专题8.1 直线与方程-2022届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版

1

第八篇 平面解析几何 专题8.01 直线与方程

【考试要求】

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 【知识梳理】 1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；

(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率

(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π

2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母

k 表示，即k ＝tan α；

(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1

x 2－x 1.

3.直线方程的五种形式

【微点提醒】

1.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系：

2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.

3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()

(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.()

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()

【教材衍化】

2.(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________.

3.(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.

【真题体验】

4.(2019·济南调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为()

A.30°

B.45°

C.120°

D.150°

2

3

5.(2019·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( )

A.(－2，1)

B.(－1，2)

C.(－∞，0)

D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

6.(2018·兰州模拟)已知直线l 过点P (1，3)，且与x 轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( )

A.3x ＋y －6＝0

B.x ＋3y －10＝0

C.3x －y ＝0

D.x －3y ＋8＝0

【考点聚焦】

考点一 直线的倾斜角与斜率 【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0???

?α∈????π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.????π6，π3

B.????π4，π3

C.????π4，π2

D.????π4，2π3

(2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.

【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围.

4

【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.

【规律方法】 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.

2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2

时，直线斜率不存在. 【训练1】 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )

A.????π6，π3

B.????π6，π2

C.????π3，π2

D.????π3，π2

考点二 直线方程的求法

【例2】 求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍；

(3)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

5

【规律方法】

1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).

【训练2】 (1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13

的直线方程； (2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程.

考点三 直线方程的综合应用

角度1 与不等式相结合的最值问题

【例3－1】 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.

角度2由直线方程求参数范围

【例3－2】已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0

【规律方法】与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.

(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解. 【训练3】如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米.

6

7

【反思与感悟】

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.

【易错防范】

倾斜角和斜率的范围

(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定.

(2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y ＝tan x 在????0，π2和???

?π2，π上的变化规律. 【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)

一、选择题

1.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

8 2.

如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )

A.k 1

B.k 3

C.k 3

D.k 1

3.(2019·北京延庆区模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( )

A.1±2或0

B.2－5

2或0

C.2±5

2 D.2＋5

2或0

4.(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是(

)

5.已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( )

A.[0，π)

B.????0，π

4∪????π

2，π

9 C.???

?0，π4 D.????π4，π2∪????π2，π

6.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )

A.y ＝3x ＋2

B.y ＝3x －2

C.y ＝3x ＋12

D.y ＝－3x ＋2

7.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )

A.????－1，15

B.?

???－∞，12∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪????15，＋∞

D.(－∞，－1)∪????12，＋∞

8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ????π4－x ＝f ????π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )

A.π4

B.π3

C.2π3

D.3π4

二、填空题

9.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.

10.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.

11.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.

10

12.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________.

【能力提升题组】(建议用时：20分钟)

13.(2019·天津和平区调研)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝

55，则l 的斜率为( ) A.－12

B.－12或－2

C.12

或2 D.－2

14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝

1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n ＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为( )

A.36

B.45

C.50

D.55

15.已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线l 的方程为________.

16.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.

11

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q90q.html