2016年竞赛与自主招生专题第十六讲：解析几何二（教师版）

2016 年竞赛与自主招生专题第十六讲 解析几何二

从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.

所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。

一、知识精讲

一．椭圆中的经典结论：

x2y21.点P0(x0，y0)在椭圆上2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是

abx0xy0y?2?1． a2bx2y22.点P0(x0，y0)在椭圆上2?2?1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，ab则切点弦PP12的直线方程是

x0xy0y?2?1． 2abx2y23.椭圆2?2?1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆上一点，

ab?F1PF2??，则椭圆的焦点三角形的面积为S?F1PF2?b2tan

二．双曲线中的经典结论：

?2．

x2y21.点P0(x0，y0)在双曲线上2?2?1（a＞0，b＞0）上，则过P0的双曲线的切

ab线方程是

x0xy0y?2?1． a2bx2y22点P0(x0，y0)在双曲线上2?2?1（a＞0，b＞0）外，则过P0作双曲线的两条

ab切线切点为P12的直线方程是1、P2，则切点弦PPx0xy0y?2?1． 2abx2y23.双曲线2?2?1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线上

ab一点，?F1PF2??，则双曲线的焦点三角形的面积为S?F1PF2?b2tan

三．抛物线：

?2．

1.过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的一条弦AB , 记准线与x轴交点为E，

AE、BE分别交y轴于P、Q两点，则：线段EF平分角?PEQ ? KAE?KBE?0

2.端点坐标积恒定：过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线l，交抛物线于

112p2则：(1)x1x2?，y1y2??P2 ； (2) ?? 。A(x1,y1)、B(x2,y2) ，

FAFBp43.共线： 过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线l，交抛物线于A、B两点，如图示，有下列三个结论：

（1）A、O、B1三点共线 ． （2）B、O、A1三点共线．

（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于x轴．

（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于x轴．

【知识拓展】

一．圆锥曲线和直线的参数方程

?x?rcos?,1.圆x2?y2?r2的参数方程是?其中?是参数。

y?rsin?,??x?acos?,x2y22.椭圆2?2?1的参数方程是?其中?是参数，称为离心

ab?y?bsin?角。

?x?asec?,x2y23.双曲线2?2?1的参数方程是?其中?是参数。

aby?btan???x?2pt2,4.抛物线y?2px的参数方程是?其中t是参数。

?y?2pt2?x?x0?tcos?,5.过定点(x0,y0)，倾斜角为?的直线参数方程为?t为参

y?y?tsin?0?数。

这里参数t的几何意义是：①|t|表示直线上的点(x,y)和定点(x0,y0)的距离；②当点(x,y)

在点(x0,y0)的上方时，当点(x,y)在点(x0,y0)的下方时，t?0，t?0；

当点(x,y)与点

(x0,y0)重合时，t?0，反之亦然。

二．圆锥曲线的统一极坐标方程

以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为??

三．焦半径公式

设P为圆锥曲线上任一点，r、d分别为点P到焦点及相应准线的距离，则

r?ed．

ep，其中e为离心率，p是焦点到相应准线的距离。

1?ecos?x2y21.对于椭圆2?2?1(a＞b＞0)，F1(?c,0)、F2(c,0)是它的两个焦点．设

abP(x,y)是椭圆上的任一点，则有r1?PF1?a?ex，r2?PF2?a?ex．

?解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横

y2x2坐标（对2?2?1是纵坐标）的一次函数．

abx2y2?（扩充）：焦半径公式的另一种形式(2?2?1(a＞b＞0))为

abb2r1?PF1?(?是以F1x为始边，F1P为终边的角，不是F1P的倾斜角)．

a?ccos?x2y22.对于双曲线2?2?1（a＞0，b＞0），F1(?0),cab、F2(c,0)是它的两个焦

点．设P(x,y)是双曲线上的任一点，若点P在双曲线的右支上，则有

r1?PF1?ex?a，r2?PF2?ex?a；若点P在双曲线的左支上，则有r1?PF1??ex?a，r2?PF2??ex?a．

x2y2?（扩充）：焦半径公式的另一种形式(2?2?1（a＞0，b＞0）)为

abb2r2?PF2?(?是以F2x为始边，F2P为终边的角，不是F2P的倾斜角)．

a?ccos?b2b2＞0时，点P在右支上，当＜0时，点P在左?注意：当

a?ccos?a?ccos?

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