排列组合问题答题策略

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排列组合问题答题策略

排列组合问题的若干解题策略 一，相邻问题--整体捆绑法

例1，7名学生站成一排，甲已必须站在一起，有多少种方法？ 二，不相临问题—选空插入法

练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同方法？b5E2RGbCAP 三；特殊元素—优先考虑法

例3；1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有多少种不同的排法？

练习；乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？p1EanqFDPw 对于含有限定条件的排列组合问题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 四；排除法

例4；6个人站成一排，若甲不站在排头也不站在排尾，有多少种不同排法？

练习；6个人站成一排，若甲不站在排头，已不在排尾，有多少种不同排法？

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排列的问题有时比较复杂，特别是分类时，所以有时可以从所有的排列中，把不符合的排列剔除，这样的解题方法叫排除法。DXDiTa9E3d 典型例题

例一；用0、1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有多少个？ 典型例题

例二；A、B、C、D、E五人并排站成一排，如A、B必相邻，且B在A右边，那么不同的排法有多少种？ 典型例题

练1；5人成一排，要求甲、已相邻，有几种排法？

练2；5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有多少种？

练3；计划展出不同的画10幅，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？RTCrpUDGiT 典型例题

练习4；7人站成一行，如果甲、已两人不相邻，则不同的排法种数是多少？

练习5；要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出清单，任何两个舞蹈不相邻，有多少种不同排法？

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练习6；由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？ 三；复杂问题---总体排除法或排异法

例3；正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？

练习；班里有43个同学从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？

有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而他的反面往往比较简洁，可考虑用排除法，先求出他的反面，在从整体中排除。5PCzVD7HxA

排列组合是公务员行测常考的题型，也是很多考生头疼的内容。只要掌握一定的解题方法，拿到排列组合的分数并不是难题，下面文章为大家介绍公务员行测排列组合问题的解题方法。jLBHrnAILg 1.间接法

即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数.这是行测排列组合问题的解题方法之一。xHAQX74J0X 2.插板法

插板法也是行测排列组合问题的解题方法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1

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的板插入元素之间形成分组的解题策略。注意：其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。LDAYtRyKfE 3.特殊优先法

特殊元素，优先处理。特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，这个也是行测排列组合问题的解题方法，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。Zzz6ZB2Ltk 4.捆绑法

所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。注意：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。dvzfvkwMI1 5.选“一”法，类似除法

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。 这里的“选一”是说：和所求“相似”的排列方法有很多，我们只取其中的一种。rqyn14ZNXI 以上内容是对行测排列组合问题的解题方法的介绍，希望能够给考生们提供帮助。考生们在平时练习的时候应该注重方法的总结，学会融会贯通。EmxvxOtOco 首先，怎样分析排列组合综合题？

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1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某事件时采取的方式而定，分类来完成这件事时用“分类计数原理”，分步来完成这件事时就用“分步计数原理”，怎样确定分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。SixE2yXPq5 2）排列与组合定义相近，它们的区别是在于是否与顺序有关。 3）复杂的排列问题常常通过实验、画简图、小数字化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，亦常常需要用不同的方法求解来获得检验。6ewMyirQFL 4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。kavU42VRUs 5）处理排列、组合综合性问题，一般思想是先选元素<组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题基本方法和原理，通过解题训要注意积累分类和分步的基本技能。y6v3ALoS89 5 / 16

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能够灵活运用，这样，在日常生活中，我们们能轻易解决很多问题。2MiJTy0dTT 教师点评：对排列组合问题的处理方法总结得很细、很全面，而且挖掘出其中所蕴藏的数学思想方法，对学习排列组合有一定的指导性。gIiSpiue7A 1、文氏图：

在文氏图中,以下图形的含义如下： 矩形：其内部的点表示全集的所有元素； 矩形内的圆<或其它闭曲线）：表示不同的集合； 圆<或闭曲线）内部的点：表示相应集合的元素。

2、三交集公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C

例：[2005年真题]对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢所戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有： uEh0U1Yfmh A22人B28人C30人D36人 【解读】首先，根据题意画出文氏图如下：

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A<球迷）＝58 B<戏迷）＝38 C<影迷）＝52 E<员工总数）＝100。 A+B+C=58+38+52＝148 A∪B∪C＝100 A∩B＝18 B∩C＝16 A∩B∩C＝12

然后，根据三交集公式A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C 推出：A∩C＝A+B+C－A∪B∪C－A∩B－B∩C+ A∩B∩C ＝148-100-18-16+12 ＝26

最后得出：只喜欢看电影的人＝C- A∩C-

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。<1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？<2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？<3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：<1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得

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到的取法种数是：3+5+6=14种。<2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90<种）。<3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况<数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63<种）。例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53<种）。2．排列数与组合数的两个公式排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。连乘积的形式 阶乘形式∴ 等式成立。评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1>=(n+1>!可使变形过程得以简化。例4．解方程解：原方程可化为：解得x=3。评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。3．排列与组合

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的应用题历届高考数学试卷中，排列与组合部分的试卷主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。一般方法有：直接法和间接法。<1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。<2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。特殊方法：<1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。<2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。<3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。<4）其它方法。例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。<1）甲排中间； <2）甲不排两端；<3）甲，乙相邻；<4）甲在乙的左边<不要求相邻）； <5）甲，乙，丙连排；<6）甲，乙，丙两两不相邻。解：<1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。<2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有种，故共有·=3600种不同排法。<3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排

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列，故共有·=1400种不同的排法。<4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有=2520种。<5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有=720种不同排法。<6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有=1440种不同的排法。例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：<1）奇数；<2）5的倍数；<3）比20300大的数；<4）不含数字0，且1，2不相邻的数。解：<1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上，由乘法原理共有=388<个）。<2）5的倍数：按0作不作个位来分类第一类：0作个位，则有=120。第二类：0不作个位即5作个位，则=96。则共有这样的数为：=216<个）。<3）比20300大的数的五位数可分为三类：第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3个；第二类：21xxx,23xxx, 24xxx, 25xxx, 的

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个；第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有个，因此，比20300大的五位数共有：=474<个）。<4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1=++1=31<条）。所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：N2=N1-2=31-12=19<条）。WwghWvVhPE 申明：

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个；第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有个，因此，比20300大的五位数共有：=474<个）。<4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1=++1=31<条）。所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：N2=N1-2=31-12=19<条）。WwghWvVhPE 申明：

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