13级高二数学暑假作业1试卷及答案

高三数学综合练习

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只一个正确答案） 1．已知a?(1,2),b?(?,?1)，若a//b，则实数?的值等于（ ）

11 （B） （C）2 （D）?2

2212．函数f(x)?loga,(a?1)的大致图像为（ ） x（A）?

y y y y 1 1 O 1 x O x O 1 x O x （A） （B） （C） （D）

3．已知m,n是平面?内两条不同直线，l为平面?外一条直线，则“l?m,l?n”是“l??”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

4．某学校有学生1000人，其中高一年级300人，高二年级300人，高三年级400人，为了了解该校学生的身体发育情况，用分层抽样的方法从中抽取样本容量为200的样本，则在高三年级应抽取学生（ ）

（A）100人 （B）80人 （C）60人 （D）40人 5．不等式x?

1

的解集为（ ） x

（A）(??,?1)?(1,??) （B）(?1,0)?(0,1) （C）(?1,0)?(1,??) （D）(??,?1)?(0,1)

?x?y?2?226．设实数x,y满足约束条件?x?0，则x?y的最小值为（ ）

?y?0?（A）

2 （B）1 （C）2 （D）2 2227．已知P是圆(x?1)?y?1上异于坐标原点O的一点，当OP的倾斜角为度为（ ） （A）

5?时，线段OP的长63 （B）2 （C）3 （D）1 21

1，则cos2??（ ）

235577（A） （B）? （C） （D）?

99998．已知sin(???)?9．用1,2,3这三个自然数组成一个四位数，每个数字至少出现一次，则这样的四位数能被3整除的有（ ）个

（A）48 （B）36 （C）24 （D）12

x2y2??1右支上一点，F1,F2为左右焦点， 10．如图，M为双曲线48则?MF1F2的内切圆的圆心横坐标为（ ）

（A）2 （B）3 （C）1 （D）与M位置有关 F1 y M C1 O F2 C2 x 11．四面体ABCD的四个顶点都在半径为R的球面上， AB、BC、CD长度相等，且两两垂直，则BC的球面距离为（ ）

A

B

13（A）Rarccos （B）Rarccos

33（C）

?3R （D）

?2R

C

D 3?4x?4,(1?x?)??212．已知定义在[1,??)上的函数f(x)满足f(x)??，当x?2时，

3?8?4x,(?x?2)?2?f(x)?（A）

1xf()，当x?[16,32]时，函数f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S等于（ ） 221 （B）1 （C）2 （D）4 2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．已知复数z?i?i?14．在(2x?22a（其中i为虚数单位）虚部为0，则实数a的值等于 ． i16)的展开式中，常数项为 ． x2x(x?R)，则 15．已知公差不为零的等差数列{an}满足a3?0，函数f(x)?x2?1f(a1)?f(a5)? ．

16．已知函数f(x)?2x?3x?c（c为常数）的图像与x轴的交点分别为A、B、C，且B为AC的中点，则下列说法正确的是 ．（将你认为正确的都写上）

32 2

①函数在区间[0,1]上递增；

②函数的极大值和极小值互为相反数； ③B点的坐标为(,0)；

④函数图像在A点和在C点处的切线互相平行．

三、解答题（本大题共6个小题，共74分）

17．（本小题满分12分）

已知甲、乙、丙三人的口袋中均装有大小、形状全相同的小球5个，其中黑球3个，白球2个，三人约定，每人从自己的口袋中随机取出两球，若取出的两个小球颜色相同，可获得一枚奖章，若两球颜色不相同，没有任何奖励，已知三人取小球互不影响， （Ⅰ）求甲能获得奖章的概率；

（Ⅱ）记三人中获得奖章的人数为随机变量?，求?的分布列和期望． 18．（本小题满分12分）

已知在?ABC中，内角A,B,C所对的边的长a,b,c成等比数列，函数f(x)?sinxcos(x?（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(B)的取值范围．

3

12?3)，

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，?PAB为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC?AB，E为PD点上一点，满足PE?（Ⅰ）证明：平面ACE?平面ABCD； （Ⅱ）求直线PD与平面ACE所成角大小． 20．（本小题满分12分）

1ED， 2P E A B D C 已知等差数列{an}和公比为q(q?1)的正项等比数列{bn}满足a1?b1?1，且a1,a3,a7成公比为q2的等比数列，记数列cn?a2n?1?b2n?1，Sn?c1?c2???cn，(n?N*) （Ⅰ）求数列{an}和数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求Sn的表达式；

（Ⅲ）若对任意的n?N，均有不等式(?n?9?)cn?Sn成立，求实数?的取值范围．

4

*21．（本小题满分12分）

x2y22已知椭圆2?2?1(a?b?0)离心率e?，过C(?1,0)点且斜率为1的直线l与椭圆交与A、

2abB两点，且C点分有向线段AB所成的比为3，

（Ⅰ）求该椭圆方程；

（Ⅱ）P、Q为椭圆上两动点，满足OP?OQ?0，探求

5

11是否为定值，并说明理由． ?22|OP||OQ|

22．（本小题满分14分）

已知直线y?x与函数f(x)?ln(x?a)的图像相切， （Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）令函数g(x)?f(x)?x，求函数g(x)的最大值；

*（Ⅲ）已知数列{an}满足a1?1，an?1?an?an?1an(n?2,n?N)，记

?ani ?a1?a2???an，

i?1*?n?1n证明：当n?N时，ai?f(n)?i?2?ai．

i?1

6

（理科参考答案）

一、选择题 1．（A） 2．（C） 3．（B） 4．（B） 5． （C） 6．（D） 7．（C） 8．（D） 9．（D） 10．（A） 11．（A） 12．（B） 解：当x?[2n?1,2n],(n?N*)时，f(x)?12(2?4|n?1x2n?1?3|)， 2所以f(x)极大值二、填空题

113?2n?11?f()?n?2，?S??n?2?(2n?2n?1)?1

222213．?1 14．60 15．1

16． ②③④，解：f/(x)?6x2?6x?0得x?0或x?1，所以①错，由条件知函数f(x)的图像通过左右平移可得到奇函数，故极大值和极小值互为相反数，②正确，当x?0和x?1时取得极值，解得c?11，可得B(,0)，③正确，设A(x0,0)，则C(1?x0,0)，计算得f/(x0)?f/(1?x0)，故④22正确

三、解答题

17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“取出的两个小球颜色相同”为事件A，

2C32?C22则P(A)? ?25C52 ……………………………………5分 52（Ⅱ）由条件知甲、乙、丙每人获得奖章的概率均为

53327则P(??0)?()?，

5125541232P(??1)?C3()()?，

551252336P(??2)?C32()2()1?

551258323P(??3)?C3()? …………………9分

51252??~B(3,)，

56?E?? ……………12分

5即甲获得奖章的概率为18．（本小题满分12分）

7

解（Ⅰ）f(x)?sinx(1cosx?322sinx) ?14sin2x?34(1?cos2x) …………………2分 ?1?32sin(2x?3)?4 …………………4分 所以函数f(x)最小正周期为?， …………………6分

（Ⅱ）f(B)?12sin(2B??33)?4 ?cosB?a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac12ac?2ac?2ac?2（当a?c时取等号）……………8分?0?B??3 …………………10分

??3?2B??3??

?f(B)的取值范围为[?34,12?34] …………………12分 19．（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）取AB的中点O，?PO?面ABCD， ?PC?AB ?OC?AB

所以以O为坐标原点建立如图空间直角坐标系

z A(?1,0,0),C(0,3,0),P(0,0,3),D(?2,3,0)

P E ?PE?12ED A O D ?E(?23,33,233) ………………2分

B x C y 设面ACE法向量为n?(x,y,z)

?x?3????n?ACy?0?????n?AE?1?3x?33y?233z?0 令x?1得y??33,z?0，?n?(1,?33,0) ………………4分 8

取面ABCD法向量为n0?(0,0,1)

?n?n0 ………………6分

所以平面ACE?平面ABCD （Ⅱ）PD?(?2,3,?3)

?cos?PD,n???3??330102320， ………………9分 3所以PD与平面ACE所成角大小为arcsin33020． ………………12分 20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）a23?q?1?2d,a7?q4?1?6d ………………2分 解得q?2,d?12 n?1?an?1n?22,bn?2 ………………4分

（Ⅱ）cn?a2n?1?b2n?1?(n?1)?2n ………………5分

2?S23n?(x?x???xn?1)/|[x(1?xn)/x?2?1?x]|x?2

[2x?(n?2)xn?1](1?x)?x2?xn?2?(1?x)2|x?2 ………………7分 ?(n?2)2n?1?4?4?2n?2?n?2n?1 ………………8分

（Ⅲ）(?n?9?)cn?Sn??(n?9)(n?1)2n?n2n?1

???2n2(n?1)(n?9)?n?9 ………………10分

n?10?n?9n?6（当n?3时取等号） ???18 ………………12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由离心率知a2?2b2 …………………1分

9

联立??y?x?12?2b2?0，

?x2?2y2?2b2?3x2?4x?x42?2b2所以1?x2??3,x1x2?3 …………………3分

又?AC?3CB，

由上述方程解得b2?1,a2?2

所以椭圆方程为x22?y2?1 …………………5分 （Ⅰ）设lPQ:y?kx?m

联立??y?kx?m222x2?2y?2?(1?2k)x?4kmx?2m?2?0， ?2所以x4km1?x2??1?2k2,x?2m2?21x21?2k2 …………………7分

m2?y?m)(kx?2k21y2?(kx12?m)?1?2k2 ?x1x2?y1y2?0

?2m2?2?m2?2k2?m221?k2?3，即原点到直线PQ的距离为d?63……………9分11|OP|2?|OQ|2|PQ|213|OP|2?|OQ|2?(|OP||OQ|)2?(|OP||OQ|)?d2?2……………11分 当PQ斜率不存在时，仍然满足上述关系， 综上，

11|OP|2?|OQ|2为定值32 …………………12分 22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设切点为(x10,y0)，f/(x)?x?a ?1x?a?1,y0?ln(x0?a),y0?x0

0解得a?1 …………………3分 （Ⅱ）g(x)?f(x)?x?ln(x?1)?x

10

g/(x)?1?x?1?1?xx?1 所以函数g(x)在(?1,0)上递增，在(0,??)上递减，…………………5分

?g(x)max?g(0)?0 …………………6分

（Ⅲ）?an?1?an?an?1an(n?2,n?N*)

?1a?1?1，即1?n?a1n? …………………8分 nan?1ann由（Ⅱ）知当x?0时，ln(x?1)?x?0

?ln(1n?1)?1n?0，

?lnn?11n1n?1121n?n，lnn?1?n?1，lnn?n?2,?, ln1?1

累加得lnn?1n21n?lnn?1???ln1?1?12???1n 即ln(n?1)?ln(n?1n?nn?1???21111)?1?2???n n?f(n)??ai ………………10分

i?1由（Ⅱ）知当x?0时，ln(x?1)?x?0

?ln(?1n?1?1)?(?1n?1)?0 ?ln(nn?1)?1n?1?0 ………………11分

?lnn?1n?1nn?1，lnn?1?1n，?,ln21?12 累加得lnn?1n?lnnn?1???ln21?12?13???1n?1 即ln(n?1)?ln(n?1n?nn?1???21)?12?13???1n?1………………13分 n?1?f(n)??ai

i?2n?1n综上得当n?N*时，?ai?f(n)?i?2?ai…………………14分

i?1

11

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