函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用练习题

§4.4 函数y＝Asin(ωx＋?)的图象及应用

一、选择题

π??

1．已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象

3??

( )

π?π?

A．关于点?，0?对称 B．关于直线x＝对称

4?3?

π?π?

C．关于点?，0?对称 D．关于直线x＝对称

3?4?

π???π?

解析 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin?2x＋?，因为f??＝0，所以函数图象

3???3?

?π?

关于点?，0?中心对称，故选A.

?3?2.要得到函数y?cos(2x?1)的图象，只要将函数y?cos2x的图象（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位

11 个单位 D.向右平移 个单位 2211解析 因为y?cos(2x?1)?cos(2(,所以将y?cos2x向左平移个单位,故x?)22C. 向左平移

选C.

3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜π，且f(0)＝3，则( )． 1π

A．ω＝，φ＝

26C．ω＝2，φ＝解析 由T＝∴sin φ＝

π

6

1π

B．ω＝，φ＝

23D．ω＝2，φ＝

π

3

π

)的最小正周期是2

2π

＝π，∴ω＝2.由f(0)＝3?2sin φ＝3， ω

3ππ，又|φ|＜，∴φ＝. 223

π

个单位后，再作关于x轴对称变换，4

4．将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移

得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是( )．

A．sin x B．cos x C．2sin x D．2cos x

解析 运用逆变换方法：作y＝1－2sin2x＝cos 2x的图象关于x轴的对称图象π?π?

得y＝－cos 2x＝－sin 2?x＋?的图象，再向左平移个单位得y＝f(x)·sin

4?4?

x＝－sin 2?x＋?＝sin 2x＝2sin xcos x的图象．∴f(x)＝2cos x. 5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<( )

A．－5安 B．5安 C．53安 D．10安

π1

)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是2100

??π?2?

T411

解析：由函数图象知A＝10，＝－＝. 2300300100∴T＝

12π＝，∴ω＝100π. 50ω

∴I＝10sin(100πt＋φ)． ?1?

，10?在图象上， 又∵点??300?1??

＋φ? ∴10＝10sin ?100π×300??πππ

∴＋φ＝，∴φ＝， 326π??

100πt＋?. ∴I＝10sin ?

6??

1π?1?100π×＋?＝－5. 当t＝时，I＝10sin ?

1006?100?

6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝

π

时，f(x)取得最大值，则( )． 2

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 1π

解析 ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f(x)有最大值，∴

32

1ππππ×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵－π＜φ≤π，∴φ＝.32233?xπ?

∴f(x)＝2sin?＋?，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而

?33?在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不是单调的，在区间[4π，6π]上是单调增函数．

π

7．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，

3所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )． 1

A. B．3 C．6 D．9 3

π?π?x－?解析 依题意得，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的是f?

3?3?π?ωπ???

? ＝cos ω?x－?＝cos?ωx－

3?3???

ωπ?ωπ???

ωx－2kπ＋ωx－?，而cos ?(k的图象，故有cos ωx＝cos?ωx＝cos?

3?3???ωπ??

ωx－?＝2kπ(k∈Z)， ∈Z)，故ωx－?

3??即ω＝6k(k∈Z)，∵ω＞0，因此ω的最小值是6. 二、填空题

π4π??

8. 将函数y＝sin(ωx＋φ)?ω>0，<φ<π?的图象，向右最少平移个单位

23??

2π

长度，或向左最少平移个单位长度，所得到的函数图象均关于原点中心对称，

3

则ω＝________.

解析 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有 T4π?2π?2π1＝－?－?＝2π，故T＝4π，即＝4π，ω＝. 3?23ω2?

1答案

2ππ??

9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，－≤φ≤?的图象上的两个相邻的

22??最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.

解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得＝2

T222

－22＝2，∴T＝4，∴ω＝

2π

T＝

π. 2

π??

10．已知函数f(x)＝3sin?ωx－?(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的

6??π??

对称轴完全相同．若x∈?0，?，则f(x)的取值范围是________．

2??π??

解析 由题意知ω＝2，∴f(x)＝3sin?2x－?，

6??π?π?π5??

当x∈?0，?时，2x－∈?－，π?，

2?6?66???3?

∴f(x)的取值范围是?－，3?.

?2?

π

11．在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当x＝时有最

9π?14π1?

大值，当x＝时有最小值－，若φ∈?0，?，则函数解析式f(x)＝

2?292?________.

1π14π

解析 首先易知A＝，由于x＝时f(x)有最大值，当x＝时f(x)有最小

2929ππ?12π1?4ππ???1?－?×2＝值－，所以T＝?，ω＝3.又sin?3×＋φ?＝，φ∈?0，?，9?92?232?9??2?π?π1?

解得φ＝，故f(x)＝sin?3x＋?.

6?62?

??ππ??

12．设函数y＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，φ∈?－，??的最小正周期为π，且其

2????2图象关于直线x＝

π

对称，则在下面四个结论中： 12

?π??π?

①图象关于点?，0?对称； ②图象关于点?，0?对称；

?4??3?π???π?

③在?0，?上是增函数； ④在?－，0?上是增函数．

6???6?以上正确结论的编号为________．

解析 ∵y＝sin(ωx＋φ)最小正周期为π，

∴ω＝∴2×

2ππ

＝2，又其图象关于直线x＝对称， π12

πππ

＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋，k∈Z. 1223

π?π?ππ??

由φ∈?－，?，得φ＝，∴y＝sin?2x＋?.

2?3?3?2?令2x＋

πkππ＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)． 326

π???π?

∴y＝sin?2x＋?关于点?，0?对称．故②正确．

3???3?令2kπ－

πππ

≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得 232

kπ－

5ππ

≤x≤kπ＋(k∈Z)． 1212

π??

∴函数y＝sin?2x＋?的单调递增区间为

3??5ππ??

?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

1212??

5ππ??π??

，kπ＋?(k∈Z)．∴④正确． ∵?－，0??kπ－1212??6??三、解答题

13．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x.

π

(1)将f(x)的图象向右平移个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g(x)的图象，

12

求g(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．

cos2x＋1

解析 (1)依题意f(x)＝3sin2x＋2·＝3sin2x＋cos2x＋1

2

π??

＝2sin?2x＋?＋1，

6??

π

将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数

12π?π???x－??＋?＋1＝2sin2x＋1的图象，该函数的周期为π，若将2f1(x)＝2sin?

12?6???

其周期变为2π，则得g(x)＝2sinx＋1. (2)函数f(x)的最小正周期为T＝π，

πππ

当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，函数单调递增，

262

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