精编新版2019年高中数学单元测试《解析几何及综合问题》专题模拟题库（含参考答案）

2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题

专题（含答案）

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

题号 得分 一 二 三 总分

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明 一、选择题

1．（2010陕西文数）9.已知抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切，则p的值为（ ）

（A）

2

2

2

1 2

（B）1 （C）2

（D）4

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题

x2y22222．已知椭圆2?2?1?a?b?0?和圆O：x?y?b，过椭圆上一点P引圆O的

ab两条切线，切点分别为A,B．若?APB?90，则椭圆离心率e的取值范围是 ▲ .

22(p?0)3．已知圆x?y?6x?7?0与抛物线y?2px的准线相切，则p的值

2为 .

x2y21

4．设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2

ab2

－bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)________． ①必在圆x2＋y2＝2上 ②必在圆x2＋y2＝2外 ③必在圆x2＋y2＝2内

1c

解析：由e＝＝，得a＝2c，b＝3c.

2ab3c1

所以x1＋x2＝＝，x1x2＝－＝－.

a2a2

22于是，点P(x1，x2)到圆心(0,0)的距离为x21＋x2＝?x1＋x2?－2x1x2＝

3

＋1＝47

<2， 4

所以点P在圆x2＋y2＝2内．

x2y25．以椭圆 2?2?1（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线

ab交与A，B两点，已知△OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ． 6．已知

12??1(m?0,n?0),当mn取得最小值时，直线y??2x?2与曲线mnxxyy??1的交点个数为

nm三、解答题

y2x27．已知椭圆C：2+2＝1?a＞b＞0?的离心率为6，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于

3abA、B两点，且B(?1，?3). （1）求椭圆C和直线l的方程；

（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若 曲线x2?2mx?y2?4y?m2?4?0与D有公共点，试求实数m的最小值．

8．已知圆O:x?y?2交x轴于A，B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为

222的椭圆,2其左焦点为F．若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(5分)

(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆O相切；(5分)

(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线

A F O B x Q y P PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,

请说明理由． (5分)

9．有如下结论：“圆x?y?r上一点P(x0,y0)处的切线方程为

222x2y2x0y?y0y?r”，类比也有结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的

ab2切

x0xy0yx2?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C的 线方程为2?2?1”，过椭圆C：4ab两条切线，切点为 A．B.

(1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积

10．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，两准线间的距离为10．设A(5,0)， B(1，0)．

(1)求椭圆C的方程；(4分)

(2)过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的圆 的方程；(6分)

(3)过点A作直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S．

→→→→

若AP= tAQ（t＞1），求证：SB= tBQ (6分)

11．已知直线l的方程为x??2，且直线l与x轴交于点M，圆O:x2?y2?1与x轴交于

A,B两点（如图）．

（I）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的

1，求直线l1的方程； 4（II）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；

（III）过M点的圆的切线l2交（II）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长．

12．已知椭圆C1:l P M A O B x y Q l1 xy??1(a?b?0)的右焦点为F,a2b222上顶点为A,P为C1上任一点,MN 是圆

C2:x2?(y?3)2?1的一条直径.若与AF平行且在y轴上的截距为3?2的直线l恰好

与圆C2相切.

(Ⅰ）求椭圆C1的离心率；(7分)

(Ⅱ）若PM?PN的最大值为49，求椭圆C1的方程.(8分)

13．如图，过椭圆的左右焦点F1,F2分别作长轴的垂线l1,l2交椭圆于A1,B1,A2,B2，将

l1,l2两侧的椭圆弧删除，再分别以F1,F2为圆心，线段F1A1,F2A2的长度为半径作半圆，这

样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在l1,l2之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在l1,l2两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.

22(Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为(x?2)?y?1，求椭圆段的方程；

(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l为过F1的一条直线，l与“椭圆帽”的两个交点为

M,N，若FM?2F1N?0，求直线l的方程； 1(Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l为过F1的一条直线，l与“椭圆帽”的两个交点为

M,N，

P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足F1PMN?0，求PMPN的取值

范围.

P

分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M点的坐标，易得直线方程；关注PMPN的实质，涉及分类讨论. 解答：

(Ⅰ）由题意：2c?22,2a?1?(22)?1?4，则b?a?c?2；

22222x2y2??1(?2?x?2)； 则椭圆段的方程：42(Ⅱ）由题意：|NF1|?1，则|MF1|?2，设M(x0,y0)，则e(x0?22)?2，?x0?0， 则M(0,?2)，则直线l的方程是：y??(x?2)； (Ⅲ）PM（1）

P?(N1?P1F)(F1M??1P)F2FN1?1PF1?P1F1F?N1PF1FMP为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足F1PMN?0，则N必在“椭圆

帽”的左侧圆弧段下半部分，则|PF,|F1N|?1， PF1F1N?PF1FM?0， 1|?11所以：PMPN?1?FMF1N?1?|FM|，设M(x0,y0) 11(1）x0?[?2,2]时，M在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则

|F1M|?2?2x0?[1,3] 2则PMPN?1?|FM|?[?2,0]； 1(2）x0?[2,2?1]时，M在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分， 则(x0?2)2?y02?1，且|F1M|?(x0?2)2?y02?1?42x0?[3,1?22]

则PMPN?1?|FM|?[?22,?2]； 1综上可知：PMPN的取值范围是PMPN?1?|FM|?[?22,0]. 1说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.

22228．已知：“过圆C:x?y?r上一点M(x0,y0)的切线方程是x0x?y0y?r.”

x2y2(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)上一点M(x0,y0)的切线方程

ab（不要求证明）；

x2y2(Ⅱ）过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)外一点M(x0,y0)作两直线与椭圆切于A,B两点，

ab求过A,B两点的直线方程；

x2y2(Ⅲ）若过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)外一点M(x0,y0)作两直线与椭圆切于A,B两

ab点，且AB恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M在一条定直线上.

分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：

x2y2xxyy(Ⅰ）椭圆C?:2?2?1(a?b?0)上一点M(x0,y0)的切线方程是02?02?1；

abab(Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2).

由（Ⅰ）可知：过点A(x1,y1)的椭圆的切线l1的方程是：过点B(x2,y2)的椭圆的切线l2的方程是：

x1xy1y?2?1； 2abx2xy2y?2?1； a2b?x1x0y1y0?2?1??a2b因为l1,l2都过点M(x0,y0)，则?，

xxyy?10?10?1?b2?a2x0xy0y?2?1 a2bxxyy(Ⅲ）由（Ⅱ）知过A,B两点的直线方程是：02?02?1，

ab则过A,B两点的直线方程是：

a2x0(?c) 由题意：F(?c,0)在直线AB上，则?1，则x0?? 2ca ?点M(x0,y0)在椭圆的左准线上.

说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.

y214． 已知椭圆x2+b2=1(0

F、B、C三点作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)． (1)当m+n>0时，求椭圆离心率的取值范围；

(2)直线AB与圆P能否相切?证明你的结论．

x2y215．设分别F1,F2是椭圆C：2?2?1?a?b?0?的左右焦点；

ab(1）若椭圆C上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4，求椭圆C的方程； (2）在（1）的条件下求?AF1F2内切圆的方程；

(3）设MN是过椭圆C中心的弦，P是椭圆上的动点，求证：直线PM，PN的斜率之积为定值． 3．

3x2y216． 如图，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的长轴AB长为4，离心率e?，O为坐

2ab32标原点，过B的直线l与

x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH?x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP?PQ，连结AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：Q点在以AB为直径的圆O上；（3）试判断直线QN与圆O的位置关系．

yQMNPAOHBlxx2y2?17．已知椭圆=1，直线l：x=12.P是直线l上一点，射线OP交椭圆于点R.又点2416Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）

94.如图8—25，设点P、Q、R的坐标分别为（12，yP），（x，y），（xR，yR），由题设知xR＞0，x＞0.

由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组

?xR2yR2??1??2416 ?yy?R???xRx图8—25 ?248x2?xR?2x2?3y2?解得：?

2?x2?48yR?2x2?3y2?① ③ yPy12yy??由点O、Q、R共线，得,即P

12xx由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得

③

x2?y2?122?yP?(xR?yR)2.

将①、②、③代入上式，整理得点Q的轨迹方程

222y2（x－1）+=1（x＞0）.

232

所以，点Q的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和圆，去掉坐标原点.

6且长轴在x轴上的椭3评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.

x2y218．已知点P（4，4），圆C：(x?m)?y?5(m?3)与椭圆E：2?2?1(a?b?0)有

ab22一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切． (Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

(Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求AP?AQ的取值范围．

F1O yPAF2CQx19．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(?2,0)，直角顶点B(0,?22)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． （1）求BC边所在直线方程； （2）求三角形ABC外接圆的方程；

（3）若动圆N过点P且与?ABC的外接圆内切， 求动圆N的圆心N所在的曲线方程．

20．平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（3c，0）三点，其中c＞0．

（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；

y2x2（2）已知椭圆2?2?1(a?b?0)（其中a2?b2?c2）的左、右顶点分别为D、B，

ab⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；

②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足

MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。(2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）

分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。

x22

22．已知椭圆C：4＋y＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A、B两点． （1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；

（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

22y23．设A为椭圆最小值．

xy??1上任一点，B为圆(x?1)2?y2?1上任一点，求AB的最大值及259Oxy2?1的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶24．已知椭圆x?42点，离心率为5的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．

（1）求曲线C的方程；

（2）设P、T两点的横坐标分别为x1、x2，证明：x1?x2?1；（本小题满分14分）

25．在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）＋y=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为

2

2

定值. 【2012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）

x2y222226．如图，椭圆C0：2?2?1(a?b?0，a，b为常数)，动圆C1:x?y?t1，

abb?t1?a。点A1,A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点。

(Ⅰ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;

////222 (Ⅱ)设动圆C2:x?y?t2与C0相交于A,B,C,D四点，其中b?t2?a，

2t1?t2。若矩形ABCD与矩形A/B/C/D/的面积相等，证明：t12?t2为定值。【2012高考

真题辽宁理20】(本小题满分12分)

27．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x?y?1．

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x?y?1相切，求证：

2222OP?OQ；

（3）设椭圆C2：4x?y?1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM?ON，求证：O到直线MN的距离是定值. 【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）

22x2y228．.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点为F1、F2，P是右支上一点，

ab11PF2?F1F2，OH?PF1于H，OH??OF1,??[,]

921（1）当??时，求双曲线的渐近线方程；

3（2）求双曲线的离心率的取值范围；

（3）当离心率最大时，过F1、F2，P的圆截y轴线段长为8，求该圆的方程．

29．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线E:y?4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心OC为半径作圆,设圆C与准线l的交于不同的

2两点M,N.

(1)若点C的纵坐标为2,求MN; (2)若AF2?AM?AN,求圆C的半径.

y230．已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为

b2B．过F、B、

C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）． (Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围； (Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

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