

（2）由（1）知，0.1p =.

（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B :，20225X Y =?+，即4025X Y =+.

所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.

（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于400EX >，故应该对余下的产品作检验.

【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

21、（12分）

已知函数

. （1）讨论

的单调性； （2）若存在两个极值点, ,证明： .

【解析】 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-.因此

2

182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--.

令()0f p '=，得0.1p =.当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<.

所以()f p 的最大值点为00.1p =.

（2）由（1）知，0.1p =.

（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B :，20225X Y =?+，即4025X Y =+.

所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.

（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于400EX >，故应该对余下的产品作检验.

【难度】中等

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C ?的方程为y=k ∣x ∣+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ?的极坐标方程为p 2+2p -3=0.

（1） 求C ?的直角坐标方程:

（2） 若C ?与C ?有且仅有三个公共点，求C ?的方程.

【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22

(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．

由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．学#科网

当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2

2=，故43k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-

时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．

当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2

2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =

时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23

y x =-+． 【难度】较难

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f （x ）=∣x+1∣-∣ax-1∣.

（1） 当a=1时， 求不等式f （x ）﹥1的解集；

（2） 当x ∈（0，1）时不等式f （x ）﹥x 成立，求a 的取值范围.

【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??=-<

故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．

（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．

若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；

若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．

【难度】较难

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qacq.html