“子墨课堂”一元二次方程专题能力培优（含答案）

“子墨课堂”态度决定一切

“子墨课堂”第2章 一元二次方程

2.1 一元二次方程

专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值

1.已知(m?3)x2?m?2x?1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A.m≠3 B.m≥3 C.m≥-2 D. m≥-2且m≠3

2. 已知关于x的方程(m?1)xm2?1?(m?2)x?1?0，问：

（1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m取何值时，它是一元一次方程？

专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值

22

3.关于x的一元二次方程（m-1）x+5x+m-1=0的常数项为0，求m的值．

4.若一元二次方程(2a?4)x2?(3a?6)x?a?8?0没有一次项，则a的值为 .

专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式

5.已知关于x的方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），则a-b值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2

2

6.若一元二次方程ax+bx+c=0中，a－b+c=0，则此方程必有一个根为 .

2

a2?17.已知实数a是一元二次方程x－2013x+1=0的解，求代数式a?2012a?的值.

20132

2知识要点：

1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.

22

2.一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0（a≠0），其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.

温馨提示：

1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.

方法技巧：

k

1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.

2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.

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答案： 1. D 解析：??m?3?0，解得m≥-2且m≠3

?m?2?0?m2?1?2,2.解：（1）当?时，它是一元二次方程.解得：m=1．

?m?1?0当m=1时，原方程可化为2x-x-1=0； （2）当?2

?m?2?0,2

或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程.

?m?1?0解得：m=-1，m=0.

故当m=-1或0时，为一元一次方程．

?m2?1?0,3.解：由题意，得：? 解得：m=－1．

?m?1?0.4.a=-2 解析：由题意得??3a?6?0,解得a=－2.

2a?4?0.?2

2

5. A 解析：∵关于x的方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），∴a－ab+a=0.∴a（a－b+1）

=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．

6.x=－1 解析：比较两个式子

会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x对应了第二

2

?x2?1个式子中的1，第一个式子中的x对应了第二个式子中的-1.故?.解得x=－1.

?x??17. 解：∵实数a是一元二次方程x－2013x+1=0的解，∴a－2013a+1=0. 22

∴a+1=2013a，a－2013a=－1. ∴

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2

2

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2.2 一元二次方程的解法

专题一 利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值

2

1. 若方程25x-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（ ） A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或9

22

2.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m= .

3. 用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．

专题二 利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围

4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（ ） A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根

2

5.关于x的方程kx+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）

6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为 “凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结 论正确的是（ ） A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 专题三 解绝对值方程和高次方程

22222

7.若方程（x+y-5）=64，则x+y= . 8. 阅读题例，解答下题： 例：解方程x2－|x－1|－1=0.

22

解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x－（x－1）－1=0，∴x－x=0. 解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.

22

（2）当x－1＜0，即x＜1时，x+（x－1）－1=0，∴x+x－2=0. 解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2. 综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.

2

依照上例解法，解方程x+2|x+2|－4=0．

专题四 一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系 9.探究下表中的奥秘，并完成填空：

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10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：

代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）-5（x+2）=0， 这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知 道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个 因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x1=-2，x2=

5． 3根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有 ?力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式

?a?0,?a?0,或者?请判断王

?b?0?b?0.5x?1?0的解集，如果不正确，请说明理

2x?3由．

专题五 利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值

22

11. 设x1、x2是一元二次方程x+4x－3=0的两个根，2x1（x2+5x2﹣3）+a=2，则a= ． 12.（2012·怀化）已知x1、x2是一元二次方程?a?6?x2?2ax?a?0的两个实数根， ⑴是否存在实数a，使－x1＋x1x2=4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

⑵求使（x1＋1）（x2＋1）为负整数的实数a的整数值．

b2

13.(1)教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两根为x1、x2,x1+x2=－, ac

x1·x2=.根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2的代数式的值．例如：已知x1、

ax2为方程x-2x-1=0的两根，则：

222

（1）x1+x2=____，x1·x2=____，那么x1+x2=( x1+x2)-2 x1·x2=__ __． 请你完成以上的填空． ．．．．．．．．．

（2）阅读材料：已知m2?m?1?0,n2?n?1?0，且mn?1．求解：由n2?n?1?0可知n?0．∴1?2

mn?1的值． n1111?2?0．∴2??1?0. nnnn11又m2?m?1?0,且mn?1，即m?．∴m,是方程x2?x?1?0的两根．

nn1mn?1∴m??1．∴=1．

nn（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．

1已知2m2?3m?1?0,n2?3n?2?0，且mn?1．求m2?2的值．

n

知识要点：

1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

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2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac与一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.

2

3.一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数a、b、c之间存在着如下关系： x1+x2=﹣，x1?x2=.

温馨提示： 22

1.x+6x+m是一个完全平方式，易误以为m=3.

22

2.若一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2有双层含义：（1）ax1+bx1+c=0，ax2+bx2+c=0；（2）x1+x2=﹣，x1?x2=.

方法技巧：

222

1.求二次三项式ax+bx+c极值的基本步骤：（1）将ax+bx+c化为a（x+h）+k；（2）当a>0，

22

k>0时，a（x+h）+k≥k；当a<0，k<0时，a（x+h）+k≤k.

22

2.若一元二次方程ax+bx+c=0的两个根为x1．x2，则ax+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）． 3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.

4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解. 5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.

答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．

2

2. ±3 解析：据题意得，m=9，∴m=±3．

2222

3.证明：－2x+4x－5=－2（x－2x）－5=－2（x－2x+1）－5+2=－2（x－1）－3.

222

∵（x－1）≥0，∴－2（x－1）≤0，∴－2（x－1）－3＜0.

2

∴无论x为何实数，代数式－2x+4x-5的值恒小于零．

2

4.A 解析：△=（2c）﹣4（a+b）（a+b）=4（a+b+c）（c﹣a﹣b）.

根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．

2

5.A 解析：当kx+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0； 当kx+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则?22

2

k?0?.解得2?3?4?k?2?0k?99且k≠0.综上所述k?. 882

2

6.A 解析：∵一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b－4ac22

＝0，又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b－4ac＝0得（－a－c）－4ac＝0，化简得（a2

－c）＝0，所以a＝c．

222222

7.13 解析：由题意得x+y-5=±8.解得x+y=13或者x+y=－3（舍去）.

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22

8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x+2（x+2）－4=0，∴x+2x=0.解得x1=0，x2=－2；

22

②当x+2＜0，即x＜-2时，x－2（x+2）－4=0，∴x－2x－8=0. 解得x1=4（不合题设，舍去），x2=－2（不合题设，舍去）． 综上所述，原方程的解是x=0或x=－2． 9.?11，﹣3；，3．

442

发现的一般结论为：若一元二次方程ax+bx+c=0的两个根为x1．x2，则

2

ax+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

11.8 解析：∵x1x2＝－3，x2+4x2－3=0，

22

∴2x1(x2+5x2－3)+a =2转化为2x1(x2+4x2－3+ x2)+a =2. ∴2x1x2+a =2.∴2×(－3)+a＝2.解得a＝8.

2

12.解：（1）根据题意，得△=（2a）－4×a（a－6）=24a≥0．∴a≥0． 又∵a－6≠0，∴a≠6．

2

2aa，x1x2=. a?6a?62aa由－x1＋x1x2=4＋x2 得x1＋x2 ＋4=x1x2.∴－＋4 =，解得a=24．

a?6a?62aa经检验a=24是方程－＋4 =的解．

a?6a?62aa6（2）原式=x1＋x2 ＋x1x2 ＋1=－＋＋1=为负整数，

a?6a?66?a由根与系数关系得：x1＋x2=－

∴6－a为－1或－2，－3，－6.解得a=7或8，9，12．

13.解：（1）2，－1， 6．

32232

（3）由n+3n-2=0可知n≠0,∴1+－2=0.∴2－ －1=0.

nnnn12

又2m-3m-1=0,且mn≠1，即m≠．

n12

∴m、是方程2x-3x-1=0的两根．

n

13111121321132

∴m+= ,m·=－,∴m+ 2=(m+ )-2m·=( )-2·(－)= .

n2n2nnn224

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2.3 一元二次方程的应用

专题一、利用一元二次方程解决面积问题 1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所

2

示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m（铝合金条的宽度忽略不计）．

2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题： （1）在长为am，宽为bm的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草坪的面积可表示为 m；

（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时余下草坪的面积为 m；

（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！ （如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为1421m．求小路的宽x.

222

专题二、利用一元二次方程解决变化率问题 4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长

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率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取 2≈1.41）

5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感 染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于 国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题 7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定： 如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所 出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终 向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？

8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售 价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公 司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元. (1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元.

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(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）

专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题 9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有 条. ．．．．．．(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？

(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明得出

结论的道理.

10.如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成．

（1）观察图形，请填与下列表格： 正方形边长 红色小正方形个数 正方形边长 红色小正方形个数 1 2 3 4 5 6 7 8 ? ? ? ? n（奇数） n（偶数） （2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．

知识要点：

列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题. 温馨提示：

1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．

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2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程． 3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. 方法技巧：

n

1. 变化率问题中常用a（1±x）=b，其中a是起始量，b是终止量，n是变出次数，x是变 化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.

2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.

答案：

1.解：设高为x米，则宽为

9.5?0.5?2x9.5?0.5?2x?3. 米.由题意，得x?33解得x1?1.5,x2?3 (舍去,高度为2.8m的一面墙上). 当x=1.5时，宽

9.5?0.5?2x9.5?0.5?3??2.

33答：高为1.5米,宽为2米.

2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm、3xcm，由题意，得 （20－6x）（30－4x）=（1－错误！未找到引用源。）×20×30.整理，得6x2－65x＋50＝0. 解，得x1＝错误！未找到引用源。，x2＝10（不合题意，舍去）.∴2x＝错误！未找到引用源。，3x＝错误！未找到引用源。.

答：每个横、竖彩条的宽度分别为错误！未找到引用源。cm，错误！未找到引用源。cm． 3.解：(1)a(b?1)（或ab?a）；(2) a(b?1)（或ab?a）；

(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x）m,由题意得：

(50-x)（30-x）=1421. 解得 x1=1， x2=79（舍去）. 答：小路的宽为1m.

4.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意，得

2

30%a（1+x）=60%a.∴x1≈0.41，x2≈-2.41（不合题意舍去）．∴x≈0.41． 答：每年的增长率约为41%．

5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得

2

1＋x＋(1＋x)x＝81.整理得(1＋x)＝81. ∴x1＝8，x2＝ －10（舍去）.

33

∴(1＋x)＝(1＋8)＝729＞700． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 6.解：（1）设平均每次下调p%，则有7000(1?p%)2?5670.∴(1?p%)2?0.81. ∵1—p%>0，∴1—p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%；

（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1—5%)×(1—15%）=5652.5元. ∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些．

7.解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵． 设该校共购买了x棵树苗，由题意，得x??120?0.5?x?60????8800 . 解得x1?220,x2?80．

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当x1?220时，120?0.5?220?60??40?100，∴x1?220不合题意，舍去； 当x2?80时，120?0.5?80?60??110?100，∴x2?80.

∴x?80.

答：该校共购买了80棵树苗． 8.解：(1)27－0.3=26.7；

（2）设需要销售出x部汽车可盈利12万元.

①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+0.5x=12. 解得x1??20(不合题意，舍去)，x2?6.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元. ②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+x=12. 解得x1?5,x2??24，均不合题意，应舍去. 答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.

9.解:（1）n－3；(2)设这个凸多边形是n边形,由题意,得

n(n?3)?14. 2解得n1?7,n2??4 (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形. (3)不存在.

n(n?3)?21. 23?1773?177解得n?.因为多边形的边数为正整数，但不是正整数，故不合题意.所

22理由:假设存在n边形有21条对角线. 由题意,得

以不存在有18条对角线的凸多边形.

10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n－1；4，8，12，16（偶数）2n． （2）由（1）可知n为偶数时P1=2n．∴P2=n2－2n. 根据题意得n2－2n=5×2n，n2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）． ∴存在偶数n=12使得P2=5P12．

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当x1?220时，120?0.5?220?60??40?100，∴x1?220不合题意，舍去； 当x2?80时，120?0.5?80?60??110?100，∴x2?80.

∴x?80.

答：该校共购买了80棵树苗． 8.解：(1)27－0.3=26.7；

（2）设需要销售出x部汽车可盈利12万元.

①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+0.5x=12. 解得x1??20(不合题意，舍去)，x2?6.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元. ②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+x=12. 解得x1?5,x2??24，均不合题意，应舍去. 答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.

9.解:（1）n－3；(2)设这个凸多边形是n边形,由题意,得

n(n?3)?14. 2解得n1?7,n2??4 (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形. (3)不存在.

n(n?3)?21. 23?1773?177解得n?.因为多边形的边数为正整数，但不是正整数，故不合题意.所

22理由:假设存在n边形有21条对角线. 由题意,得

以不存在有18条对角线的凸多边形.

10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n－1；4，8，12，16（偶数）2n． （2）由（1）可知n为偶数时P1=2n．∴P2=n2－2n. 根据题意得n2－2n=5×2n，n2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）． ∴存在偶数n=12使得P2=5P12．

强势来袭，王者归来！

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