七年级数学下册第1章二元一次方程组(含有字母已知数的二元一次方程组的解法)湘教版

七年级数学下册：

含有字母已知数的二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法是初中代数的重要内容,也是中考命题的重要知识点之一。一般直接给出关于某二个未知数的二元一次方程组或应用题,对这种形式我们非常熟悉。也有一些以含有字母已知数的二元一次方程组的形式给出,但其解法有一定之规。

形式1：系数为字母已知数且没有给定范围的二元一次方程组。

常规解法：化为一元一次方程后,对未知数的系数进行讨论。

ax-by=a ①

例1、解关于x、y的方程组（ab≠0）

bx-ay=b ②

解：①×b- ②×a，得（a2-b2）y=0.

当a2-b2≠0时，即a≠±b时，有y=0,代入①，得x=1.

,∴ x=1

y=0

当a2-b2=0时，即a=±b，有y为一切有理数。

①当a=b时，x=y+1

②当a=-b时，x=1-y

y = 一切有理数

∴ x=1±y

形式2：解的和满足某条件,求字母已知数的值。

常规解法：把待定字母看成已知,即相当于常数,解出的方程组用这个常数表示未知数,再代入条件即可求得待定字母。

x＋2y=5m ①

例2、已知关于x、y的方程组的解满足方程

x-2y=9m ②

3x+2y=19，求m.

解: ①+②，得x=7m；①-②，得y=-m

1

2 ∵3x+2y=19，∴21m -2m=19，得m=1.

2x ＋3y=k 练习2: 已知方程组 3x+5y=k+1 的解的和是-12,求k 的值.

形式3：给出两个方程组同解,求字母的已知数的值。

常规解法：把二个方程组中不含字母已知数的方程组合,求出方程的解,再把方程的解代入含

有字母已知数的方程中,组成关于字母已知数的方程组即可解得。 2x+5y=-6 ① 3x-5y=16 ③

例3、已知关于x 、y 的方程组 ax+by=-4 ② 和方程组 bx-ay=-18 ④

的解相同，求【2

1（a-b ）】2009 的值. x=2

解：由① 、③组成方程组，得

y=-2

2a-2b=-4 a=-

2

11 把解代入 ②、④得方程组，得 得 2b+2a=-18 b=-

2

7 【21（a-b ）】2009=【21（-211+27）】2009=【（-2）×21】2009= -1

ax-2by=2 3ax-5by=9

练习：已知关于x 、y 的两个方程组 和

2x-y=7 3x-y=11

具有相同的解，求a,b 的值。

形式4：看错照样可得正确解。

常规解法：把解代入没有看错字母已知数的方程中得一次方程，在组成关于字母已知数的二

元一次方程组中得字母已知数，然后可得正确解。

3

例4、已知关于x 、y 的方程组 ax+5y=15 ① 由于甲看错了方程①中的a, 4x-by=-2 ② x=-3 x=5 得到方程组的解为 乙看错了②中的b,得到方程组的解为

y=-1 y=4 若按正确的a 、b 计算，求原方程组的解。

解：甲看错了a,没看错b,则解满足②；乙看错了b,没看错a,则乙的解满足①，有 -12+b=-2 a=10 10x+5y=15 x=-2

5 5a+20=15得 b=-1 ∴原方程组为 4x+y=-2得 y=8 形式5：方程组有正整数解的待定字母的值。

常规解法：把解写成用字母已知数表示的代数式，再由代数式为正整数确定。

2x+ay=16

例5、a 取何值时，方程组 有正整数解。

x-2y=0

解：解方程组，有 x=4

32+a y=416+a 要有正整数解，则4

16+a 为正整数。∴a+4=1，2，4，8，16 即a=-3,-2,0,4,12。

形式6：三个未知数而只有二个方程的求值问题。

常规解法：把其中一个未知数看成字母已知数，用这个字母表示未知数（即解关于另二个未知数的二元一次方程组），再求值。

4x-3y-3z=0

例6，已知 x-3y-z=0

求（1）x ：2的值；（2）x ：y ：z 的值；（3）2222z

y x yz xy -++的值。 解析：（1）3y=4x-3z=x-z,∴3x=2z,即x ：z=2：3

（2）把x=32z 代入有y=-91z, ∴x：y ：z=32z ：（-91z ）：z=32：(-9

1)：1=6：（-1）:9

4 （3）把x=52z,y=-91z 代入有 ，原式=2

222281194)92(272z z z z z -+-+-=4424--=116 形式7：给出二次三项式二个未知数分别对应的值，求字母已知数。

常规解法：分别代入得到二元一次方程组，再解方程组。

例7、代数式x 2+px+q 中，当x=-1时，它的值是-5；当x=3时，它的值是3，则p,q 的值是多少。

解：当x=-1时，它的值是-5；当x=3时，它的值是3，这个意思是把x=-1,x=3代入x 2+px+q,所得的值分别等于-5，3 1-p+q=-5 p=0

∴有 解得

9+3p+q=3 q=-6

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