2013年中考数学专题复习 第23讲 圆的有关概念及性质精品导学案

第二十三讲 圆的有关概念及性质

【基础知识回顾】 圆的定义及性质： 圆的定义：

⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做 ⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合

【名师提醒：1、在一个圆中，圆←决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】 2、弦与弧：

弦：连接圆上任意两点的 叫做弦

弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 3、圆的对称性：

⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是

【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 垂径定理及推论：

1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用

2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线

3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】 三、圆心角、弧、弦之间的关系：

1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角

2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 圆周角定理及其推论：

1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是

【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是

作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 圆内接四边形：

定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角

【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】

1

考点一：垂径定理

例1 （2012?绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点， 2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形

乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点． 2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形． 对于甲、乙两人的作法，可判断（ ） A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误

C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确

考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 专题：计算题．

分析：由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°，得到∠OBE为30°，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°，再由∠BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；

由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确． 解答：解：根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB，

∵BC垂直平分OD，

∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

2

1∴OE=DE=2OD，又OB=OD， 1在Rt△OBE中，OE=2OB，

∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°， ∴∠BOE=60°，

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA， 又∠BOE为△AOB的外角， ∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°， 同理∠C=60°， ∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=∠BAC=∠C， ∴△ABC为等边三角形， 故甲作法正确；

根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD，

∵OD=BD，OD=OB， ∴OD=BD=OB，

∴△BOD为等边三角形， ∴∠OBD=∠BOD=60°，

又BC垂直平分OD，∴OM=DM， ∴BM为∠OBD的平分线， ∴∠OBM=∠DBM=30°，

又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角， ∴∠BAO=∠ABO=30°，

∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°， 同理∠ACB=60°， ∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC为等边三角形， 故乙作法正确， 故选A

点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键． 对应训练

3

1．（2012?哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=23，则⊙O的半径为（ ）

A．43 B．63 C．8

D．12

考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理． 专题：计算题．

分析：由∠B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠AOC的度数，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出∠OAC=30°，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径．

解答：解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为AC，且∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， 又OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°， ∵OP⊥AC， ∴∠AOP=90°，

在Rt△AOP中，OP=23，∠OAC=30°， ∴OA=2OP=43， 则圆O的半径43．

故选A

点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

考点二：圆周角定理

例2 （2012?青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C

（1）求证：CB∥MD；

?2（2）若BC=4，sinM= 3，求⊙O的直径．

4

考点：圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．

?分析：（1）由∠C与∠M是 BD所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的

圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD； （2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理

2??的即可求得BC= BD，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM= 3，即可求得⊙O的直径．

解答：（1）证明：∵∠C与∠M是BD所对的圆周角， ∴∠C=∠M， 又∵∠1=∠C， ∴∠1=∠M， ∴CB∥MD；

?

（2）解：连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵CD⊥AB，

??∴BC= BD，

∴∠A=∠M， ∴sinA=sinM，

BC在Rt△ACB中，sinA=AB， 2∵sinM=3，BC=4，

5

A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 考点：圆周角定理．

分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C的度数． 解答：解：如图，∵∠AOC=160°，

11∴∠ABC=2∠AOC=2×160°=80°，

∵∠ABC+∠AB′C=180°， ∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°． ∴∠ABC的度数是：80°或100°． 故选D．

点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解． 8．（2012?泸州）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80°

考点：圆周角定理．

分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，然后由三角形的内角和定理，即可求得∠C的度数． 解答：解：∵∠BOD=100°，

1∴∠A=2∠BOD=50°，

∵∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=70°． 故选C．

点评：此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关

16

键．

二、填空题 9．（2012?朝阳）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 5 ．

9．5

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：连接OD，由垂径定理得求出DE，设⊙O的半径是R，由勾股定理得出R2=（R-1）2+32，求出R即可． 解答：解： 连接OD，

∵AB⊥CD，AB是直径， ∴由垂径定理得：DE=CE=3， 设⊙O的半径是R，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2=OE2+DE2，即R2=（R-1）2+32， 解得：R=5，

故答案为：5．

点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，用了方程思想，题目比较好，难度适中．

10．（2012?成都）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为 2 ．

17

10．2

考点：垂径定理；勾股定理． 专题：探究型．

分析：先根据垂径定理得出BC的长，再在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的长即可． 解答：解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=23，

1∴BC=2，AB=3，

∵0C=1，

∴在Rt△OBC中， OB=OC2?BC2?12?(3)2?2．

故答案为：2．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，先求出BC的长，再利用勾股定理求出OB的长是解答此题的关键． 11．（2012?嘉兴）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为 24 ．

11．24

考点：垂径定理；勾股定理． 专题：探究型．

分析：连接OD，由AM=18，BM=8可求出⊙O的半径，利用勾股定理可求出MD的长，再根据垂径定理即可得出CD的长． 解答：解：连接OD， ∵AM=18，BM=8，

AM?BM18?82∴OD==2=13，

18

∴OM=13-8=5，

在Rt△ODM中，DM=OD?OM?13?5?12， ∵直径AB丄弦CD， ∴AB=2DM=2×12=24． 故答案为：24．

2222

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 12．（2012?株洲）已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB= ．

12．90°

考点：圆周角定理．

分析：由在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数． 解答：解：∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°， ∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°． 故答案为：90°．

点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用． 13．（2012?玉林）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是 ．

19

13．30°

考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；矩形的性质．

分析：首先连接OB，由矩形的性质可得△BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，∠BOC的度数，又由圆周角定理求得∠NMB的度数．

解答：

∵CN=CO，

∴OB=ON=2OC，

∵四边形OABC是矩形， ∴∠BCO=90°，

解：连接OB，

OC1?OB2， ∴cos∠BOC=

∴∠BOC=60°，

1∴∠NMB=2∠BOC=30°．

故答案为：30°．

点评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

14．（2012?义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（23，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：

（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ； （2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是 ．

2314．（1）3，（2）0或23 考点：圆周角定理；等边三角形的性质；梯形；解直角三角形． 专题：几何综合题．

20

分析：首先根据题意画出符合题意的图形，（1）当AB为梯形的底时，PQ∥AB，可得Q在CP上，由△APQ是等边三角形，CP∥x轴，即可求得答案； （2）当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，易得四边形ABPC是平行四边形，即可求得CP的长，继而可求得点P的横坐标． 解答：解：（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB， ∴Q在CP上，

∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴， ∴AC垂直平分PQ， ∵A（0，2），C（0，4）， ∴AC=2，

3?23∴PC=AC?tan30°=2×32， 23∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：2；

（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP， ∴Q在y轴上，

∴BP∥y轴， ∵CP∥x轴，

∴四边形ABPC是平行四边形， ∴CP=AB=23，

如图3，当C与P重合时， ∵A（0，2）、B（23，2），

23?3∴tan∠APC=2，

∴∠APC=60°，

∵△APQ是等边三角形， ∴∠PAQ=60°， ∴∠ACB=∠PAQ， ∴AQ∥BP，

∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为要的梯形，

21

此时点P的横坐标为0；

∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：0或23．

233故答案为：（1），（2）0或23．

点评：此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是根据题意

画出符合要求的图形，然后利用数形结合思想求解．

115．（2012?鞍山）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=2，

则∠D的度数是 ．

15.30°

考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值． 专题：计算题．

分析：由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30°；然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60°；最后在直角三角形ODE中求得∠D的度数． 解答：解：∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；

1又∵sinA=2，

∴∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）； 又∵点O是AB的中点， ∴OC=OB，

∴∠OCB=OBC=60°， ∴∠COB=60°，

∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）； 又∵DE⊥AB， ∴∠D=90°-60°=30°． 故答案是：30°．

点评：本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值．解题时，注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一知识点的利用．

22

三、解答题 16．（2012?荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）

考点：垂径定理的应用；勾股定理；等腰梯形的性质；解直角三角形的应用．

分析：连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，再在在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）即可得出结论． 解答：解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB． ∵OA=OB=5m，AB=8m，

1∴AF=BF=2AB=4（m），∠AOB=2∠AOF， AF在Rt△AOF中，sin∠AOF=AO=0.8=sin53°，

∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°，

22OA?AF∵OF==3（m），由题意得：MN=1m，

∴FN=OM-OF+MN=3（m），

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．

AE3?DE2， 在Rt△ADE中，tan56°=

∴DE=2m，DC=12m．

11061∴S阴=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）=2（8+12）×3-（360π×52-2×8×3）=20（m2）．

答：U型槽的横截面积约为20m2．

23

点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键． 17．（2012?南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．

考点：垂径定理；勾股定理． 专题：探究型．

分析：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．

解答：解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD，

∵AB=30cm，CD=16cm，

1111∴AE=2AB=2×30=15cm，CF=2CD=2×16=8cm，

在Rt△AOE中，

OE=OA?AE?17?15=8cm， 在Rt△OCF中，

2222OC?CF?17?8OF==15cm，

2222∴EF=OF-OE=15-8=7cm．

答：AB和CD的距离为7cm．

24

点评：本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 18．（2012?宁夏）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．

考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质．

分析：连接BD，根据平行线的性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得

11∠BDC= 2∠BOC，则∠C= 2∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．

解答：解：方法一：连接BD． ∵AB⊙O是直径， ∴BD⊥AD 又∵CF⊥AD， ∴BD∥CF， ∴∠BDC=∠C．

1又∵∠BDC=2∠BOC， 1∴∠C=2∠BOC．

∵AB⊥CD， ∴∠C=30°， ∴∠ADC=60°． 方法二：设∠D=x，

∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A=∠A， ∴△AFO∽△AED， ∴∠D=∠AOF=x，

∴∠ADC=2∠ADC=2x， ∴x+2x=180，

25

∴x=60，

∴∠ADC=60°．

1点评：本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，正确得到∠C=2∠BOC是解题的关

键． 19．（2012?长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°， （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求圆心O到BC的距离OD．

考点：圆周角定理；等边三角形的判定；垂径定理；解直角三角形． 专题：探究型． 分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可；

（2）连接OB，由等边三角形的性质可知，∠OBD=30°，根据OB=8利用直角三角形的性质即可得出结论． 解答：解：（1）在△ABC中， ∵∠BAC=∠APC=60°， 又∵∠APC=∠ABC， ∴∠ABC=60°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°， ∴△ABC是等边三角形；

（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆， ∴O为△ABC的外心， ∴BO平分∠ABC， ∴∠OBD=30°，

26

1∴OD=8×2=4．

点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，将各知识点有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力． 20．（2012?大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°． （1）求∠ACB的大小；

（2）求点A到直线BC的距离．

考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，进而得出∠A=∠C=30°即可； （2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD的长，进而求出AE的长度即可． 解答：解：（1）连接BD，

∵以BC为直径的⊙O交AC于点D， ∴∠BDC=90°， ∵D是AC中点，

∴BD是AC的垂直平分线， ∴AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵∠ABC=120°， ∴∠A=∠C=30°，

27

即∠ACB=30°；

（2）过点A作AE⊥BC于点E， ∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，

CDCD∴cos30°=BC=3， 33∴CD=2，

∵AD=CD， ∴AC=33，

∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，

331?33∴AE=2=2．

点评：此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出CD的长度是解题关键． 21．（2012?怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB． （1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数； （2）若AC=23，求证：△ACD∽△OCB．

考点：圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定． 专题：证明题；几何综合题． 分析：（1）连接OA，根据OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可；

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（2）过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得

ACDC?OCBC，根据相似三角形的判定推出即可． 出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC长得出

解答：（1）解：连接OA，

∵OA=OB=OD，

∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°， ∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，

由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．

（2）证明：过O作OE⊥AB于E， 由垂径定理得：AE=BE，

∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，

1∴OE=2OB=2，

由勾股定理得：BE=23=AE， 即AB=2AE=43， ∵AC=23， ∴BC=23，

即C、E两点重合， ∴DC⊥AB，

∴∠DCA=∠OCB=90°，

∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=23，

ACDC∴

OC?BC=3， ∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．

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点评：本题综合考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．

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