高中数学知识点津3抽象函数与三角函数的图像与性质

高中数学知识点津3抽象函数与三角函数的图像与性质

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??）

（3）证明单调性：f(x2)?f??x2?x1??x2???? 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值： （1）y?2x?3?13?4x；（2）y?2x?4x?3

（3）x?3，y?9x2x2x?3； （4）y?x?4?9?x2?，???0，??? ?设x?3cos （5）y?4x?，x?(0，1]

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l??·R，S扇?12l·R? 1弧度 O R R 12?·R）

2

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 sin??MP，cos??OM，tan??AT

y T B S P α O M A x

如：若??8???0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是

又如：求函数y?1????2cos??x?的定义域和值域。

?2?2sinx?0 ∴sinx?22，如图：

（∵1????2cos??x?）?1??2?

∴2k??5?4?x?2k???4?k?Z?，0?y?1?2

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx?1，cosx?1

y x ? ? O 2

y?tgx ?2?

对称点为?k????，0?，k?Z

?2???2?2

x的增区间为?2k?? y?sin??，2k?????k?Z? 2??3???k?Z? ?2? 减区间为?2k??，2k?? 图象的对称点为?k?，0?，对称轴为x?k??x的增区间为?2k?，2k?????k?Z? y?cos?2?k?Z?

减区间为?2k???，2k??2???k?Z? 图象的对称点为?k??????，0?，对称轴为x?k??k?Z?

?2

y?tanx的增区间为?k?????2，k?????k?Z 2? 26. 正弦型函数y=Asin??x+??的图象和性质要熟记。?或y?Acos??x???? （1）振幅|A|，周期T?2?|?|

若f?x0???A，则x?x0为对称轴。

若f?x0??0，则?x0，0?为对称点，反之也对。 （2）五点作图：令?x??依次为0，（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

?2，?，3?2，2?，求出x与y，依点

??(x1)???0? 如图列出??

?(x)???2?2? 解条件组求?、?值

?正切型函数y?Atan??x???，T??|?|

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如：cos?x? （∵??x?????23???，x???，????，求x值。 6?22??3?2，∴7?6?x??6?5?3，∴x??6?5?4，∴x?1312?）

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数y?sinx?sin|x|的值域是

（x?0时，y?2sinx???2，2?，x?0时，y?0，∴y???2，2?） 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式：

??x'?x?ha?(h，k) （1）点P（x，y）????? ??P'（x'，y'），则?y'?y?k平移至?? （2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0 如：函数y?2sin?2x?图象？

（y?2sin?2x???????1横坐标伸长到原来的2倍?1???????????y?2sin??2??4??2???x????1 ?4???????1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的 4??个单位???平移1个单位4????y?2sinx?1?上?2sin?x???1???????????y?2sinx ??4左平移纵坐标缩短到原来的1倍2??y?sinx） ????????? 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin??cos??sec??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan?sin?2?cos0???称为1的代换。

?2??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2222?4

“k·“奇”、“偶”指k取奇、偶数。 如：cos9??7???tan????sin?21????46?sin??tan?cos??cot?，则y的值为

又如：函数y? A. 正值或负值

D. 正值

B. 负值 C. 非负值

sin??sin?sin??cos??1?cos???0，∵??0） 2cos?cos??sin??1?2 （y?cos??sin?

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