2002-2011高考数学真题分类汇编：圆锥曲线（理）

1.(2011 全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )

A． B． C．答案为：D 由题意结合图象，

D．

联立得或

∴A(4，4)，B(1，－2)．又∵F(1，0)，

∴＝(3，4)，＝(0，－2)，

∴cos∠AFB＝.

2.(2011 全国)已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，

点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝______. 答案为：6

解析：F1(－6，0)，F2(6，0)，M(2，0)，

∴|F1M|＝8，|MF2|＝4. 由内角平分线定理得：

，

又|AF1|－|AF2|＝2a＝233＝6， ∴2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝6.

3.(2011 全国)已知O为坐标原点，F为椭圆C：点，过F且斜率为

在y轴正半轴上的焦

.

的直线l与C交于A，B两点，点P满足

（1）证明：点P在C上；

（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上． 答案为：

解：（1）F(0，1)，l的方程为

.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，

，代入并化简得

则，，

，，

由题意得，y3＝－(y1＋y2)＝－1.

所以点P的坐标为．

经验证，点P的坐标)满足方程，故点P在椭圆C上．

（2）由P①

和题设知，Q，PQ的垂直平分线l1的方程为.

设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②

由①②得l1、l2的交点为N，

，

，

，，

，

故|NP|＝|NA|.

又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|， 所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，

由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．

4.(2011 北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )

A． B． C．(1，0) D．(1，π)

答案为：B

由题意得，圆的直角坐标方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心直角坐标为(0，－1)，即

圆心的极坐标为(1，)．

5.(2011 北京)已知椭圆圆G于A，B两点．

.过点(m，0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值． 答案为：

解：（1）由题意得a＝2，b＝1，所以.

所以椭圆G的焦点坐标为，

离心率为

（2）由题意知，|m|≥1.

当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为．

此时.

当m＝－1时，同理可得.

当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．

由

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则.

又由l与圆.

所以

.

由于当时，，

所以．

因为

且当时，|AB|＝2，

所以|AB|的最大值为2.

6.(2011 天津)已知抛物线C的参数方程为 (t为参数)．若斜率为1的

直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝________.

答案为：

解析：消去参数t，得抛物线标准方程y2＝8x，其焦点F(2，0)，∴过抛物线焦点斜率为1的直线方程：x－y－2＝0，∵直线与圆(x－4)＋y＝r相切，∴r＝d

2

2

2

＝.

7.(2011 天津)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1，F2

分别为椭圆的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足求点M的轨迹方程． 答案为：

，

解：（1）设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即

整理得 (舍)，或，所以.

（2）由(1)知

．

，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为

A，B两点的坐标满足方程组，消去y并整理，得5x2－8cx＝0.

解得

得方程组的解.

不妨设．

设点M的坐标为．

由

于是

由

简得

，即，化

将，所以x＞0.

因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x＞0)．

8.(2011 上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线＝______. 答案为：16

的一个焦点，则m

解析：由点F(0,5)可知该双曲线m＋9＝52，解得m＝16.

的焦点落在y轴上，所以，m＞0，且

9.(2011 辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )

A． B．1 C． D．

答案为：C

如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3.|CD|＝，所以中点C

的横坐标为.

10.(2011 辽宁)已知点(2，3)在双曲线C：为4，则它的离心率为________． 答案为：2

上，C的焦距

解析：与a2＋b2＝4联立，求得a＝1，

所以.

11.(2011 辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．

（1）设，求|BC|与|AD|的比值；

（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由． 答案为：

解：（1）因为

C1，C2的离心率相同，故依题意可设

设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得

当表示A，B的纵坐标，可知

（2）t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即

解得

因为

所以当使得BO∥AN.

时，不存在直线l，使得BO∥AN；当时，存在直线l，

12.(2011 辽宁)选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (φ为参数)，曲线C2

的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为

极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两

个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．

（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（2）（2）设当α＝时，l与C1、C2的交点分别为A1，B1，当α＝时，l与

C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积． 答案为：

解：（1）C1是圆，C2是椭圆．

当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a，0)，因为这两

点间的距离为2，所以a＝3.

当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这两

点重合，所以b＝1.

（2）C1，C2的普通方程分别为

当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为

当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，

因此四边形A1A2B2B1为梯形．

故四边形A1A2B2B1的面积为

13.(2011 浙江)已知椭圆C1： (a＞b＞0)与双曲线C2：有

公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点， 若C1恰好将线段AB三等分，则( )

A．a2＝ B．a2＝13 C．b2＝ D．b2＝2

答案为：C

如图，设M，N为三等分点，N(x，y)，由已知，故a2－b2＝5，即b2＝a2

－5，且双曲线的渐近线方程为y＝±2x，根据对称性，我们只需联立

即可，

由以上方程组可得出，解得，

又∵|ON|2＝x2＋y2＝5x2＝53＝＝，

∴，.

14.(2011 浙江)设F1，F2分别为椭圆

，则点A的坐标是________．

答案为：(0，1)或(0，－1) 解析：设A(m，n)．

的左、右焦点，点A，B在椭圆上．若

由，得B(，)．

又A，B均在椭圆上，所以有

解得或

所以A的坐标为(0，1)或(0，－1)．

15.(2011 湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )

A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3

答案为：C

如图所示，根据抛物线定义，另外两顶点的横坐标必定相等，故关于x轴对称．要

使三角形为正三角形，需过焦点作斜率为满足条件，综上可知n＝2.

和的直线，则△ABF和△CDF

16.(2011 湖北)平面内与两定点A1(－a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线． （1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系．

（2）当m＝－1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈(－1,0)∪(0，＋∞)，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S＝|m|a2.若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由． 答案为：

解：（1）设动点为M，其坐标为(x，y)． 当x≠±a时，由条件可得

，

即mx－y＝ma(x≠±a)．

又A1(－a,0)、A2(a,0)的坐标满足mx2－y2＝ma2， 故依题意，曲线C的方程为mx2－y2＝ma2.

2

2

2

当m<－1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；

当m＝－1时，曲线C的方程为x2＋y2＝a2，C是圆心在原点的圆；

当－1

当m>0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线．

（2）由(1)知，当m＝－1时，C1的方程为x2＋y2＝a2； 当m∈(－1,0)∪(0，＋∞)时， C2的两个焦点分别为F1

，F2

．

对于给定的m∈(－1,0)∪(0，＋∞)，C1上存在点N(x0，y0)(y0≠0)使得S＝|m|a2的充要条件是

由①得0<|y0|≤a，由②得.

当，即，或时，

存在点N，使S＝|m|a2；

当，即，或时，

不存在满足条件的点N.

当由

时，

，.

，

可

得

令，，∠F1NF2＝θ.

则由，可得，

从而，于是由S＝|m|a2，

可得综上可得：

，即.

当时，在C1上，存在点N，使得S＝|m|a2，且tanF1NF2＝2；

当时，在C1上，存在点N，使得S＝|m|a2，且tanF1NF2＝－2；

当时，在C1上，不存在满足条件的点N.

17.(2011 湖南)设双曲线值为( )

的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的

A．4 B．3 C．2 D．1 答案为：C

∵双曲线，∴双曲线渐近线方程为，即3x±ay＝0.

又由已知，双曲线渐近线方程为3x±2y＝0，∴a＝2.

18.(2011 湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(α

为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为______． 答案为：2

解析：由C1：，得曲线C1：x2＋(y－1)2＝1.

由C2：ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，得曲线C2：x－y＋1＝0. 方法1：(几何法)圆心(0，1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝0＜1， ∴C1与C2有2个交点．

方法2：(代数法)联立得2y2－4y＋1＝0，

Δ＝16－432＝8＞0，∴C1与C2有2个交点．

19.(2011 湖南)如图，椭圆

C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1 的长半轴长．

的离心率为，x轴被曲线

（1）求C1，C2的方程；

（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E. ①证明：MD⊥ME；

②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得说明理由． 答案为：

？请

解：（1）由题意知对C1：，从而a＝2b，又，解得a＝2，b＝

1.故C1，C2的方程分别为.

（2）①由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.

由得x2－kx－1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝k，x1x2＝－1.

又点M的坐标为(0，－1)，所以

故MA⊥MB，即MD⊥ME.

②设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y＝k1x－1.

由，解得，或.

则点A的坐标为．

又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为．

于是.

由得，

解得，或.

则点D的坐标为．

又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为．

于是

因此，．

由题意知，.解得，或.

又由点A，B的坐标可知，，

所以.

故存在满足条件的直线l，且有两条，其方程分别为和.

20.(2011 广东)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

(0≤θ＜π)和 (t∈R)，它们的交点坐标为________．

答案为：(1，)

解析：由两曲线参数方程消去x，y，t得

，由此得

.

又∵0≤θ＜π，

∴解得.

∴.

∴.

故交点坐标为(1，)．

21.(2011 广东)设圆C与两圆切，另一个外切．

（1）求C的圆心轨迹L的方程；

，中的一个内

（2）已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||

的最大值及此时点P的坐标．

答案为：

解：（1）两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径

为r.由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2， 两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.

则C的轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1

∴圆C的圆心轨迹L的方程为.

（2）由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，

连MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．

又

MF的方程为即代入x2－4y2＝4并整理得

，解得x＝或x＝＝，

显然x＝为点P的横坐标，点P的纵坐标为.

即||MP|－|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为(，－)．

22.(2011 广东)在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：.实数p，q

满足p2－4q≥0，x1，x2是方程x2－px＋q＝0的两根，记φ(p，q)＝max{|x1|，|x2|}．

（1）过点A(p0，)(p0≠0)作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的

任一点Q(p，q)，有；

（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2－4b＞0，a≠0.过M(a，b)作L的两

条切线l1，l2，切点分别为E(p1，)，E′(p2，)，l1，l2与y轴分别交

|p1|＞|p2|

于F，F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a，b)∈X

；

（3）设D＝{(x，y)|y≤x－1，(p，q)的最小值(记为φ答案为：

min

}．当点(p，q)取遍D时，求φ

max

)和最大值(记为φ)．

解：（1），

直线AB的方程为，即，

∴，方程x2－px＋q＝0的判别式Δ＝p2－4q＝(p－p0)2，

两根或，

∵p2p0≥0，∴，又0≤|p|≤|p0|，

∴

2

，得，∴φ(p，q)＝.

（2）由a－4b＞0知点M(a，b)在抛物线L的下方．

①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M(a，b)∈X，则p1＞p2≥0，得|p1|＞|p2|； 若|p1|＞|p2|，显然有点M(a，b)∈X；∴M(a，b)∈X?|p1|＞|p2|. ②当a＞0，b＜0时，点M(a，b)在第二象限，

作图可知，若M(a，b)∈X，则p1＞0＞p2，且|p1|＞|p2|； 若|p1|＞|p2|，显然有点M(a，b)∈X； ∴M(a，b)∈X?|p1|＞|p2|.

根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M(a，b)∈X?|p1|＞|p2|. 综上所述，M(a，b)∈X?|p1|＞|p2|(*)

由（1）知点M在直线EF上，方程x－ax＋b＝0的两根x1，2＝

2

或，

同理点M在直线E′F′上，方程x2－ax＋b＝0的两根x1，2＝或，

若φ(a，b)＝，则|不比、、小，

∴|p1|＞|p2|，又|p1|＞|p2|M(a，b)∈X，∴φ(a，b)＝M(a，b)∈X；

又由(1)知，M(a，b)∈Xφ(a，b)＝；

∴φ(a，b)＝ M (a，b)∈X，综合(*)式，得证．

（3）联立y＝x－1，得交点(0，－1)，(2，1)，可知0≤p≤2，

过点(p，q)作抛物线L的切线，设切点为(x0，)，则，

得，解得，

又，即p2－4q≤4－2p，

∴，设，∴，

∵，又，∴；

∵q≤p－1，∴，

∴.

23.(2011 安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )

A．2 B．答案为：C

C．4 D．

2x2－y2＝8化为标准形式：∴a2＝4.∴a＝2.∴实轴长2a＝4.

，

24.(2011 安徽)在极坐标系中，点( )

到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为

A．2 B． 答案为：D

C． D．

圆ρ＝2cos θ在直角坐标系中的方程为(x－1)2＋y2＝1，点(2，为(1，

)．

)的直角坐标

∴圆心(1，0)与(1，)的距离为.

25.(2011 安徽)设λ＞0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足

，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足

，求点P的轨迹方程．

答案为：

解：由知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，

y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，

则，

即

再设B(x1，y1)，

，①

由，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，

解得②

将①式代入②式，消去y0，得③

又点B在抛物线y＝x2上，所以.

再将③式代入，

得

22

22

2

(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)x－2λ(1＋λ)x＋λ， 2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.

因λ＞0，两边同除以，得.

故所求点P的轨迹方程为.

26.(2011 山东)已知双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2

＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )

A．答案为：A

B． C． D．

由题意得，＝0，

(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为，即bx±ay

又圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3，0)．

∴a2＋b2＝32＝9，且，解得a2＝5，b2＝4.

∴该双曲线的方程为.

27.(2011 山东)已知动直线l与椭圆C：交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两

不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝（1）证明：

和

，其中O为坐标原点．

均为定值；

（2）设线段PQ的中点为M，求|OM|2|PQ|的最大值；

（3）椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．

？若存在，

答案为：

解：（1）当直线l的斜率不存在时，P、Q两点关于x轴对称，所以x2＝x1，y2＝－y1.

因为P(x1，y1)在椭圆上，因此.①

又因为，所以|x1|2|y1|＝.②

由①②得此时

，

，|y1|＝1，

.

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，

由题意知m≠0，将其代入得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－2)＝0，

其中Δ＝36k2m2－12(2＋3k2)(m2－2)＞0，即 3k2＋2＞m2.(*)

又所以|

，，

.

因为点O到直线l的距离为.

所以S△OPQ＝|PQ|2d

.

又.

整理得3k2＋2＝2m2，且符合(*)式，

此时＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＝3，

＝

综上所述，

，

＝＝2.

，结论成立．

（2）解法一：①当直线l的斜率不存在时，

由(1)知|OM|＝|x1|＝，|PQ|＝2|y1|＝2，

因此|OM|2|PQ|＝＝.

②当直线l的斜率存在时，由（1）知，

，

＝＝＝，

|OM|2＝()2＋()2＝＋＝＝ (3－)，

|PQ|2＝(1＋k2)＝＝2(2＋)，

所以|OM|22|PQ|2＝3(3－)323(2＋)

＝(3－)(2＋)≤()2＝.

所以|OM|2|PQ|≤，当且仅当3－＝2＋，即m＝±时，等号成立．

综合①②得|OM|2|PQ|的最大值为.

解法二：因为4|OM|2＋|PQ|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＋(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝2[(

)＋(

)]＝10.

所以2|OM|2|PQ|≤＝＝5，

即|OM|2|PQ|≤.

时等号成立．

当且仅当2|OM|＝|PQ|＝

因此|OM|2|PQ|的最大值为.

（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝.

证明：假设存在D(u，v)，E(x1，y1)，G(x2，y2)满足S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝由(1)得 u2＋v＋

2

，

＝3，u2＋＝2，v＋

2

＝3，＝2，

＝3； ＝2，

解得u2＝＝＝；v2＝＝1.

因此u，x1，x2只能从±中选取，v，y1，y2只能从±1中选取，

因此D，E，G只能在(±，±1)这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，

与S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝矛盾．

所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.

28.(2011 江西)若椭圆的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1

的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

答案为：解析：

显然x＝1是一条切线，且过切点A(1，0)，设另一条切线方程为y－1)，即2kx－2y＋1－2k＝0.

＝k(x－

由，解得.

∴圆的切线方程为3x＋4y－5＝0.

解

为y＝－2x＋2.

得．进一步求得过A(1，0)与两点的直线方程

令x＝0，得y＝2.

故在椭圆方程中，b＝2，c＝1，∴a2＝5.

因此椭圆方程为.

29.(2011 江西)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为______________． 答案为：x＋y－4x－2y＝0

解析：∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.

将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入，有x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.

2

2

30.(2011 江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是上一点，M，N分

别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. （1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足答案为：

，求λ的值．

解：（1）点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线上，有，由题意

又有可得.

（2）联立设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

①

设

又C为双曲线上一点，即，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，

化简得.②

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以.

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，

得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.

31.(2011 四川)在抛物线y＝x2＋ax－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )

A．(－2，－9) B．(0，－5) C．(2，－9) D．(1，－6) 答案为：A

设直线与抛物线y＝x2＋ax－5切于点(x0，y0)，

2

则切线斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＋a，

而割线的斜率

故2x0＋a＝a－2，解得x0＝－1， 此时y0＝－4－a.

所以直线方程为y＋4＋a＝(a－2)(x＋1)， 即(a－2)x－y－6＝0.

而直线与圆5x2＋5y2＝36相切，

，

故，解得a＝4.

故抛物线方程为y＝x2＋4x－5，所以顶点坐标为(－2，－9)．

32.(2011 四川)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点

P到左准线的距离是__________． 答案为：16

解析：由双曲线，得a＝8，b＝6，

，

∴准线方程为.

设点P到右准线的距离为d，则由双曲线的第二定义知，∴

.

∴点P到左准线的距离为.

33.(2011 四川)椭圆有两顶点A(－1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

（1）当时，求直线l的方程；

（2）当点P异于A、B两点时，求证：答案为：

解：（1）因椭圆焦点在y轴上，

为定值．

设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，

由已知得b＝1，c＝1，所以，椭圆方程为.

直线l垂直于x轴时与题意不符．

设直线l的方程为y＝kx＋1，将其代入椭圆方程化简得

(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则，，

，

由已知得，解得.

所以直线l的方程为或.

（2）证明：直线l与x轴垂直时与题意不符． 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，

所以P点坐标为．

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

由（1）知，.

直线AC的方程为，直线BD的方程为

，

将两直线方程联立，消去y得.

因为－1＜x1，x2＜1，所以与异号．

.

又，

∴与y1y2异号，与同号，

，解得x＝－k.

因此Q点坐标为(－k，y0)．

.

故为定值．

34.(2011 重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为__________．

答案为：

解析：由抛物线的对称性可知，要使圆的半径最大，需使圆与抛物线仅有两个交点且与直线x＝3相切，如图所示，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2.

则由，联立消掉y可得：x2－2(a－1)x＋6a－9＝0.

由Δ＝[2(a－1)]－4313(6a－9)＝0，可得

2

，

∵a＜3，∴.∴圆的半径为.

35.(2011 重庆)如下图，椭圆的中心为原点O，离心率为

.

，一条准线的方程

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON

的斜率之积为，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若

存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由． 答案为：

解：（1）由，，

解得a＝2，，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为.

（2）设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由 得(x，y)＝(x1，

y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2. 因为点M，N在椭圆x2＋2y2＝4上，

所以故

，，

．

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知x1x2＋2y1y2＝0， 所以x2＋2y2＝20.

，因此

所以P点是椭圆上的点．设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，

，

则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值，又因

因此两焦点的坐标分别为F1，F2．

36.(2011 陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )

A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 答案为：B

∵抛物线的准线方程为x＝－2，∴抛物线的开口向右，设抛物线的标准方程为

y2＝2px(p＞0)，则其准线方程为∴抛物线的标准方程为y2＝8x.

，∴，解得p＝4.

37.(2011 陕西)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为__________． 答案为：3

(θ

解析：曲线C1： (θ为参数)的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－4)2＝

1，可知C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2；ρ＝1的直角坐标方程是x2＋y2＝1，可知C2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C1和C2上的两点A，B的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，

所以|AB|min＝d－r1－r2＝－1－1＝5－1－1＝3.

38.(2011 福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )

A． B．或2 C． D．

答案为：A

由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，故可设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，

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