小学奥数周期问题教师版

第十四讲:周期问题

知识点说明

周期问题：

周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.

分类： 1．图形中的周期问题；

2．数列中的周期问题；

3．年月日中的周期问题．

周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。

⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；

例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？

这个数列的周期是2，18 2 9，所以第18个数是2．

⑵如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；

例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？

这个数列的周期是3，16 3 5 1，所以第16个数是1．

⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．

例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？

这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(16 1) 2 7 1，所以第16个数是2．

板块一、图形中的周期问题

【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：

●●○●●○●●○

你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？

【解析】 仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……

也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白

球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一

个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90 3 30，正好有30个

周期，第90个是白球．100 3 33…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．

【巩固】 美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序

排列的：

○●○○○●○○○●○○○

那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？

美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？

【解析】 观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我

们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个

珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为102 4 25…2，所以最后一个珠子是第26

个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共

有25 1 26（个）

【例 2】 小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．

⑴第73颗是什么颜色的？

⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？

⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？

【解析】 ⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．73 5 14(组)……3(颗)，第

73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．

⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有5 9 45(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2

颗，所以它是从头数的第47颗．列式：5 9 2 45 2 47(颗)

⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有

完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式：

5 2 4 10 4 14(颗)．

【巩固】 奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢

迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？

【解析】 这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为28 5 5…3，所以28

个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字

是“欢”字．

【巩固】 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就

是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？

【解析】 从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：

1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．73 4 18 1，即73被4除的余数

是1，因此第73盏灯是白灯．

【例 3】 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后 又是5

盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、 这样排下去．问：

⑴第150盏灯是什么颜色？

⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？

【解析】 ⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个

周期就是5 4 1 10（盏）灯．150 (5 4 1) 15，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应

该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．

⑵如果是200盏灯，就是200 (5 4 1) 20的周期．每个周期都有4盏蓝灯，20 4 80（盏）

前200盏彩灯中有80盏蓝灯．

【巩固】 在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到

第50颗，那么其中白珠有多少颗？

【解析】 50 (2 2 5) 5…5．5 2 2 12（个）．

【巩固】 小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．

⑴最后1枚是几分硬币

⑵这200枚硬币一共价值多少钱？

【解析】 ⑴每个周期有3 2 1 6枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断

200 6 33……2，所以最后一枚是1分硬币

⑵每个周期中6枚硬币共价值1 3 2 2 1 5 12（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，

就可以得到一共价值多少了12 33 2 398（分），所以，这200枚硬币一共价值398分．

【巩固】 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最

后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？

【解析】 19 6 3…1,14 6 2…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．

【巩固】 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？

这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？

【解析】 这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5 9 13 27（朵）花．因为

249 27 9……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵

花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249

朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法：

（方法1）249 (5 9 13) 9……6

红花有：5 9 5 50（朵）绿花有：13 9 117（朵）红花比绿花少：117 50 67（朵）

（方法2）249 (5 9 13) 9……6，一个周期少的：13 5 8（朵），9 8 72（朵），余下的6

朵中还有5朵红花，所以72 5 67（朵）.

【例 4】 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A”，第二组是“们，

B

⑵如果“爱，C”代表1991年，那么“科，D”代表1992年 问2008年对应怎样的组？

【解析】 （1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我

们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ABCDEFG”七个字母为一个周期

62 5 12……2 ,62 7 8……6，所以第62

组是“们，F”

⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则

按“DEFGABC” 七个字母为一个周期：2008 1991 17（组），17 5 3……2

17 7 2……3，所以2008年对应的组为“学，F”．

【巩固】 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），

那么第50组是什么？

【解析】 要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第

一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，50 6 8…2，第50个字就是北．再看第二行“奥林

匹克运动会”是7个字一个周期，50 7 7…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，

第50组就是“北奥”．

【例 5】 如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部

分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过

水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关

于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位， ，如此继续，一直对称地飞下去。

由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？

【解析】 0米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到0号位置！2004是4的倍数，

所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。

板块二、数列中的周期问题

【例 6】 小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3

你知道他写的第81个数是多少吗？

你能求出这81个数相加的和是多少吗？

【解析】 ⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数

则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，81 5 16…1

⑵每个周期各个数之和是：7 0 2 5 3 17．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下

的各数，即可得到答案．17 16 7 279，所以，这81个数相加的和是279．

【巩固】 根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？

1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17

【解析】 观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，0～4共五个数，则可列式为：5

×9＋1=46，即51为第46个数。

【例 7】 ⑴4 4 4（25个4），积的个位数是几？

⑵24个2相乘，积末位数字是几？

【解析】 ⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的末

位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以25 2 12…1，25个4相乘，积的末位数字

是4．

⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组24 4 6，所

以24个2相乘，积末位数字是6．

【巩固】 紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，

8 9 72，在9后面写2，9 2 18，在2后面写8 得到一串数字：19892868 ，问：这串

数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？

【解析】 ⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……“286884”这6个数字重复

出现，周期是6．

⑵第1999个数字是：因为(1999 4) 6 332 3，所以，第l999个数字是6．

⑶这1999个数字的和是：

(1 9 8 9) (2 8 6 8 8 4) 332 (2 8 6) 27 11952 16 11995

【例 8】 12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．

⑴从1号同学开始，顺时针传l00次，手绢应在谁手中？

⑵从1号同学开始，逆时针传l00次，手绢又在谁手中？

⑶从1号同学开始，先顺时针传l56次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107

次，最后手绢在谁手中？

10

9

8

534

【解析】 ⑴因为一圈有l2个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号开始，顺时针传l00

次，我们先用除法求传了几圈、还余几次．100 12 8(圈)……4(次)从1号同学顺时针传4次

正好传到5号同学手中．

⑵与第一小题的道理一样，先做除法．100 12 8(圈)……4(次)这4次是逆时针传，正好传到9

号同学手中(如图)．

⑶先顺时针传156次，然后逆时针传l43次，相当于顺时针传156 143 13(次)；再顺时针传l07

次，与13次合并，相当于顺时针传13 107 120(次)，120 12 10(圈)，手绢又回到l号同学手

中．

【巩固】 8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按

顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？

【解析】 将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：72 8 9组，没有余数，球正好

在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上．

【巩固】 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字．的

圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字．的圆圈起跳，但

它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？

【解析】 解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键．本题

中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置，如此循

环，周期为12．

⑴因为1991 12 165 11，所以，红跳蚤跳了1991步后落到了标有数字11的圆圈．

⑵因为1949 12 162 5，所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈．

⑶所求的乘积是11 7 77.

【巩固】 如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开

始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485

个位置，

第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置 如此继续下去，问至少

经过几天，小球又回到原来的1号位置？

【解析】 根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周

期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置. 156÷8=19……4，就是说，每

个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置. 要使小球回到原来的1号位，

至少应逆时针前进8个位置. 8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又

回到原来“1”号位置.

【巩固】 如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人

从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，

再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？

【解析】 这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走

到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…

10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.

【例 9】 甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米

不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，

然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长

度是多少？

【解析】 此题最好画图为同学们示意：在前30厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米内的是：4，

2，因此60厘米一个周期：（1+3+5+4+2）×300/60=75厘米 .

【例 10】 右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B代表多少？

【解析】 根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆

圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.

于是：B=891÷(9×9)=11.

【巩固】 课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，

丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？

【解析】 根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次．因为是4个人在报数，所以报4次就要重复一

遍，也就是说是以4为一个周期重复的．34里面有8个周期还余2次，所以“34”应是重复8

遍以后第二个人报的，即乙报的．71 4 17…3，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的．

【例 11】 实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9

个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？

【解析】 昨晚8点至今早8点，共经历60 12 720(分钟)，720 7 102 6，说明从今早8点整起，7

分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好

跳到“0”位，指针共跳了102次．

由于每次跳9格，所以共跳了9 102 918(格)．每20格一圈，918 20 45 18，因此从“0”位

开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：20 18 2，因此昨晚8点

整时指针正指着2．

【巩固】 有A、B、C三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是3:4:5．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停8秒

钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，14分钟后第二次同时开始鸣叫，此时B蜂鸣器

已是第43次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒A与C第一次同时结束鸣叫？

【解析】 14分钟即14 60 840秒，根据题意可知在840秒内B蜂鸣器已经鸣叫了42次，也停了42次，

那么B蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为840 42 20秒，所以B蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为：

20 8 12秒，那么A蜂鸣器每次鸣叫持续9秒，C蜂鸣器每次鸣叫持续15秒，

则A、C两个蜂鸣器每次鸣叫加停止的时间分别为9 8 17秒和15 8 23秒，

由于 17,23 391，所以经过391秒之后A与C要第二次同时开始鸣叫，由于在此时A与C都停止

鸣叫了8秒，所以A与C第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第391 8 383秒．

【例 12】 有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？

【解析】 我们可以用列表的方法寻求周期．

通过表格我们可以发现，余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第

二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5）

因为111 3 37，所以这个数除以6后余数的末位数字是3；

因为(111 1) 3 36…2，所以这个数除以6后商的末位数字是8．

【巩固】 有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？

【解析】 余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商

的末位数字的周期为3（1，8，5），因为1111 3 370…1，所以这个数除以6后余数的末位数

字是1；因为(1111 1) 3 370，所以这个数除以6后商的末尾数字是5．

【例 13】 求28128 2929的个位数字.

128【解析】 由128÷4＝32知，28

1的个位数与8的个位数相同，等于6。由29÷2＝14 1知，29的429个位数与9的个位数相同，等于9.因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16

－9＝7.

（367【巩固】 算式367 762762） 123123的得数的尾数是几？

【解析】 这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：

7：7，9，3，1……，367/4=91…3，个位数是3 ；

2：2，4，8，6……，762/4=190…2，个位数是4 ；

3：3，9，7，1……，123/4=30…3，个位数是7 ；

因此个位数：（3+4）×7=49 .

板块三、日期中的周期问题

【例 14】 阳历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星期几？

【解析】 每四年有一个闰年，闰年的年份被4整除，所以从1978年至1999年共有17个平年，5个闰年，

由此可以算出总天数，用总天数除以7，余1是星期一，余2是星期二，依次类推

365 17 366 5 8035（天），8035 7 1147（星期）……6（天），所以，阳历2000年1月

1日是星期六．

【巩固】 1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？

【解析】 00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，

2005年的元旦是星期六

【巩固】 小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期几呢？

【解析】 从日历上可以看到，每个星期有7天，就是以7天为一个周期不断地重复．6月1日是星期六，

那么再过7天，即6月8日，还是星期六；如果再过14天，即6月15日，还是星期六，所以要

知道6月27日是星期几，首先要求出6月27日是6月1日后的第几天，27 1 26（天）；因为

每个星期都是7天，也就是周期为7，所以26 7 3（星期）…5（天）．这样，从6月1日开始

经过3个星期，最后一天是星期六，从这最后一天再过5天就是星期四．

【巩固】 今天是星期三，那么从明天起第365天是星期几？

【解析】 题中所说的第365天，不包括今天在内，是说“从今天之后的第365天”．

365 7 52（星期）…1（天），所以，从明天起，到第365天是星期三．

【巩固】 2002年的6月1日是星期六，那么这一年的10月1日是星期几呢？

【解析】 我们只要算出6月1日到10月1日要经过多少天，然后按照7天为一个周期，运用周期变化规

律解答．由于6月1日与10月1日这两个日子不在同一个月里，就要考虑经过月份是什么月？

一共有多少天？因为6月有30天，7月有31天，8月有31天，9月有30天，所以6月1日到

10月1日要经过的天数：30 31 31 30 1 123（天），123 7 17…4 ，这个周期从周六开

始，那么第4天正好是星期二．

【巩固】 2008年3月3号是星期一，算一算2008年8月8号奥运会开幕是星期几？

【解析】 首先我们应该算出2008年3月3号到8月8号一共有多少天，(31 2) 30 31 30 31 8 159

（天）．按照7天为一个周期，159 7 22…5，这个周期的第一天是星期一，那么第五天就应

该是星期五，所以2008年8月8号奥运会开幕是星期五．

【巩固】 2008年的“六·一”儿童节是星期日，2008年的“十·一”是星期几？

【解析】 这个周期从周日开始，那么第4天正好是星期三． 30 31 31 30 1 123（天）123 7 17…4，

【巩固】 1998年元旦是星期五，l999年元旦是星期几？2000年元旦是星期几？2001年元旦是星期几？

【解析】 l998年是平年，1998年元旦到l999年元旦共365天．365 7 52 1，即l998年元旦到1999

年元旦要经过52个星期又l天，1998年元旦是星期五，经过52个星期还是星期五，再经过1天

便是星期六，因此l999年元旦是星期六．1999年元旦到2000年元旦也是365天，也要经过52

周又l天，故2000年元旦是星期日．因为2000年是闰年，2月份有29天，故2000年元旦到2001

年元旦共366天，366 7 52 2，2000年元旦是星期日，经过52周还是星期日，再过2天

便是星期二，即2001年元旦是星期二．

【巩固】 图中是2002年5月份日历表．⑴该月8号是星期几？⑵该年6月l日是星期几？该年l0月1

日是星期几？⑶2004年5月l日是星期几?

日一二三四五六

1

567829341011

12131415161718

19202122232425

262728293031

【解析】 一个星期有7天，因此7天为一个周期．从表中我们可以看出l号～７号是一个周期，1号是第

一个循环的第一天，7号是第一个循环的最后一天，8号是第二个循环的第一天，计算天数时为

了方便，我们可以采取“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法．在算该年6月1日、10月1

日、2004年5月1日是星期几时，要注意应准确地算出各是经过了多少天，这其中不要忘记2004

年是闰年，共有366天．

⑴该月的8号是星期三．

⑵从5月1日到5月31日共31天，31 7 4 3，所以6月1日是星期六．从5月1日到9

月30日共l53天．153 7 21 6，所以10月1日是星期二．

⑶从2002年的5月1日到2004年的4月30日共731天．731 7 104 3，所以2004年5月1日是星期六．

【例 15】 小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛

奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？

【解析】 21天内，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期．100 7 14…

2，所以方方第100次取奶是星期四．

【巩固】 甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙

首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？

【解析】 甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从周三往前数5天，由周

期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过5次.

【例 16】 在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数(双数)，则这个月的5日是星期几？

【解析】 一个星期有7天，注意7是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同．于是在每

个月从l日到28日这28天中，有28 7 4个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而题中第3个日期为偶数的星期天必为30日．由此可以推知，这个月的第1个星期天是30 4 7 2日，那么，5日为星期三．

日一二三四五六

2

9345678101112131415

20212216171819

30 23242526272829

所以这个月的5日是星期三．

【巩固】 已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个

月的5号是星期几？

【解析】 这道题表面看无从下手．实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天

数只能是4或5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是4天，用列表法可以得到答案．

日一二三四五六

1

7829345610111213

14151617181920

21222324252627

282930

所以这个月的5号是星期五．

【巩固】 一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月?

【解析】 1月1日是星期日，全年就有53个星期日。每月至少有4个星期日，53-4×12=5，多出5个星期

日，在5个月中．即最多有5个月有5个星期日．

课后练习

练习1. ★○○○★★○○○★★○○○ 这样的一排图形中第87个是什么图形，在87个图形中一共

有多少个五角星？

【解析】 87 (2 3) 17…2．第87个图形是圆形．17 2 1 35（个）．

练习2. 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后

又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？

【解析】 小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2

黑、1白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是5 4 3 2 1 15，因此只要用2003除以15， 2003 15 133…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8个，所以第2003个小球是涂黄色．

练习3. 如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第99行右边第一个数是几？

【解析】 每7个数，分成两行一个周期，99÷2=49……1，第98行中最大的那个数为：（49×7-1）×2=684，

所以第99行从左到右的数依次为：686、688、690 ，第99行右边第一个数是690

练习4. 1999名同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，那么后一

个同学就要报出这个数与9的和；如果某名同学报的数是两位数，那么后一个同学就要报出这个数的个位数与6的和。现让第一个同学报1，那么最后一名同学报的数是( )。

【解析】 列出前几个数：1、10、6、15、11、10、6、15、11、10、6、…

可以看出除去第一个数之外后面每四个数一循环，所以（1999－1）÷4=499…2，那么最后一名同学报的数是6。

月测备选

测试1、黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜色的珠子在这串中共有_____颗.

【解析】 观察图形可知从第二个珠子开始每隔3个出现一个黑色的，即4个一循环。所以：（101－1）÷

4=25，判定最后一个为黑色，共有25颗。

测试2、按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？

△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……

【解析】 从图中可以看出，按照6个为一个周期，因为100 6 16…4，所以第100个三角形应该是这一

个周期当中的第四个，应该是黑色的．每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48个白色三角形，余下的4个三角形中还有3个白色的，所以一共有16 3 3 51个．

测试3、某个早晨,容器中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡！

【解析】 该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.一昼夜细菌减少65－40=25个，200÷25=8

天，该解法有误.第6天的时候剩余细菌：200-25×6=50，则第7天就可.

测试4、同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？

【解析】 第一次1～2报数，报2的是第2，4，6，8，10，12这几个同学，这些同学再1～2报数，报2

的是第4，8，12这三名同学，最后这三名同学再1～2报数，就只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的这个同学是这列中的第8个．

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