近世代数答案

1：证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。 证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 （2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。 （3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。 （4）零元是零矩阵。?A∈Mn(R),A+0=0+A=A。 （5）?A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。

2：证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。

证明：显然GLn(R)是个非空集合。

对于任何的A,B∈GLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C∈GLn(R)。

⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。 ⑵对任意A∈GLn(R)，AE=EA，所以E是单位元。

⑶任意的A∈GLn(R)，由于∣A∣≠0,∴A的逆矩阵A，满足

?1AA?1?A?1A?E且∴A的逆元是 A?1.所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。

3：证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n

阶正交群.

证：（1）由于E∈On (R),∵On (R)非空。

(2 ) 任意A,B∈On (R)，有（AB）T=BTAT=B-1A-1=(AB) -1, ∴AB∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。 (3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。 （4）对任意A∈On (R)，有AE=EA=A． ∴E为On (R)的单位元。

（5）对任意A∈On (R)，存在AT∈On (R)， 满足AAT=E=AA-1, ATA=E=A-1A． ∴AT为A在On (R)中的逆元。

∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。

4：证明：所有行列式等于1的n阶整数矩阵组成的集合SLn(Z),关于矩阵的乘法构成群。 证明：∵En∈SLn(Z)，∴SLn(Z)是个非空集合。

对任意A,B∈ SLn(Z),记C=AB,则C是整数矩阵，且C=∣AB∣=∣A∣∣B∣=1,∴C∈SLn(R)，即SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。

（1） ∵矩阵乘法有结合律，∴结合律成立。

（2） 对任意的A∈SLn(Z)，AE=EA=A,且E∈SLn9Z),∴A的单位元是单位矩阵E。

（3） 对任意的A∈ SLn(Z),因为A∈Mn(Z),故A∈Mn(Z),又

*A?1A??A*且

A?1A?1?A?1,所以A∈SLn(Z),又AA?1?1?A?1A?E,故A的逆元为A?1 。所

以 ，SLn（Z）关于矩阵乘法构成群。

5:在整数集中,规定运算“∈”如下：a⊕b=a+b-2, ?a,b∈Z.证明：（Z, ⊕）构成群。 证 （1）对于任意a，b⊕Z有 a⊕b=a+b-2∈Z， 于是“⊕”在Z上构成代数运算。 （2）对于任意a，b∈Z有，（a⊕b）⊕c=a+b+c-4． a⊕(b⊕c)=a⊕(b+c-2)=a+b+c-4， ∴(a⊕b) ⊕c=a⊕(b⊕c)于是结合律成立．

（3）对于任意的a，b∈Z ， a⊕b=a+b-2=b+a-2=b⊕a， 那么“⊕”在Z上有交换律。

（4）对于任意的a∈Z， 有2⊕a=2+a-2=a， ∴2为单位元． （5）对于任意的a∈Z， 有4-a∈Z．

(4-a) ⊕a=4-a+a-2=2， ∴4-a为a的逆元。 ∴（Z, ⊕）构成群。

6：分别写出下列各群的乘法表。 （1）例6中的群；

1 -1 i -i (3)群Z7*； 1 2 3 4 5 6 (4)群U(18). 1 5 7 11 13 17

1 1 5 7 11 13 17 1 1 2 3 4 5 6 1 1 -1 I -i -1 -1 1 -i i i i -i -1 1 -i -i i 1 -1 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1 5 5 7 17 1 11 13 7 7 17 13 5 1 11 11 11 1 5 13 17 7 13 13 11 1 17 7 5 17 17 13 11 7 5 1 ??aa?7：设G=???aa?????证：记???证明：G关于矩阵的乘法构成群。 a?R,a?0?。??11??aa????=aI，I=。 ????11??aa??11??∈G。 ??11?（1） G非空，??（2）?aI,bI∈G，则a,b∈R,a,b?0，∴2ab?0,aIbI=2abI∈G。

（3）?a,b,c∈R,且a,b,c?0,有（aIbI）cI=2abIcI=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),结合律成立。 （4）单位元为

111I∈G. ?a∈R,a?0,aI(I)= IaI=aI。 2221111I∈G。aI(I)=(I)aI=I。 4a4a4a2（5）?aI∈G，则∴（G，?）为群。

8：证明：所有形如23的有理数（m，n?Z）的集合关于数的乘法构成群。

mn证明：记G={23| m，n?Z} （1） （2）

G是一个非空集合；

mn?2m13n1,2m23n2?G，有2m13n1?2m23n2=2m1?m23n1?n2?G，

??是G上的一个代数运算； （3） （4）

00结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）； 1是单位元。

mnmn1=23?G，且1?23=23；

（5）?23?G，有2mn?m3?n?G，且2?m3?n?2m3n=1；

?

G关于数的乘法构成群。

?1ab???9：证明：所有形如?01c?的3*3实矩阵关于矩阵的乘法构成一个群。这个群以诺贝尔

?001???物理学奖获得者海森伯（Heisenberg）的名字命名，称为海森伯群（Heisenberg group）。 证：（1）显然非空。

?1a1b1??1a2b2??1a1?a2b1?b2?a1c2???????1c1?c2（2）保持代数运算：?01c1??01c2???0 ??G。

?001??001??0?01??????（3）结合律：

??1a1b1??1a2b2???1a3b3??1a1?a2b1?b2??1a3b3?????????????1c1?c2??01c3???01c1??01c2???01c3???0??001??001???001??0??01??????????001????1a3?(a2?a1)b3?c3(a2?a1)?(b2?a1c2?b1)?????01c3?(c2?c1)??0?01???1(a3?a2)?a1(b3?a2c3?b2)?(c2?c3)a1?b1?????01(c3?c2)?c1??0?01???1a1b1??1a2?a3b3?a2c3?b2???????01c1??01c2?c3??001??0?01?????1a1b1???1a2b2??1a3b3????????????01c1???01c2??01c3??。?001???001??001??????????

?100??1ab??100??100??1ab??1ab?????????????01001c01c01c010（4）单位元为?010?，== ?????。??????001??001??001??001??001??001??????????????1ab??1ab??1?aac?b??1?aac?b??????????c?= 1?c?∈G，使?01c??01（5）??01c?∈G，??0?001??001??00?001?1??????????1?aac?b??1ab??100???????01?c01c010????=??。 ?00????1????001??001?∴G构成群。

10：设G是群，a1,a2,…,ar∈G。证明（a1a2…ar）= ar-1ar-1-1…a1-1. 证：∵G为群，?ai∈G,i=1,2,…r.则a1a2…ar ∈G, ar-1ar-1-1…a1-1∈G.

∴（ar-1ar-1-1…a1-1）（a1a2…ar）=（ar-1…a2）(a1-1a1）(a2…ar）=（ar-1…a2）(a2…ar)=...= ar-1 ar=e. 又（a1a2…ar）（ar-1ar-1-1…a1-1）=（a1a2…）(arar-1）(ar-1-1…a1-1）=（a1…ar-1）（ar-1-1…a1-1）=…=

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