一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习及答案

zxxk.com 一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习

1.已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1

﹣3x2，求这个函数的解析式；

（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围。

2. 已知抛物线y??x?2mx?m?1与x轴交点为A、B（点B在点A右侧），与y轴交于点C。

（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；

（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若△BOC是等腰三角形，求抛物线的解析式；

（3）已知一次函数y?kx?b，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线y??x2?2mx?m2?1于点N，若只有当1?n?4时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式。3. 已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）。 （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；

（3）在（2）的条件下，将关于x的二次函数y= mx2+（3m+1）x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围。

(4,1)两点，4. 已知一次函数y1?kx?b（k≠0）的图象经过(2,0)，二次函数y?x2?2ax?42（其中a＞2）。

[来源学。科。网Z。X。X。K]22

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（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若a?5，求当y1?0且y2≤0时，自变量x的取值范围； 2②如果满足y1?0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取

值范围。

5. 已知二次函数y1?x2?bx?c的图象C1经过(?1,0)，(0,?3)两点。 （1）求C1对应的函数表达式；

（2）将C1先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线C2，将C2对应的函数表达式记为y2?x2?mx?n，求C2对应的函数表达式；

（3）设y3?2x?3，在（2）的条件下，如果在?2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2．．≤y3成立，根据函数图象直接写出a的取值范围。

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参考答案

1.（1）证明：

?=?4m?1??4m?3m?3?=?2m?1?,来源:Zxxk.Com]22

?m?1,??=?2m?1??0.所以方程有两个不等实根； （2）解：x?2

24m?1??2m?1?2m?4m?1??2m?1?，

2m?两根分别为3,1+1。 m11?1,?1??2.mm1?x1?x2,?x1?3,x2?1?.

m1?3??y?3?3?1????.m?m?3（3）解：作出函数y=-(m?1)的图象，并将图象在直线m?2左侧的部分沿此直

m3线翻折，所得新图形如图所示，易知点A,B的坐标分别为A(3,?3),B(2,?).2

当直线y?2m?b过点 A 时，可求得b??9

11过点B时，可求得b??,

2?m?1,?0?来源:Z,xx,k.Com]因此，。

2.解：（1）令y?0，有?x?2mx?m?1?0， ∴?(x?m)2?1?0，∴(x?m)2?1， ∴x1?m?1，x2?m?1，

[来源学科网ZXXK]22

∵点B在点A的右侧，

∴A(m?1,0)，B(m?1,0)；

（2）∵点B在原点的右侧且在点A的右侧，点C在原点的下方，抛物线开口向下，

zxxk.com zxxk.com ∴m?1?0，∴m?1， ∴OB?m?1，

令x?0，有y??m2?1， ∴OC?m2?1，

∵△BOC是等腰三角形，且∠BOC =90°，

∴OB?OC，即m?1?m2?1，

∴m2?m?1?0，∴m1?2，m2??1（舍去），∴m?2， ∴抛物线的解析式为y??x2?4x?3。

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，

由此可得交点坐标为(1,0)和(4,?3)。

将交点坐标分别代入一次函数解析式y?kx?b中， ，? k?b?0，? k??1得?解得?

4k?b??3. b?1．??一次函数的解析式为y??x?1。 3.（1）证明：∵m≠0，

∴mx2+（3m+1）x+3=0是关于x的一元二次方程.

∴△=（3m+1）2－12m=（3m－1）2。∵ （3m－1）2≥0，∴方程总有两个实数根；

1（2）解：由求根公式，得x1=－3，x2=?。∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，∴m=1；

m（3）解：∵m=1时，∴y=x2+4x+3，

∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（－3，0）、B（－1，0）。依题意翻折后的图象如图所示，

当直线y=x+b经过A点时，可得b=3。 当直线y=x+b经过B点时，可得b=1。 ∴1＜b＜3。

当直线y=x+b与y=－x2－4x－3 的图象有唯一公共点时， 可得x+b=－x2－4x－3，∴x2+5x+3+b=0，

1313∴△=52－4（3+b） =0，∴b=，∴b＞，

4413综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞。

4zxxk.com zxxk.com 4.（1）∵一次函数y1?kx?b（k≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，

?2k?b?0, ∴?4k?b?1.?1??k?,解得?2

??b??1.1x?1。 2∵y2?x2?2ax?4?(x?a)2?4?a2，

∴y1?2∴二次函数图象的顶点坐标为(a,4?a)；

[来源:Zxxk.Com]

（2）①当a?

5

时，y2?x2?5x?4， 2

因为y1?0且y2≤0，由图象 得2＜x≤4。 ②

135≤a＜。 625.（1）∵二次函数y1?x2?bx?c的图象C1经过(?1,0)，(0,?3)两点，

?1?b?c?0,∴?

c??3,??b??2,解得?

?c??3,∴抛物线C1的函数表达式为y1?x2?2x?3； （2）∵y1?x2?2x?3=(x?1)2?4， ∴抛物线C1的顶点为(1,?4)，

∴平移后抛物线C2的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为y2?x2； （3）a≥?1。

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