六年级奥数-第五讲.几何-立体部分 教师版

第五讲 几何——立体部分

一、长方体和正方体

如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．

HEDaFCcBbGA

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体?2(ab?bc?ca)； 长方体的体积：V长方体?abc．

③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S正方体?6a2，V正方体?a3．

二、圆柱与圆锥

立体图形 h表面积 S圆柱?侧面积?2个底面积?2πrh?2πr2体积 V圆柱?πrh2 圆柱r S圆锥?侧面积?底面积?n360πl?πr22hr V圆锥体?13πrh2 圆锥 注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长

例题精讲： 【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10?10?6?600． 【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）

【解析】 原正方体的表面积是4?4?6?96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又

增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．

从而，它的表面积是：96?4?6?120平方厘米．

【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下

的立体图形的表面积是多少？

【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积

不变：50?50?6?15000(平方厘米)．

【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小

洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为

12厘米的正方形

14小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么

最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【解析】 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：

2?2?2?8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2?2?4?16(平

方厘米)，1?1?4?4(平方厘米)，

1412?12?4?1(平方厘米)，

?14?4?1414(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：

?298?16?4?1?14(平方厘米).

【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小

块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？

【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数?2?增加的面数．

原正方体表面积：1?1?6?6(平方米)，一共锯了(2?1)?(3?1)?(4?1)?6次， 6?1?1?2?6?18(平方米)．

【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为56cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体

表面积的和是 cm2．

【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面

积增加到原来的3倍，即表面积的和为56?3?168(cm2)．

【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？

25块积木

【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.

设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个3?3?3的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.

【例 6】 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该

如何打包？

⑴当 b?2h时，如何打包？ ⑵当 b?2h时，如何打包？ ⑶当 b?2h时，如何打包？

【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积?正面周长?长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，

图2的正面周长是8h?6b，图3的周长是12h?4b.两者的周长之差为2（b?2h）.

当b?2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b?2h时，按图2打包；当b?2h时，按图3打包.

ahb图1图2图3

【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 【解析】 考虑所有的包装方法，因为6?1?2?3，所以一共有两种拼接方式：

第一种按长宽高1?1?6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法. 第二种按长宽高1?2?3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.

其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.

【例 7】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．

【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正

方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：5?5?2?50(平方分米)；侧面：5?5?4?100(平方分米)，4?4?4?64(平方分米)．这个立体图形的表面积为：50?100?64?214(平方分米)．

【例 8】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方

体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．

【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：(1?2?3?5)?6?39?6?234(平方厘米)，

2222重叠部分的面积为：12?3?(22?2?12)?(32?22?12)?(32?22?12)?3?9?14?14?40(平方厘米)，

所以，所得到的多面体的表面积为：234?40?194(平方厘米)．

(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为52?32?22?38平方厘米,从左右两个面观察到的面积为2225?3?34平方厘米，从上下能观察到的面积为5?25平方厘米． 表面积为?38?34?25??2?194(平方厘米)．

【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形

的表面积．

【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个

上面?2个左面?2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9?8?10)?2?54(平方厘米)．

上下面

左右面

前后面

【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?

【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．

该图形的表面积等于(9?7?7)?2?46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．

【例 10】 有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂

成红色的表面积．

【解析】 4?4?(1?2?3?4)?4?56(平方米)．

【例 11】 棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方

体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少? 【解析】 切割成棱长是1厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的

个数之比为13:12，而13?12?25，所以小正方体的总数是25的倍数，即m3是25的倍数，那么m是5的倍数．

当m?5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5?5?5?4?2?65个，表面没有红色的小正方体有 125?65?60个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m的最小值是5．

【例 12】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼

成一个4?4?4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？

【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑

色小正方体尽量不露出来．

在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(4?2)3?8(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小

正方体有(4?2)2?6?24(个)，其中30?8?22个用黑色．

这样，在表面的4?4?6?96个1?1的正方形中，有22个是黑色，96?22?74(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．

【例 13】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个

连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？

【解析】 每个长方体的棱长和是288?3?96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96?4?24厘米．因

为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．

要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个8?7面，有8?7?56个； 涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8?7面，有8?7?2?112个；若两面相邻，应涂一个8?7面和一个9?7面，此时有7??8?9?2??105个，所以涂两面的最少有105个；

涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8?7面、一个9?7面，有7??8?8?9?4??147个；

V乙水?1319π（232r）?223h?881πrh2，V甲水?13πrh?213π（23r）?223h?1981πrh2，

198V甲水V乙水?81881πrh?πrh2198，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍．

【例 31】 (2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径

为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米．

20cm8cm100cm【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：?π?????22

?20??8???π??????100?8400π(立方厘米)，薄膜展开后为一2???2???个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为

8400π?0.04?659400平方厘米?65.94平方米．

另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．

?20??8?由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为π????π????84π(平方厘米)，展开后为一

?2??2?22个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π?0.04?6594厘米，所以展开后薄膜的面积为

6594?100?659400平方厘米?65.94平方米．

【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4

毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？

【解析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就

是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积． 因此，纸的长度 ：

?纸卷侧面积纸的厚度?3.14?10?3.14?30.0422?3.14??100?9?0.04?7143.5(厘米)

所以，这卷纸展开后大约71.4米．

【例 32】 如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将?ABC绕AC旋转一周，求?ABC扫

出的立体图形的体积．(π?3.14)

C4AB【解析】 如右上图所示，?ABC

扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高为4，

3体积为：?π?32?4?12π?37.68．

31

【例 33】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立

体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)

【解析】 以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm，高是3cm的圆锥体，体积为

1313?3.14?4?3?50.24(cm)

23以4cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm，高是4cm的圆锥体，体积为

?3.14?3?4?37.68(cm)

23以5cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3?4?5?2.4cm的两个圆锥，高之和是

5cm的两个圆的组合体，体积为

13?3.14?2.4?5?30.144(cm)23

【巩固】如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC边为轴旋转

一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？

BCA

abπ32【解析】 设BC?a，AC?b，那么以BC边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为

一周，那么所形成的圆锥的体积为

2，以AC边为轴旋转

abπ32，由此可得到两条等式：

??a?3?ab?48b4，两条等式相除得到，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到，根据勾??2?b?4a3???ab?36股定理，直角三角形的斜边AB的长度为5，那么斜边上的高为2.4．

如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为

2.4，高的和为5，所以体积是

2.4π?532?9.6π．

【例 34】 如图，ABCD是矩形，BC?6cm，AB?10cm，对角线AC、BD相交O．E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)

AEDAEDOO

【解析】 扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．

两个圆锥的体积之和为2??π?32?5?30π?90(立方厘米)；

31BFCBFC圆柱的体积为π?32?10?270(立方厘米)， 所以白色部分扫出的体积为270?90?180(立方厘米)．

【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD是矩形，BC?6cm，AB?10cm，对角线AC、BD相交O．图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？

ADO

【解析】 设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V，则V等于高为10厘米，底面半径

是6厘米的圆锥，减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积后得到．

所以，V?13?π?6?10?2?2BC13?π?3?5?90π2(立方厘米)，

那么阴影部分扫出的立体的体积是2V?180π?540(立方厘米)．

【例 35】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下

底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．

【解析】 ⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．

外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：10?10?6?4?4?4?π?22?2?536?8π(平方厘米)；

内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：

4?3?16?2??4?4?π?22??2π?2?3?2?192?32?8π?24π?224?16π(平方厘米)，

所以，总表面积为：224?16π?536?8π?760?8π?785.12(平方厘米)．

⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用

原立方体的体积减去这个体积即可．

挖出的几何体体积为：4?4?3?4?4?4?4?π?22?3?2?192?64?24π?256?24π(立方厘米)； 所求几何体体积为：10?10?10??256?24π??668.64(立方厘米)．

课后练习

练习1.

（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)

【解析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；

按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．

图1 图2 图3 图4

练习2. 一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时

酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)

301525

【解析】 观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．

当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高

的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：15π?瓶中剩余空间的体积(30?25)π?102?102102?102?375π

?125π，酒瓶容积：375π?125π?500π?1500(ml)

练习3. 如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂

刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

【解析】 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是12?22?42?21平方米，从上面观察到的面积是42?16平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是21?4?16?100平方米．

练习4. (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直

径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008cm2，则这个圆柱体木棒的侧面积是________cm2．(π取3.14)

【解析】 根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．

设圆柱体底面半径为r，高为h，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：

222?2r?h?2008(cm)，所以r?h?502(cm)，所以，圆柱体侧面积为：

2?π?r?h?2?3.14?502?3152.56(cm)．

2

练习5. 如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180

厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？

?180??50?【解析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为π???π?????7475π(平方厘米)，如果将其展开，展

?2??2?22开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25毫米(即0.025厘米)，所以长为

7475π?0.025?938860厘米?9388.6米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米． 本题也可设空心圆柱的高为h，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中h在计算过程将会 消掉．

月测备选

【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条

又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

【解析】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了

(3?1)?(4?1)?(5?1)?9刀，而原正方体一个面的面积1?l?1(平方米)，所以表面积增加了9?2?1?18(平方米)．原来正方体的表面积为6?1?6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6?18=24(平方米)．

【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其

内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π?3)

11cm5cm

【解析】 设圆锥的高为x厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：

5?π?6??11?x??π?6?2213?π?6?x12，解得x?9，

所以容器的容积为：V?π?62?12??π?62?9?540π?1620(立方厘米)．

3【备选3】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小

立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？

【解析】 大立方体的表面积是20?20?6?2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但

里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454?2400)?6?9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．

【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体

的表面积是多少？

4cm

【解析】 圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24?4?12.56(厘米)，侧面积是：12.56?12.56?157.7536(平方厘米)，两个底面积是：

3.14??12.56?3.14?2??2?25.12(平方厘米)．所以表面积为：157.7536?25.12?182.8736(平方厘

2米)．

【备选5】(2009年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，

这个容器最多能装水 升．

r1r21h2h

【解析】 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容

器容积是水的体积的8倍，即50?8?400升．

【解析】 大立方体的表面积是20?20?6?2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但

里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454?2400)?6?9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．

【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体

的表面积是多少？

4cm

【解析】 圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24?4?12.56(厘米)，侧面积是：12.56?12.56?157.7536(平方厘米)，两个底面积是：

3.14??12.56?3.14?2??2?25.12(平方厘米)．所以表面积为：157.7536?25.12?182.8736(平方厘

2米)．

【备选5】(2009年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，

这个容器最多能装水 升．

r1r21h2h

【解析】 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容

器容积是水的体积的8倍，即50?8?400升．

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