数学分析三期中考试试卷及答案

适合数学分析三考前备考

数学分析三其中考试答案

（命题人：夏赞勋）

一、计算二重积分 (x y)3dxdy，其中D由曲线x y2与直线

D

（12分） x 2y 0及x 2y 0围成。

解：积分区域可以分为两部分，即D D1 D2，其中

D1 (x,y)0 y 1,2y x y2， D2

2y x y2。

(x,y) 1 y 0,

D

则二重积分 (x y)3dxdy (x3 3x2y 3xy2 y3)dxdy

D

又D1与D2关于x轴对称，则：

(3x

D

3D

2

y y3)dxdy 0

2

3

2

1

y22y

(x 3xy)dxdy 2 (x 3xy)dxdy 2 dyD1

113

2 (x4 x2y2)

042

y2

2y

(x3 3xy2)dx

dy 2 (

1

94114y 2y2 )dy 4415

二、设二元函数

x2,x y 1

f(x,y)

1 ,1 x y 2

22 x y

计算二重积分 f(x,y)d ，其中D {(x,y)x y 2}。（12分）

D

解：由于积分区域D关于x轴，y轴都对称，且在对称点处的函数值均相同，所以 f(x,y)d 4 f(x,y)d 4 x2d 4

D

D1

s1

s2

1x y

2

2

d 。

其中D1 S1 S2,

S1为由坐标轴和直线x y 1围成的区域，S2为由坐标轴以及直线

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x y 1,x y 2围成的区域。

由于 x2d 0dx 0x2dy

s1

11 x

1 12

11rdr 2

0cos sin r

s2

1x y

2

2

0

d 2d 2

cos sin

1cos sin

2

12cos( )

4

1

Insec( ) tan( )

442

2

2ln(2 1)

即得： f(x,y)d 422 1)

D

1

3

三、计算二重积分 (1 x) cos2y)dxdy，其中积分区域D是由直线

D

y x 3,y

x5

,y ,y 所围成。（8分） 2222

2

2y 5

解： (1 x) cosy)dxdy 2dy y 3(1 x) cos2ydy

D

2

3

(y2 14y 16) cos2ydy 2(3y2 32)sinydy 3 26. 022

2

四、求积分I 的区域。（8分） 解：I 1dx 0

2

lnx

22dxexy1xylnxdy dx ln2 xx 11xx 1x(x 1)0

D

exy

dxdy,其中D是由y lnx,y 0,x 2所围成x

x 1

五、计算积分

I

1

arctanxx x

2

（10分）

1arctanxarctanxdy 解: 将被积表达式中用积分表示出来，即。 01 x2y2xx

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又limx 0

arctanx1arctanx

lim 1，即可在点0处对函数作连续延拓。x 01 x2xx

而瑕积分

I

1

1 x

2

收敛。

arctanxx x

2

另外已知函数则有I(y) 0

1

在矩形域R(0 x 1,0 y 1)连续

1

11dydx

。 dy 01 x2y2002 222

x(1 xy) x

1

arctanxx x2

dx

设x cos ，dx sin d ,有I(y) 0dy 02再设u tan ，du sec2 d ，有

I(y) dy

01

0

1

d

。 22

(1 ycos )

1du1u 1dy ()dy ln(1 2)22 0022222(1 y) u) y y0 y

六、求I y2dxdy，其中D为y x2,y x,x 0所围成区域。（10

D

分）

解：先对x积分，将D分块：

D {(x,y)0 y

12

,0 x y} {(x,y)

12

y 1,0 x y2}

于是

1

I

dy

y

ydx 1dy

2

2

1

y2

1

ydx

2

yydy 1(1 y2)dy 1

2

2

1

2

2

七、求I y x2dxdy,其中D：x 1,0 y 2.（10分）

D

解：记D1 {(x,y)(x,y) D,x 0,y x2}，D2 {(x,y)(x,y) D,x 0,y x2}， 于是

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I 2 y xdxdy 2 x ydxdy 2 dx 2y xdy 2 dx

D1

D1

x

22

12

2

1

x2

x2 ydy

414141161 5 (2 x2)2dx x3dx 422cos3t 22costdt 4cos4tdt 303030330323

3

31

八、求三重积分I

ysinx

dV,其中 由y x,y 0,z 0,x z 围

2x

成。（10分） 解：I

xysinxysinx2dV dxdy dz 2dx 000xxDxy

(

2

x)

sinx

ydy x

1 1 2( x)sinxdx 20242

1 x y 2,x 0,y 0,0 z 3（10九、求三重积分I ze(x y)dV,其中 ：

2

分）

解： 可表成： ：0 z 3，(x,y) Dxy，其中

Dxy {(x,y)x 0,y 0,1 x y 2}

于是

I ze

(x y)2

dV

Dxy

e

(x y)2

dxdy

3

22299

zdz e(x y)dxdy 2d cosx1 sinxr(cos sin )rdr

2Dxy20

cosx sinx

2

9d 94dtan 93

2 (e4 e) 2 (e e) e(e 1) 22 00444(cos sin )(1 tan)

十、计算下列积分（提示：化为二重积分计算）（10分）

I e

x2

dx

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解：I 0edx 0edx 0edx 0edy 0

2

x2

x2

x2

y2

e (x

2

y2)

dxdy

200

e

r2

rdrd

16

，

即I

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q8hq.html