向量组的线性相关性的判定方法浅析分解

楚雄师范学院本科论文（设计）

目录

摘 要： .......................................................................................................................................................... I 关键词： .......................................................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................................................... II Keywords： .................................................................................................................................................. II 1．前言 ........................................................................................................................................................... 1 2．预备知识 ................................................................................................................................................... 1 2.1线性相关性的概念及性质 .................................................................................................................. 1

2.1.1线性相关的概念 ............................................................................................................................ 1 2.1.2线性相关的性质 ............................................................................................................................ 2 3.向量组线性相关的判定方法 ..................................................................................................................... 3 3.1定义法 .................................................................................................................................................. 3 3.2根据齐次线性方程组的解进行判定 .................................................................................................. 4 3.3利用矩阵的秩进行判定 ...................................................................................................................... 5 3.4利用行列式值进行判定 ...................................................................................................................... 6 3.5反证法 .................................................................................................................................................. 7 3.6 数学归纳法 ......................................................................................................................................... 7 3.7用线性变换的性质进行判定 .............................................................................................................. 8 3.8利用朗斯基行列式来判定 ................................................................................................................ 10 4.结束语 ........................................................................................................................................................ 11 参考文献 ....................................................................................................................................................... 12 致谢 ............................................................................................................................................................... 13

1

楚雄师范学院本科论文（设计）

向量组的线性相关性的判定方法浅析

摘 要：本文总结综述了向量组线性相关性的判定方法，并阐述了不同判定方法适用的条件.

关键词：线性相关；线性无关；判定方法.

I

楚雄师范学院本科论文（设计）

Several Methods of Judging the Linear Dependence of A Vector

Group is analysed

Abstract：This article summarizes the judging methods of vector linear correlation, and expounds the different methods applicable conditions.

Keywords：linear correlation; linear independence; judging methods .

II

楚雄师范学院本科论文（设计）

1．前言

向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与线性空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据. 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的。本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、矩阵的秩、行列式的值、齐次线性方程组的解、反证法、数学归纳法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.

2．预备知识

2.1线性相关性的概念及性质

2.1.1线性相关的概念

定义1向量?称为向量组?1,?2,?,?s的一个线性组合，如果有数域P中的数k1,k2,[1]

,ks,使

?=k1?1?k2?2?[1]

?ks?s

定义2若向量组A中每一个向量?i(i?1,2,?,t)都可由向量组B={?1,?,?s}线性表示,则称A可由B线性表示.若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价.

性质 向量组的等价具有1)反身性；2)对称性；3)传递性. 定义3如果向量组?1,?2,[1]

,?s?s?2?中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量

组?1,?2,?,?s称为线性相关的。 定义4向量组?1,?2,[1]

,?s?s?1?称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,,ks,使

k1?1?k2?2??ks?s?0

定义3与定义4在s?2的时候是一致的。 定义5一向量组?1,?2,[1]

,?s?s?1?不线性相关，即没有不全为零的数k1,k2,?ks?s?0

,ks使

k1?1?k2?2?就称为线性无关;或者说，一向量组如?1,?2,?,?s称为线性无关，如果由

k1?1?k2?2?可以推出

?ks?s?0

k1?k2??ks?0

1

楚雄师范学院本科论文（设计）

定义6设向量组{?i1,?i2,?,?ir}是向量组{?1,?2,?,?s}的部分组.称{?i1,?i2,?,?ir}是

[1]

{?1,?2,?,?s}的极大无关组,如果

i)向量组{?i1,?i2,?,?ir}线性无关；

ii){?1,?2,?,?s}中的任意r?1个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的. 定义7向量组{?1,?2,?,?s}的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记为秩

[1]

(?1,?2,?,?s).

性质 向量组{?1,?,?r}线性无关?秩{?1,?,?r} =r.

向量组{?1,?,?r}线性相关?{?1,?,?r}秩?r.

2.1.2线性相关的性质 性质(1)性质(2)关)

[1]

一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关.(即:部分相关,整体相关) 若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量组也线性无关.(即:整体无关,部分无

[1]

性质(3) 含零向量的向量组必线性相关,即{0,?1,[2],?s}线性相关.

性质(4){?}线性相关??=0.

[2]

性质(5){?,?}线性相关?????(??P).

[2]

n[1]

性质(6)P中单位向量组线性无关.

性质(7)向量组?i=(ai1,ai2,?,ain)(i?1,2,?,s)线性相(无)关?齐次线性方程组

[1]

?a11x1?a21x2???as1xs?0?ax?ax???ax?0?121222s2s ????????a1nx1?a2nx2???asnxs?0有(无)非零解. 性质(8)

[2]

设向量组{?1,?2,?,?s}线性无关,而向量组{?1,?2,?,?s,?}线性相关,则?一定可

由?1,?2,?,?s唯一的线性表示. 性质(9)组合.

性质（10）如果向量组?1,?2,?,?s可由向量组?1,?2,[2][2]

向量组{?1,?2,?,?s}(s?2)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性

,?t线性表出，且s>t,则?1,?2,?,?s必

则s?t（这,?t线性表出，

线性相关.

性质（11）如果向量组?1,?2,?,?s线性无关，且它可由向量组?1,?2,[2]

是10）的逆否命题）.

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q82f.html