多元函数的极值与最值的求法

多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable

Function

Author：Chenlong Class: 2007-2 Mathematics and Applied Mathematics

Supervisor: Huang Junhua

Abstract

In practical problems, we often encounter maximum and minimum problems of multivariable function. Both of them have a close relationship with maximum, minimum values.

Similar to monad function, we can use the extremum of Function to seek the maximum and minimum value of function, but due to the increased number of independent variable which make the issue more complicated. Usually, we can use the partial derivatives to get the extremum of multivariable function. Here, the thesis mainly discusses the duality function so that we can use the similar way to solve the extremum of duality function to the above.

To get the extreme of multivariable function, the thesis adopts the following ways: (1)Using the partial derivative of duality function to get the extreme; (2)Lagrangian multiplier method to calculate the extremum; (3)Geometric modeling method for solving extremum; (4) Using Jacobi matrix to get the conditional extremum; (5) Using parameter equation to calculate the extremum; (6)Using directional derivative to identify the extremum of multivariable function; (7) Using gradient method to get the extremum. To calculate the most value of multivariable function, the thesis takes several main ways as follow: (1) Elimination method (2) The mean value inequality method (3) Substitution method (4) Method of numerical and shaping combination (5) Cauchy inequality method (6) Vector method.Besides, a very important method we should take into consideration is to consider the relations of extremum and most value, using extremum method to calculate most values.

Key words: multivariable function, extremum, the most value, method

目 录

引言?????? ?????????????????????????1 1 多元函数的极值的求法??????????????????????1 1.1 利用二元函数的偏导数求二元函数极值?????????????1 1.2 利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值????????????2 1.3 利用几何模型法求解极值???????????????????3 1.4 通过雅可比(Jacobi) 矩阵求条件极值 ?????????????5 1.5 利用参数方程求解条件极值??????????????????11 1.6 利用方向导数判别多元函数的极值???????????????12 1.7 用梯度法求极值???????????????????????15 2 多元函数最值的求法???????????????????????17 2.1 消元法???????????????????????????18 2.2 均值不等式法????????????????????????18 2.3 换元法???????????????????????????19 2.4 数形结合法 ???????????????????????? 20 2.5 柯西不等式法????????????????????????21 2.6 向量法???????????????????????????22 2.7 利用极值求最值???????????????????????23 小结???????????????? ???????????????25 致谢??????????????? ????????????????25 参考文献????????????? ????????????????25

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引言

多元函数的极值及其求法是高等数学学习过程中的一大难点,主要原因有：（1）对拉格朗日乘数法中参数的困惑；（2）求可能极值点过程中繁琐的计算；（3）对极值存在的必要条件及其充分条件的理解.

最值问题是中等数学中永恒的话题,也是每年高考必不可少的热门考点.因此,怎样求最值,是师生们非常关注和必须解决的问题,也是学生必须具备的解题技能.而在最值求解中,尤以求多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性,成为最值求解中的难点和热点.

1 多元函数极值的求法

1.1 利用二元函数的偏导数求二元函数极值

例1.1.1 求由方程x2?y2?z2?2x?2y?4z?10?0, 所确定的函数z?f(x,y)的极值.

解: 将方程两边分别对x,y求偏导数

2x?2zzx?2?4zx?0 (1)

2y?2zzy?2?4zy?0 (2)

解出 zx?1?x1?y, zy? z?2z?2令zx?0,zy?0,求得x=1, y=-1将他们带入原方程得z1?6,z2??2.

下面考察函数z?f(x,y)在点（1，-1.6）及点（1，-1，-2）的邻域内取值情况. 令F?x,y,z?= x2?y2?z2?2x?2y?4z?10.由于Fx(1,?1,6)?0,Fy(1,?1,?2)?0, 所以原方程分别在点(1,-1,6)和（1，-1，-2）的邻域内确定函数

z?f1(x,y),z?f2(x,y).

11又方程（1）对x求偏导:1?zzxx?zx2?2xxx?0,得zxx(1,?1,6)??，zxx(1,?1,2)?.

44方程（1）对y求偏导:zxzy?zzxy?2xxy?0,得zxy(1,?1,6)?0,zxy(1,?1,?2)?0.

1

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11方程（2）对y求偏导:1?zy2?zzyy?2zyy?0,得zxx(1,?1,6)??，zxx(1,?1,2)?

44在点（1，-1,6）有B2?AC?0，且A<0，所以z?6是极大值。 在点（1，-1,2）处有B2?AC?0,且A>0，所以z??2是极小值。

综上所述, 知由方程x2?y2?z2?2x?2y?4z?10?0在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数,z?6是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数，z??2是极小值.

如把本题所给的方程化成

(x?1)2?(y?1)2?(z?2)2?16

这是球面方程 ,半径R?4,球心在点（1，-1,2），对于x,y的一组值，有两个z与之对应，因此 ,从整体来看 ,该方程并不确定一个单值函数 ,从几何图形上看 ,z在(1,-1)取得极大值6与极小值-2是然显的 ,因为球面上最高点与最低点的坐标分别为(1,-1,6)与（1，-1，-2）.

1.2 利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值

xy例1.2.1 求函数z?x2?y2在条件??1下的极值.

ab解：本题是条件极值问题，用Lagrange乘法，设函数为

xy F(x,y)? x2?y2 ??(??1)

ab??F?2x??0x?a??? ?Fy?2y??0

b?????a?b?1?a2b2解得 ax?by???22

2a?b?ab2a2b2,y?2故得驻点 x?2 a?b2a?b又 Fxx?Fyy?2,Fxy?0

22所以 d2F(x,y)?2??(dx)?(dy)???0

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ab2a2b故 x0?22,y0?22是极小值点.

a?ba?ba2b2极小值 z?x0?y0?2 2a?b1.3 用几何模型法求解极值

本节利用多元函数微分法在几何上的应用得到了求解多元函数条件极值的方法. 1.3.1 z=f(x,y)在满足条件下的极值

?0??（x,y,z）引理 设空间曲线的方程以?的形式给出，M(x,y,z)是曲线Г上

?0??（x,y,z）的一个点，则曲线Г在点M处的切线方程为

x?x0?y?z?y?zM?y?y0?z?x?z?x?Mz?z0?x?y?x?yM

?z?f(x,y)由空间解析几何知方程组?（1）表示一条空间曲线Г，

??(x,y)?0?z?f(x,y)z?f(x,y)在满足条件下的极值即为曲线Г：? 上点P的坐标的极大

?(x,y)?0?值与极小值.如果曲线Г上处处都有切线，则z 坐标取极大值与极小值的点p处的切平面必平行于xoy坐标面，亦即垂直于z轴。

??z?f(x,y)?0由（1）知的方程为?，设其切向量为t，

?(x,y)?0????fy则有t＝???y?11?fx?fx,,00?x?x?fy??fx??t，又,?k???y??x??fy?y?0

即fx?y?fy?x?0

定理 设函数z?f(x,y),?(x,y)?0在(x0,y0),某一邻域内均有连续的一阶偏导数且雅克比行列式J(x0,y0)?0,则(x0,y0)为z?f(x,y)在满足条件?(x,y)?0下的极值

点的必要条件为fx?y?fy?x?0.

例1.3.1 求函数z?xy在附加条件x?y?1下的极大值.

3

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解：因为zx?y,zy?x,?x??y?1, 所以zx?y?zy?x?0

即 x?y?0 (1) 又 x?y?1 (2)

11111解得(x0,y0)为(,)，从而f(,)=

222241由题意知z?xy的极大值为.

4例1.3.2 抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1原点到这椭圆的最长与最短距离. 解：因为d?x2?y2?z2 所以设目标函数为 t?x2?y2?z2 (1) 限制条件为 z?x2?y2 (2)

x?y?z?1 (3)

由(1)(2)(3)知即求t?x2?y2?(x2?y2)2 在限制条件x?y?x2?y2?1?0下的极值 因为tx?2x?4x(x2?y2) ty?2y?4y(x2?y2) ?x?1?2x ?y?1?2y

所以tx?y?ty?x?0 即(x?y)(4x2?4y2?2)?0 (4) 由(1)(2)(3)解得x0?y0??1?3 由题意知最长距离为9?53，最短距离为9?53. 1.3.2 u?f(x,y,z)在满足条件?(x,y,z)?0下的最值

基本过程（1）u?f(x,y,z0)在满足条件?(x,y,z0)?0下的可能极值点。

（2）求一元函数u?f(x(z0),y(z0),z0)的最值。

x2y2z2例1.3.3 求内接于椭球2?2?2?1的体积最大的长方体的体积，长方体的

abc4

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各个面平行于坐标面.

解：设内接于椭球且各个面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点坐标为则长

x2y2z2方体的体积为V=8xyz且2?2?2?1?0

abc任意固定z0, 0?z0?c

x2y2z02首先求V?8xyz0(1) 满足条件2?2?2?1?0时的极值点

abc2x2y??, , ya2b22y2x由得Vx?y?Vy?x?0得8yz0?2?8xz0?2?0（3）

ba因为Vx?8yz0, Vy?8xz0, ?x?z02z02a?1?2b?1?2cc 由（2）（3）解得x? y?22?z02??z022z02?dV?4ab?(1?2)?2? 则由V(z0)?4ab?1?2?z0 由

c?dz0cc???解得 z0?c 时，V(z0) 最大， 3?ccc?此时长方体在第一卦限的顶点坐标为?,,?.

?333?用上述定理给出的解决多元函数条件极值问题的方法，可避免利用拉格朗日乘数法过程中繁琐的计算， 同时对工科学生而言也比较容易理解. 1.4 通过雅可比(Jacobi) 矩阵求条件极值 1.4.1 问题的提出

设方程

f(x1,x2,???,xn,y)?0 (1)

在某邻域内满足隐函数存在定理的所有条件,它确定的隐函数为y?y(x1,x2,???,xn),又设约束方程组为

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??1(x1,x2,???,xn,y)?0??(x,x,???,x,y)?0?212n (2) ?????????????????????????????m(x1,x2,???,xn,y)?0其中m?n, 函数?1,?2,????m在上述邻域内具有连续偏导数, 且彼此独立.

现在要求方程(1)给出的目标函数y?y(x1,x2,???,xn)在约束方程组(2)下的条件极值.利用拉格朗日乘数法, 设拉格朗日函数

F(x1,x2,???,xn,y;?1,?2,????m)?y???11??2?2??m?m

则目标函数y?y(x1,x2,???,xn)具有条件极值的必要条件是:

??F?y???1??1?y????2??2?y????m??m?y?????????????????2????0,1?m??y?x1??y?x1???x1?y?x1???x1??x1??x1?x1?????????F??y??1???1???1?y???2???2???2?y???????m???m???m?y??0,?y?x2??y?x2???x2?x2??x2?y?x2???x2??x2??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (3) ??F?y???1??1?y????2??2?y????m??m?y????1????????2????????m???0,?y?xn??y?xn???xn?y?xn???xn??xn??xn?xn??(x,x,???,x,y)?0,n?112??2(x1,x2,???,xn,y)?0,?????????????????????????????m(x1,x2,???,xn,y)?0.有解.

这就是说,若目标函数y?y(x1,x2,???,xn)在点x0?(x10,x20,???,xn0)取得条件极值, 则x0 满足方程组(3). 1.4.2 问题的分析

若方程组(3)有解x0?(x10,x20,???,xn0),将x0代入(3)的前n个方程的偏导函数中,

??y???y????j??j?y?0?并用??、????(i?1,2,???,n;j?1,2,???,m)表示点x处的各偏导数?y?xi?0??xi?0??xi?0??xi值, 并以z1,z2,???,zm,zm?1为未知数构造线性方程组:

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???y????1??1?y????m??m?y?z??z??????1??2??zm?1?0?y?x1?0??x1?y?x1?0??x1???x1?0?????1??1?y????m??m?y??y??z??z??????1??2??zm?1?0 ( 4) ?y?x2?0???x2?0??x2?y?x2?0??x2???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????y????1??1?y????m??m?y???z??z????1??2??zm?1?0?x?x?y?x?x?y?x?n?0n?0?n?n??n?0显然方程组(4)有非零解z0??1,?1,?2,????m?,故方程组(4)的系数矩阵A0的秩

R?A0??m?1, 其中

??y????1??1?y????m??m?y?????????????x?x?y?x?x?y?x?1?0?11?0?11?0??y????1??1?y????m??m?y?????????????x?y?xA0???x2?0??x2?y?x2?0?22?0

??????????????????????????????????????????????????????????y????1??1?y????m??m?y?????????????x?x?y?x?x?y?xn?0n?0?n?0?n?n由此可知方程组(3)的前n个方程的所有解x?(x1,x2,???,xn)对应的函数矩阵

??m??m?y?y??1`??1?y??????x1?x1?y?x1?x1?y?x1??m??m?y?y??1??1?y??????x2?y?x2 A??x2?x2?y?x2??????????????????????????????????????????????????y?xn??m??m?y??1??1?y??????xn?y?xn?xn?y?xn也满足R(A)?m?1. 因此矩阵A的后m列元素对应的函数矩阵

??m??m?y??1`??1?y??????x1?y?x1?x1?y?x1??m??m?y??1??1?y??????x2?y?x2 B??x2?y?x2???????????????????????????????????????????m??m?y??1??1?y??????xn?y?xn?xn?y?xn是函数?1,?2，???,?m对于一切自变量的偏导数所组成的雅可比矩阵的转置矩阵,由函数

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?1,?2，???,?m的彼此独立性知,R(B)?m,故R(A)?m所以, 目标函数y(x1,x2,???,xn)具

有条件极值的必要条件是R(A)?m.

将函数矩阵A 看作是在所讨论的某邻域内某点处的各偏导数所组成的数值矩阵,

????????进行如下初等变换: 将A的第1列乘以??1`?加到第2列; 将A的第1列乘以??2`???y???y?????加到第3列,???,直至将A的第1列乘以??m`?加到第m+1列,可得与A等价的矩阵A1 ,

??y?其中

??m?y??1`????x1?x1?x1??m?y??1????x2 A1??x2?x2??????????????????????y?xn??m??1????xn?xn由隐函数存在定理知, 对方程f(x1,x2,???,xn,y)?0所确定的隐函数

y?y(x1,x2,???,xn), 有:

?y?f?f?y?f?f?y?f?f??\\,??\\,???,??\\, ?x1?x1?y?x2?x2?y?xn?xn?y故

???f?f\\?x1?y?f?f\\?x2?y??1`?x1??1?x2????????m?x1A1???m?x2

???????????????????????????????f?f\\?xn?y??1?xn?????m?xn???f?再将A1的第1列乘以???得矩阵

??y?8

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?f?x1??1`?x1?????m?x1??m??1?f????x2 A2??x2?x2?????????????????????????f?xn??1?xn?????m?xn故A~A1~A2, 且R?A??R?A1??R?A2??m, 1.4.3 问题的解决

因为函数矩阵A2的秩为R?A2??m, 故A2中必有一个m阶子式不恒为零. 不失一般性，可设A2的右上角的m阶子式D?0,其中

??1`?x1?????m?x1??m??1????x2 D??x2??????????????????1?xm?????m?xm而且A2中所有包含D的n?m个m+1阶的加边行列式Dk都等于零, 其中

?f?x1?f?x2Dk???1`?x1??1?x2????????m?x1??m?x2?????????????????????????0, k?m?1,m?2,???,n. (5)

??m??1?f????xm?xm?xm?f?xk??1?xk?????m?xk由此可知, 若由方程( 1)所确定的目标函数y?y(x1,x2,???,xn)在点

x0?(x10,x20,???,xn0)取得满足约束方程组(2)的条件极值, 则点x0必满足方程组(5) .

综合以上, 可得求方程(1)所确定的目标函数y?y(x1,x2,???,xn)满足约束方程组(2)的条件极值的如下方法:

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① 选定不恒为零的m阶子式D,写出方程组(5),即Dk?0, k?m?1,m?2,???,n; ② 解方程组(5)与方程组(2)及方程(1)的联立方程组; ③ 对解出的可能的条件极值点x0?(x10,x20,???,xn0)加以判断.

x2y2z2例1.4.1 求椭球面2?2?2?1的内接最大长方体体积.

abc解 设椭球面的内接长方体在第一卦限内的顶点为(x,y,z),则其体积为

u?8xyz.

现求方程f(x,y,z,u)?8xyz?u?0所给出的目标函数u在约束方程组

x2y2z2f(x,y,z)?2?2?2?1?0下的条件极值.

abc?f?x由?f?y??8yz?x???8xz?y2xa2?0 与2yb2?f?x?f?z??8yz?x???8xy?z2xy2x2a2?0，可得2?2?0 与2zbac2z2x2?2?0.解联立方程组 2ca?y2x2?b2?a2?0?2x2?z ?2?2?0ca??x2y2z2?2?2?2?1?0bc?a可得x?abc,y?,z? 333由实际意义知,椭球面的内接最大长方体体积是存在的,而且求得唯一的可能条

?abc?件极值点, 故点?,,?为所求条件极值点,所求内接最大长方体体积为

?333?833abc.

从以上讨论和计算可知, 对于目前函数是显函数u?f(x,y,z)的情形, 不必化为

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隐函数,可直接计算.

例1.4.2 从斜边长为l的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形. 解 设直角三角形的两直角边边长分别为x,y, 则周长s?x?y?l且

x2?y2?l2.

现求目标函数f(x,y)?x?y?l在约束方程?(x,y)?x2?y2?l2?0下的条件极值.

?f?x由得

?f?y???y?x12xl?xx?y?得 ??0,得y?x,解联立方程组?222??12y2?x?y?l?0?y由实际意义知,斜边为定长的直角三角形的最大周长是存在的,而且求得唯一的

l??l可能极值点, 故点?,?为所求的条件极值点,因此所求直角三角形为等腰直角

?22?三角形, 两直角边均为l. 21.5 利用参数方程求解条件极值

在求由参数方程所确定函数的极值点,会出现以下二例的情形.

?x?tet?例1.5.1 设函数y?f(x)由?确定,求函数的极值点. ?t??y?tedydy(1?t)e?t(1?t)e?2t?0得到t?1,对应唯一驻点x?e. 解 ,令??tdxdx?1?t?e1?t当t?1(x?e左侧) y??0,t?1(x?e右侧)y??0,所以x?e是函数的极大值点.

注意,t=-1(x??e?1)时y?不存在(函数有定义),t<-1(x??e?1左侧）右侧) y??0,但t??1即x??e?1却不是函数的极值点.考察y??0,t??1(x??1?ex?tet在t??1的性态.因为

dxdtd2xt??1?(1?t)et??1?0，

dt2tt??1?(2?t)ett??1?0

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所以t??1是x?tet的唯一极小值点,也是其最小值点. t??1对应的x??e?1是函数

y?f(x)定义区间的左端点,它不是函数的极值点(极值点应为定义区间的内点).

?dy?x?2t?t例1.5.2 设由?确定了函数,求y?f(x)2dxy?5t?4tt??x?0并求函数的极值

点.

解 x?0对应t?0,

t?0?1,dx???不存在，t?0 (1) dt?t?0?3,由(1)可见t?0时

dx不存在,但函数y?f(x)在x?0(t?0)处的导数仍存在. dt2事实上,由导数定义可得

dydx5??t??4?t?t?lim?0 (2) ?x?02?t??tx?0于是

?2t?0,dy???0，dx??6t?0,t?0(x?0),t?0(x?0), (3) t?0(x?0).由(2)可见t?0是x?3t?t的连续不可导点,不是x的极值点,对应的x?0是函数y?f(x)定义区间的内点.

由(3)可见,x?0(t?0)是y?f(x)的唯一极小值点.

?x?x(t)由以上三例可见,由于参数方程?所确定的函数y?f(x)与自变x的关

?y?y(t)系是通过参数t来沟通的,在求解此类问题时应注意:

1. 即使x?(t),y?(t)中有一个不存在,y对x(或x对y)的导数仍可以存在,只是不能用公式

dyy?(t)?来求,此时可用导数定义求. ?dxx(t)d2ydyy?(t)?2. 即使在(或2)不存在的t0(对应x0)的左右两侧y? (或y??)变号,

dxdxx?(t)12

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也不能确定它是函数的极值点(或拐点),需要进一步考察,切勿妄下结论.

3．若有x?(t0),y?(t0)同时成立,而x??(t0),y??(t0)中至少有一个不为0,则点

(x(t0),y(t0))称为曲线的奇异点(见菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷二分册). 1.6 利用方向导数判别多元函数的极值 1.6.1 引理

设函数f(x,y),在平面区域D上可微,L是D内的光滑曲线 ,当点P(x,y)在L上移动时,函数f(x,y)沿L的前进方向的方向导数

(1)

df(x,y)满足： dldf?0,则函数f(x,y)在L上单调增加. dldf?0,则函数f(x,y)在L上单调减少. (2)dldf?0,则函数f(x,y)在L上为常数. (3)dl证明 设曲线L的方程为y??(x)且没有垂直于X轴的切线在L上任意两点

p1(x1,y1),p2(x2,y2),(移动时先经过点p1),对于定义在L上的一元函数f(x,?(x))应用微分中值定理,

f(x2,?(x2))?f(x1,?(x1))?dfdxx??(x2?x1),(?在x1与x2之间)，

(1) 及

df?f?fdydysina??,?tga? （a为L的切线与X轴的夹角） dx?x?ydxdxcosa于是 （2） 当x1?x2时，???f?x?x?ff?x2??(x2)??f?x1??(x1)???cosa?sina?21?y??x?cosax??

?2?a??2，cosa?0；

3?，cosa?0，故x2?x1与cosa同号，如果当2当x1?x2时，

?2?a?df?f?f?coas?sai?ndl?x?y0时，

f?2?x?()x??2???f1??x(1)，x从0而

f?2?x?()x??2???f1f(x,y)在L上眼前进方向是单调增加的. .(所以，函数x?x1)同理,可证(2)、(3)成立.

如果曲线L有铅直切线,则可设其方程为x??(y),证法类似.

13

陈龙 多元函数的极值与最值的求法

1.6.2 极值存在的二个充分条件

定理1 设函数f(x,y),在点p0(x0,y0)的某邻域内可微,且

fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0,如果函数f(x,y)在该邻域任一点P(x,y)处，沿直线P0P方向的方向导数满足:

df?0,则f(x0,y0)为f(x,y)的极大值； (1) dldf?0，则f(x0,y0)为f(x,y)的极小值. （2）dl证明 设p(x,y)为领域内任意一点,L为领

域内过点p0(x0,y0)和p(x,y)的直线段，由假设知,函数z?f(x,y)在点p(x,y)处沿p0p方向的导数

df?0，且在L上点p0(x0,y0)与p(x,y)之间的何点处,该方向dl的方向导数均为负.由引理知, f(x,y)在L上单调减少,即f(x0,y0)>f(x,y).由

p(x,y)的任意性, f(x0,y0)是极大值.情形（2）同理可证.

定理2 设函数在平面区域D上可微,曲线L完全属于D,且f(x,y)在曲线L上的一阶偏导数为零.如果在曲线L上各点的法线上,函数f(x,y)沿法线向外方向的方向导 数满足.

(1) 在该弧段的邻近均为负,则函数f(x,y)在该弧段上取得弱极大值. (2) 在该弧段的邻近均为正,则函数f(x,y)在该弧段上取得弱极小值. 证明 (1) 设p0(x0,y0)为曲线L上某弧段l内一点,又设s为过p0的任一曲线,点p(x,y)为s上某邻域内的任意一点.

如果点p(x,y)在l上,根据引理知f(x,y)=f(x0,y0).

如果点p(x,y)不在l上,则点p(x,y)必在l上某点p1(x1,y1)的法线上,由假设知线段p1p各点沿p1p的方向导数为负,由引理知,函数f(x,y)在线段p1p上单调减少所以f(x,y)

(2) 类似可证。

14

玉林师范学院本科生毕业论文

1.6.3 应用举例

利用上述充分条件判别极值的一般步骤:

(1) 求出函数f(x,y)的驻点p0(x0,y0),用射线a?0,?f?f将p0的邻域划分成若干区域. ?0,?0?x?y?2,?,3?及曲线里2(2) a?0,?2,?,3??f?f及?0,?0上和各部分区域内,判断方向导数各项符号,2?x?y进而判断方向导数的符号.

(3) 根据定理1、2，判断该驻点是否为极值点.

例1.6.1 求函数f(x,y)=4(x?y)?x2?y2,极值。 解

?f?f?f?f?4?2x,??4?2y,令?0,?0，得驻点（2，-2）方向导数 ?x?y?x?y?f??4?2x?cosa?(4?2y)sina ?l在点(2,-2)邻近，各项符号如下表：

所以

?f?0,由定理1,点(2,-2)为极大值. ?l例1.6.2 求函数f(x,y)?x2?2xy?y2?2x?2y?1的极值. 解

?f?f?f?f?2(x?y?1),??2(x?y?1),?0,?0得驻点x?y?1=0为一直?x?y?x?y?f?2(x?y?1)cosa?2(x?y?1)sina驻点直线x?y?1=0与x轴的夹?l线.方向导数角???4,

直线上各点的法线与x轴夹角为法线方向为

?4??2或

?4??2，此时在直线x?y?1=0的上方,

?4??2，且x?y?1?0.在直线x?y?1=0的下方,法线方向为

?4??2,x?y?1?0,其邻近各点沿法线方向的方向导数为:

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陈龙 多元函数的极值与最值的求法

?????f????cos????sin????0, ?42??y?42??????f????cos????sin????0 ?42??y?42?由定理2,函数在直线x?y?1=0上取得弱极小值. 1.7 用梯度法求极值 1.7.1 引言

设为Rn实n维欧氏空间,f:D?Rn?R是以Rn中子集为定义域的一个n 维实数.

000n定义1 设y?f(x1,x2,L,xn)，f(x1,x2,L,xn) ?Rn，若P,(x,x,L,x)?R012n000n并且f(x1,x2,L,xn)在P0(x1,x2,L,xn)?R某邻域内有定义，当极限

f?x1Lxi??xiLxn??f?x10Lxi0Lxn??fi?x1,LxiLxn?lim?lim ?xi?0?xi?0?xi?xi000n存在，称这个极限为函数f(x1,x2,L,xn)在P0(x1,x2,L,xn)?R关于xi的偏导数，记

为

?ffx(x,x2,L,xn)或

?xii0100P0.

000定义2 若函数f(x1,x2,L,xn)在P(x,x,L,x012n)存在对所有自变量的偏导数，

??f则称向量???x1P0,?f?x2P0,L,?f?xn?0的梯度记为： P0?为f(x1,x2,L,xn)在P?gradf?fx1?P0?,Lfxn?P0?

??定义3 设为D?Rn开集P0?D,f:D?R,若存在线性变量，使

x?U?x0??D,limx?x0f(x)?f(x0)?A(x?x0)?0

x?x0则称函数f在x0(x1,Lxn)处可微，线性变量A(x?x0)为f在x0的微分.

显然，当f可微时，gradf在x0处存在并且A(x?x0)?gradf.0 1.7.2 重要结果

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玉林师范学院本科生毕业论文

定理1 设函数y?f(x1,x2,L,xn)在凸形?域内可微，并且gradf?M,其中L为常数，则y?f(x1,x2,L,xn)在?上一致连续.

证明：当?是闭区域时，结论显然成立.设P(x1?,x2?,L,xn?),Q(x12,x22,L,xn2)为?中点，由于?是凸形域，则线段PQ整个都落在?内，令?xi?xi2?xi?，i?1,2,L,n，考察一元函数，??t??fx1??t?x1,x2??t?x2,Lxn??t?xn，由于y?f(x1,x2,L,xn)在凸形域?内可微，我们有：

?????t??fx1?p??x1?fx2?p??x2?L?fxn?p??xn

于是

f?P??f?Q????1????0???????,0???1

??fxix1????x1,L,xi????xi,L,xn????xn?xi

i?1n???gradfx1????x1,x2????x2,L,xn????xn???x1,?x2,L,?xn?

所以

??f?P??f?Q??gradfx1???x1,L,xn???xn???x1,L,?xn?

?gradfx1???x1,L,xn???xn??P,Q?

?????M??P,Q?

故对于???0，取???当??P,Q???时，有 Mf?P??f?Q???

所以y?f(x1,x2,L,xn)在?上一致连续.

000定理2 若n元函数y?f(x1,x2,L,xn)在P0(x1,x2,L,xn)某邻域梯度向量存在，000并且，gradf?M,?M?0?则y?f(x1,x2,L,xn)在点P0(x1,x2,L,xn)连续.

定理3 设函数y?f(x1,x2,L,xn)，????1,?2,L,?n??R在邻域U?a?内，

y?f(x1,x2,L,xn)连续，在U(?)内可微.

(1) 当?x?U(?)，有

00?x?a?gra?0d，f则y?f(x1,x2,L,xn)在点

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陈龙 多元函数的极值与最值的求法

????1,?2,L,?n??Rn取极大值；

(2) 当?x?U(?)，

0?x?a?gradf?0，则y?f(x1,x2,L,xn)在点

????1,?2,L,?n??Rn取极小值；

例1.7.1 求f(x,y)?25?(x?1)4?(y?1)4的极值.

3??fx(x,y)?4(x?1)?0x解 令?得其稳定点为（1,1）. 3??fy(x,y)?4(y?1)?0由于Hessn矩阵H?00003，无法判断其极值.而

3(x?1,y?1)4?x?1?,4?y?1??4(x?1)4?4(y?1)4?0 所以稳定点（1,1）取极小值.

2 多元函数最值的求法

求最值问题是中等数学永恒的话题,其中,多元函数求最值是难点.求多元函数最值的常用方法有:消元法、均值不等式法、换元法、数形结合法、柯西不等式法、向量法等,结合例题将这些方法加以总结.

最值问题是中等数学中永恒的话题,也是每年高考必不可少的热门考点。因此,怎样求最值,是师生们非常关注和必须解决的问题,也是学生必须具备的解题技能。而在最值求解中,尤以求多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性,成为最值求解中的难点和热点. 现将多元函数求最值的常用方法和技巧总结介绍如下. 2.1 消元法

消元法是指通过消去变量(或未知数) 从而达到解题目的的方法。当题中有两个或两个以上的变量(或未知数) 时,要同时求出它们是做不到的。如果能先消去一些变量(或未知数) 使其减少到一个,使数量关系单一化,则便于找到解题途径。多元函数最值难求,关键在于变量较多。如果能够采取合理的手段消元,使变量减少甚至只剩下一个变量,则问题往往迎刃而解。消元法是求多元函数最值的最基本方法,遇到此类问题时,首选之法就是消元法。

例2.1 已知3x2? 2y2? 9x,求S?x2?y2的最值。

??18

玉林师范学院本科生毕业论文

解:由条件3x2? 2y2? 9x知y2?∴S?x2?y2?x2?219x?3x2? ?219x?3x2? ?21?9?81 ???x???1

2?2?8又y2?19x?3x2??0， ?2∴x2?3x?0， ∴x??0,3?.

9而??0,3? ,函数S在[0,3]上是增函数, 2∴当x?3时, Smax?9;当x?0,Smin?0 .

需特别提醒的是,消元后,留下的元(变量或未知数) 的取值范围往往并不是任意的,而要根据题设条件挖掘出来,而这往往成潍解题成败的关键。 2.2 均值不等式法

均值不等式: 设ai ( i = 1 , 2 , 3 , ?, n) > 0 ,则

a1?a2?a3???an?a1·a2·a3?an n (当且仅当a1?a2?a3???an时等号成立) 。

在实际中,经常使用的只是n = 2 和n = 3 的情况。它的最大用途在于求最值。 在将均值不等式应用于求最值时,要求比较高,可概括为:“一正、二定、三相等”。即: (1) 所涉及的量必须都正数; (2) 这些正数的“和”或“积”是定值:当积为定值时,可以求和的最小值;当和为定值时,可以求积的最大值; (3) 这些正数必须相等。这三点缺一不可,否则,所求的最值是不可能正确的。

均值不等式是解决多元函数求最值的行之有效的方法。只要满足了“一正、二定、三相等”的条件,就屡试不爽。但在具体解题时,因其技巧性较强,需要合理拆分项或恰当配凑因式,创设使用均值不等式的条件,因此,需要多做题,细揣摩,才能把握好。

例2.2 已知x ≥y > 0 ,求s?x?142x?y?y??????(2x?y)y 2?19

4的最小值。

(2x?y)y解: s?陈龙 多元函数的极值与最值的求法

?114 ?2x?y??y?22(2x?y)y ?33114=3 ?2x?y??y?22(2x?y)y当且仅当

114 ?2x?y??y?22(2x?y)y即x?y?2时,Smin?3.

本题通过“恰当配凑”达到“积是定值”的条件,并且配凑后三个正数“会相等”。 2.3 换元法

所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变量去代替原来的部分(或全部) 变量或改造原来的式子,利用新元架起未知通向已知的桥梁。换元的实质是转化,目的是化繁为简、化生为熟,使问题易于解决,其关键是构造元和设元。换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。换元时要尽可能地用新元把分散的条件联系起来,把隐含的条件显露出来。换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法和技巧,通过换元可以使复杂问题简单化,使一些看似“一筹莫展”的问题“柳暗花明”。

例2.3 设a , b , c > 0 , 求u?解:令

?a? 2b?c?x??a?b? 2c?y ?a?b? 3c?z?a?3c4b8c??的最小值。 a?2b?ca?b?2ca?b?3c则

?a? ?x? 5y? 3z? ?b?x? 2y?z?c? ?y?z?∴u??x? 2y4x? 8y? 4z8z?8y?? xyz??y??x????z??z??? ? 17 ? 2????2????4????2??? ??x??y????y??y??20

玉林师范学院本科生毕业论文

?- 17 + 42?82??17?122 即umin?? 17 ? 122. 由于给出的关于a 、b、c 的函数表达式比较繁杂,特别是分母,但通过本题的换元“强制性”地简化了分母,当把表达式整理成关于x 、y 、z 的解析式后,其结论水到渠成。另外,特别注意换元后的新元的取值范围不一定是任意的,题设条件或其自身将可能影响新元的范围,这正是很多使用换元法解题不正确的原因所在。 2.4 数形结合法

数形结合,就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面,一方面,许多数量关系的抽象概念和解析式,若赋予其几何意义,往往可以变得非常的直观、形象;另一方面,一些图形的属性又可以通过数量关系的研究使得图形的性质更丰富、更精确、更深刻。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来。它兼有数的严谨与形的直观之长,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,是优化解题过程的重要途径之一。

9??例2.4 设0 < u < 2 , v > 0 ,求s? (u?v)??2?u2??的最小值。

v??22?9?解:设Pu,2?u2,Q?v,?,则s? |PQ|2，此时,P 的轨迹是

?v?x2?y2?2,0?x?2,y?0, ????Q 的轨迹是xy?9,(x?0) ,

在平面直角坐标系中做出动点P ,Q 的轨迹(如图) ,则

OQ?v2?2

81812?18v?32,即| OQ| min = ., v2v221

陈龙 多元函数的极值与最值的求法

可得v = 3 。又| OP| = 2 ,

∴| PQ| ≥| OQ| - | OP| = 32?22?22 ∴s? |PQ|2?8.

即当v?3,u?1时, smin?8.

数形结合解题时的一般方法是:第一步,先把已知条件与待求结论的代数式(或量) 都化成形,第二步,观察图形,得到解题方法,进而得出结论。 2.5 柯西不等式法

柯西不等式:设a1,a2,???,an;a1,a2,???,anb1,b2,???,bn均 是实数,则有

?a1b1?a2b2?????anbn?222? ?a12?a2???an??b12?b22???bn2?

等号当且仅当ai??bi(?为常数, i?1,2,3,???,n)时取得。

柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用灵活广泛,灵活巧妙地运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。在使用时,往往要采取一些方法(如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等) 构造符合柯西不等式的形式及条件,继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。

149例2.5 设x,y,z?0,且x?y?z?1,求u =??的最小值。

xyz 解:由柯西不等式可得,

u??149?149????x?y?z?????? xyz?xyz?2?149???x??y??z??

xyz????1?2?3??36

2y2z2?及x?y?z?1可得, 由x?492111x?,y?,z?，

632此时, umin?36.

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玉林师范学院本科生毕业论文

本题通过巧用常数“1”构造出了符合柯西不等式的形式及条件,继而达到解题目的。

2.6 向量法

在求有些多元函数的最值时,恰当构造向量模型,利用向量的坐标及内积,常可使复杂问题变得简单明了,使繁琐的解题显得巧妙与自然。

例2.6 已知x2?y2?1 ,求3x?2y的最大值。

解:由已知,可取点M(3,2),设N(x,y)是圆x2?y2?1 上任一点, o为原点,则

?????????OM?(3,2),ON?(x,y)，

?????????OM?13,ON?x2?y2?1,

????????????????????????????????????∴3x? 2y?OM?ON?OM?ONcos(OM,ON)?OM?ON?13. ∴3x?2y的最大值是13. 向量知识是新近出现在高中数学中的内容,对其在解题中的重要作用的认识和使用远未到位。向量的内积公式在求最值时非常管用,只要根据题设条件恰当地设出坐标,再利用向量的内积公式及余弦函数的有界性便可顺利求解。 2.7 利用极值求最值

定理1 若函数f(x,y)?a11x2?2a12xy?a22y2?a1x?b1y?c1在R2上有唯一的极大（小）值点，则该点为最大（小）值点.则该点必为最大（小）值点.

证明 先求f(x,y)的驻点，为此解方程组

?2x21ay??fx(x,y)1a1?2? ??2x22ay?1a2?2??fy(x,y)1a?0 （1） ?b01以下分三种情况进行讨论.

① 若方程组（1）无解，则f(x,y)无极值，从而无最值（因为f(x,y)在R2上的最值比为极值）.

② 若方程组（1）有唯一解(x0,y0)，则直线fx(x,y)?2a11x?2a12y?a1?0与

2fy(x,y)?2a12x?2a22y?b1?0不平行，所以a11a22?a12?0，即B2?AC?0（其中

A?fxx(x,y)?2a11，B?fxy(x,y)?2a12，C?fyy(x,y)?2a22，若B2?AC?0，则

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陈龙 多元函数的极值与最值的求法

f(x,y)无极值也无最值；若B2?AC?0，则f(x,y)在(x0,y0)取极值，A?0时取极

小值,A?0时取极大值,下证(x0,y0)是f(x,y)的最值点.

有泰劳公式知

f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)

122??fx(x0,y0)h?fy(x0,y0)k??f(x,y)h?f(x,y)hk?f(x,y)k xx00xy0000??2?AB??h?1?(h,k)????

BC2???k?h?AB???当B2?AC?0且A?0时，(hk,?)???为正定二次型，恒有

?BC??k?当B2?AC?0且A?0时，f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)，(x0,y0)是f(x,y)的最小值点；

?AB??h?(h,k)????为负定二次型，恒有f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)，(x0,y0)是f(x,y)?BC??k?的最大值点.

③ 若方程组（1）有无穷多组解，则

a11a12a1??，此时f(x,y)有无限多个a12a22b1驻点.对f(x,y)的任意一个驻点(x0,y0)，由泰劳公式知 f(x,0y?k)?0?hf(0x,0 y)1 ?(h,k2?AB??h?)???? BC???k??AB?2记D???,由于B?A?0，所以秩D?1.

?BC?若秩D?0，则a11?a12?a22?0，此时f(x,y)?a1x?b1y?c1既无极值也无最值.

?h??u??AB??h?若秩D?1，则可通过变量变换???P??，把(h,k)????化为二次型

?k??y??BC??k?cu2，这里P是一个二阶可逆矩阵，c?0.当c?0时，恒有

f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)?0；当c?0时，恒有f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)?0.所以

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玉林师范学院本科生毕业论文

每一个驻点都是极值点也是最值点.

综上所述定理1的结论得证. 从定理3的证明不难得出下述结论：

推论1 函数f(x,y)?a11x2?2a12xy?a22y2?a1x?b1y?c1，在区域D上的极大（小）值必为最大（小）值.

例2.7 求函数f(x,y)?x?x2?y?y2在R2的最值.

?11?解 函数f(x,y)有驻点?,?，又

?22??11??11?A?fxx?,???2,B?fxy?,??0,

?22??22??11?C?fyy?,???2,B2?AC??4?0.

?22??11??11?所以?,?是f(x,y)的极大值点，有推论1知?,?是f(x,y)的最大值点.

?22??22?小结

多元函数极值与最值的求法种类可能还有很多，而且随着数学的发展，可能会更加丰富，更加有趣，此因本人能力有限，研究出了以上的方法.本文采取不同的形式论述各种求值方法.在论述简单的方法时，只是运用实例加以论述；比较难些的，引用定理，甚至推论，再辅以例题论述；对于更难的，采用更加详细的提出、分析、解决的步骤，使论述更加浅显易懂.在实际生活中，极值与最值的关系是非常紧密的，在此把求极值作为求最值的一种方法，来显现两者关系.

致谢

弹指一挥间，四年的大学生活过去了.在这四年中，我有幸得到了玉林师范学院数计系各位老师的谆谆教诲，再一次体验了学习的辛苦与快乐.可以这么说，这四年是我学习工作倍感进步的四年.在此，我真诚地对以下各位表示谢意：

感谢我的导师黄副教授.

感谢诸多文献的作者！他们的研究成果给了我很多启发，有的已经成为论文重要部分.

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陈龙 多元函数的极值与最值的求法

虽然论文已经完稿，然而对于这篇论文，我是不满多于自足，现仅将这个尽心尽力，同时还有待进一步完善的作品，献给以上给予我关心，支持和帮助的各位领导，老师和朋友们.

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