清华大学 任玉新---高等计算流体力学

主要内容

任玉新

1.Basics

2.Methods for compressible flows

1) The mathematical properties of Euler equations

2) Shock wave and entropy conditions

3) Riemann problem and the Godunov scheme

4) Approximate Riemann solvers: HLL solver and Roe solver

5) TVD scheme

6) ENO/WENO scheme

7) The compact scheme

1

3.Methods for incompressible flows

1) The staggered and the colocated grids

2) The MAC method

3) The SIMPLE method

4) The projection method

5) Other methods

6) Solution of N-S equations on the nonstaggered grid

References

[1] E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer, 1997 (First edition)

[2] J.D. Anderson, Computational fluid dynamics: basics with applications, Springer (清华大学出版社影印版)

2

[3] Barth and Deconinck (eds.) High order method for computational physics, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 9. Springer, 1999

[4] Ferziger and Peric, Computational method for fluid dynamics, Springer, 1996

[5] T. J. Chung, Computational fluid dynamics, Cambridge University Press, 2002

[6] J. W. Thomas, Numerical partial differential equations: conservation laws and elliptic equations. Texts in applied mathematics 33, Springer, 1999

[7] 吴子牛，计算流体力学基本原理，科学出版社， 2002.

[8] Sherrie L. Krist, Robert T. Biedron, Christopher L. Rumsey，CFL3D User＇s Manual, The NASA Langley Research Center,Hampton, VA

[9] S. K. Lele, J. Comput. Phys. 103, 16 (1992)

[10] S. Pirozzoli, J. Comput. Phys. 178 (2002)

[11]Yu-Xin Ren, Miao＇er Liu, Hanxin Zhang, J. Comput. Phys. 192 (2003)

3

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高等计算流体力学讲义(1)

第一章计算流体力学基本原理

第1节流体力学基本方程

一、非定常可压缩Navier－Stokes方程

4

5

不计品质力的情况下，在直角坐标系中，守恒型N －S 方程可以写为下列向量形式：

()()()

0v v v t x y z ??-?-?

-+++=????U F F G G H H ，

(1)

其中

u v w E ρρρρρ?? ? ? ?= ?

? ???U 2()u u p

uv uw E p u ρρρρρ??

?+ ? ?= ? ?

?+??F 2()v vu v p vw E p v ρρρρρ?? ? ? ?=+ ?

? ?+??G 2()w uw

vw w p E p w ρρρρρ??

?

?

?= ?

+ ?

?+??

H ，

0xx xy

v xz xx xy xz T u v w k x ττττττ?? ? ? ?= ? ? ?

?+++ ????F 0

xy yy

v yz xy yy yz T

u v w k y ττττττ?? ?

?

?

=

? ?

?

?+++ ????G ，

6 0xz zy v zz xz zy zz T u v w k z ττττττ?? ? ? ?= ? ? ??+++ ???

?H 。 如果忽略N －S 方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为Euler 方程：

0t x y z

????+++=????U F G H 。 方程、称为向量守恒型方程。其重要特点是：连续、动量和能量方程被写为统一形式。其中，,,,,,,v v v U F G H F G H 均為列向量，U 是方程的解向量，稱為守恆變數；,,,,,v v v F G H F G H 稱為通量（flux ），具體說,,F G H 為無粘通量，,,v v v F G H 為粘性通量。

所谓守恒型方程，是空间导数项为散度的形式的方程。，式所示的向量型守恒方程，实际上仍然是散度形式。显然，，式的另一

种等价形式为：

0t

?+?=?U E ， (2) 其中

()()()v v v =-+-+-E F F i G G j H H k ，

或

=++E Fi Gj Hk ，

通量張量，,,i j k 為直角坐標系三個坐標軸方向的單位基向量。把式在任意固定的控制体上积分，并利用Gauss 公式，有

7

0S

d dS t Ω?Ω+=??????U E n 。 这就是守恒积分型方程。可见，守恒的微分、积分型方程之间有直接的联系。式是我们以后将要讲到的有限体积方法的出发方程，而、或是则是有限差分方法的出发方程。

二、流体力学方程的简化形式

根据具体流动状态，N －S 方程可以进行各种简化。简化的形式及其适用条件是理论流体力学的重要研究内容之一。这里我们对于各种简化方程作一归纳，见下图：

8

9

图1.N －S 方程的简化形式

三、 曲线坐标系中的基本方程

当求解域的形状比较复杂时，计算流体力学方法通常在曲线坐标系中实施。因此，有必要得到曲线坐标系中流体力学基本方程的形式。在曲线座标中，向量可以采用在直角坐标中的分量形式，也可以采用协变或逆变分量，基本方程也将因此呈现出不同的形式。最简单，应用也最普遍的形式是向量分量为直角坐标系中的分量。下面，我们讨论这种情况下的流体力学基本方程。

直角坐标到曲线座标的变换及其逆变换关系为：

(,)(,)

x y x y ξξηη== (3) (,)(,)

x x y y ξηξη== (4) 1、导数的变换

对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有 x x x φφφξηξη

???=+??? 。 同理可得

10 y y y φφφξηξη

???=+???。 对于二阶偏导数，有

2222222222222

22()()()[][]()2()x x xx xx x x xx xx x x x x x x xx xx x x x x x x x x φφφξηξη

φφφφξηξηξηξη

φφφφφφξηξξηηξηξηξξηξηηφφφφφξηξξηηξηξξηη

????=+??????????=+++????????????=+++++?????????????=++++??????。

同理可得

222222222()2()yy yy y y y y y φφφφφφξηξξηηξηξξηη

??????=++++???????， 222222()xy xy x y x y y x x y x y φφφφφφξηξξξηξηηηξηξξηη

??????=+++++????????。 把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计算平面中的形式。以直角坐标系中的Laplace 方程 22220x y

φφ??+=?? 为例，把上述二阶导数的变换关系代入上述Laplace 方程，得

11 222222222[()()]2[][()()]()()0x y x x y y x y xx yy xx yy φφφξξξηξηηηξξηηφφξξηηξη

???+++++??????++++=??。 2、度量系数及其计算方法

在導數的座標變換公式中涉及到下列座標變換係數：,,,x y x y ξξηη。这些系数称为座标变换公式对应的度量系数（metrics ）。我們看到，為了求解計算平面中的偏微分方程，如错误！未找到引用源。式，必頇確定度量係數（有時還包括,,,,,xx xy yy xx xy yy ξξξηηη等）的離散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一般情况下，我们只知道座标变换关系、的离散运算式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。但是，直接構造,,,x y x y ξξηη的差分近似是不容易的。以x ξ為例，根據偏導數的意義，x ξ為y 保持不變時ξ隨x 的變化，如圖2所示，網格點P 處的x ξ的計算公式應為：

12 )Q P

x P Q P x x ξξξ-=-。

由於Q 一般不是網格點，因此,Q Q x ξ是未知的，只能通過插值方法確定。

另一方面，我們可以定義逆變換(4)式的度量係數,,,x x y y ξηξη。在贴体坐标系中，这些度量系数的有限差分离散非常简单。如果采用中心差分离

散，有

13

1,1,,,1,1,1,1,,,1,1

,)2)2)2)2i j i j i j i j i j i j i j i j

i j i j i j i j x x x x x x y y y y y y ξηξηξηξ

η+-+-+-+--=

?-=

?-=?-=

? 。 這就提示我們，如果能夠找到,,,x y x y ξξηη和,,,x x y y ξηξη之間的關係，我們就可以得到,,,x y x y ξξηη等的計算方法。下面，我们推导二者之间的关系。

由变换关系式，有

x y x y d dx dy

d dx dy ξξξηηη=+=+，

写成矩阵形式

x y x y d dx d dy ξξξηηη??????=??????????

?? 。

由逆变换式，有

x x dx d y y dy d ξηξηξη??????=??????????

??。 、式中的矩阵称为正变换和逆变换的Jacobi 矩阵。由、易知

14

1

x y x y x x y

y ξηξηξξηη-????

=??????

??， (5) 即

1x y x

y y x y

x J η

ηξξξξηη-????

=????-??

??， (6) 其中

1

x y x y x x J x y x y y y ξ

η

ξηηξξ

η

ξξηη-=

=-=

(7)

为座标变换的Jacobi 行列式（jacobian ）。因此，

1

111x x y y y J y J

x J x J

ηξ

η

ξ

ξηξη=

=-=-=。 根據错误！未找到引用源。、(7)、错误！未找到引用源。式，可以得到,,,x y x y ξξηη的差分離散形式。

如何計算,,,,,xx xy yy xx xy yy ξξξηηη呢？考虑

15 1

0x y x y x y x y ξξξηηηξξξξξξ=+==+=。

根据式，我们同样可以得到

1

1

x y y J x J η

η

ξξ==-。

現在，把错误！未找到引用源。式分別對,ξη求導：

16 22()()()()()()2()0()()()()()x y x y x y xx xy xy yy x y xx xy yy x y x y x y x y xx xy xy yy x x y x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y x y x y x y x x y y ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξηηξηξξηξηηηξηηξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ+=+++=+++++=++++=+=+++=++++()0()()()()()()0()()y xx xy yy x y x y x y x y xx xy xy yy x y xx xy yy x y x y x x y x x x y x y y y x y x y x y x y x y x x y y x y x x x y x y y y x y x y ξηξηξηξηηξξηξηξηηηξξηξηξηξηξξηξξηξηξηξηξηηξξηξηξηηηηξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ+=+++++=+=+++=+++++=+++++=+=22()()()()2()0y x y xx xy xy yy x y xx xy yy x y x y x y x y x x y y x y x x y y x y ηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηξξξξξξξξξξξξξξ+++=+++++=++++=， 上面四个关系中，只有三个是独立的，写成矩阵形式，有：

2

22

2()2()()()2()x y xx xy x y yy x y x y x x y y x x x y x y y y x y x x y y x y ξξξξξξξξξηξηηξξηξηξηηηηηηηηηξξξξξξξξξ????+????????+=-+?????????

???+??????

。

17

所以

12222()2()()()2()x y xx xy x y yy x y x y x x y y x x x y x y y y x y x x y y x y ξξξξξξξξξηξηηξξηξηξηηηηηηηηηξξξξξξξξξ-????+????????=-++????????????+??????， 2

2222

2()2()1()[()()]()2()x y xx xy x y yy x y x y J y Jy y J y Jx y J x y x y Jx y x y J x y x y J x Jx x J x x y ξξξξηξηξηηξηηξξξξηξηξηηξηξηξηηηηξξξξξξξξξ????+??-????-??=-+-+??????+??????-+????

??。 同理 2

22222()2()1()[()()]()2()x y xx xy x y yy x y x y J y Jy y J y Jx y J x y x y Jx y x y J x y x y J x Jx x J x x y ξξξξηξηξηηξηηξξξξηξηξηηξηξηξηηηηηηηηηηηηη????+??-????-??=-+-+??????+??????-+??????

。 對错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。式的右端進行有限差分離散，就可以算出,,,,,xx xy yy xx xy yy ξξξηηη。

三、任意曲线坐标系中流体力学方程组的守恒形式

考虑直角坐标系中的二维守恒型Navier －Stokes 方程：

()()0v v t x y

??-?-++=???U F F G G 。 利用一阶导数的变换公式，有

18 ()()()()0v v v v x y x y t ξξηηξξηη??-?-?-?-++++=?????U F F G G F F G G 。 错误！未找到引用源。式稱為(,)ξη平面上Navier －Stokes 方程的弱守恆形式。在错误！未找到引用源。式兩側乘以Jacobian J ，有

()()()()0v v v v x y x y J J J J J t ξξηηξξηη

??-?-?-?-++++=?????U F F G G F F G G 。 上面的方程中的各项可以进一步整理：

()()(){[()()]}()()()()()(){[()()]}()()()(),v v x y v x v y v x v y v v x y v x v y v x v y J J

t t

J J J J J J J J J J ξξξξξξξ

ξξξξ

ηηηηηηη

ηηηη??=???-?-?+=-+-?????----???-?-?+=-+-?????----??U U F F G G F F G G F F G G F F G G F F G G F F G G 得

(){[()()]}{[()()]}()[()()]()[()()]0v x v y v x v y v x x v y y J J J t J J J J ξξηηξηξηξηξηξη

???+-+-+-+-???????--+--+=????U F F G G F F G G F F G G 。

19 注意到

[

()()]()()0[()()]()()0

x x y y J J y y J J x x ηξηξξηξηξηξηξηξη????+=+-=?????

?

??

+=-+=????， 所以，

式可化简为 ()

{[()()]}{[()()]}0v x v y v x v y J J J t ξξηηξη??

?

+-+-+-+-=???U F F G G F F G G 。

错误！未找到引用源。式稱為(,)ξη平面上Navier －Stokes 方程的強守恆形式，一般記為： ()()()0v v t ξη???

+-+-=???U F F G G ，

(8) 其中

20

[][][][]x y

x y

v v x v y

v v x v y J J J J J ξξηηξξηη==+=+=+=+U

U F F G G F G F F G G F G 。

第2节 有限差分方法和有限体积方法

本节从一般意义上介绍求解Euler 方程的有限体积方法和有限差分方法。本节将不介绍具体的空间离散格式，也不涉及时间导数的离散方法；而是以半离散的有限差分和有限体积方法为例，讨论有限体积和有限差分方法的主要特徵以及二者之间的关系。注意到，本节中的所有分析，都假定网格是不随时间变化的，因此所有几何量都可以从时间导数项中提出。当网格随时间变化，例如动网格的情况下，除了随时间变化的几何量不能从时间导数项中提出来，其他的分析和本书是相同的。

考虑二维守恒型Euler 方程：

0=??+??+??y

G x F t U (9) 其中：

21 ????????????=E v u U ρρρρ ??

??????

?

???++=)(2p E u uv p u u F ρρρρ ??

??

?

???????++=)(2

p E v p v uv v G ρρρρ

式也可以写为： ()0U

Fi Gj t ?+?+=?

(10)

图3.有限体积方法的控制体

一、有限体积方法－方案A

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q9ye.html