APOS理论在初中数学概念教学中运用的策略研究--以函数概念为例

独创性声明学位论文题目：业Ｑ墨毽逛垄塑尘数遂搁盆邀鋈空运盟垡鏊蝴笕＝丛凼趁叠缝煎剑本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。学位论文作者：王吨娟签字日期：∞Ｊ弓年４月７日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院（筹）可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密，口保密期限至年月止）。学位论文作者签名：王晚娟导师签名／守分历ＶＬ签字日期：功Ｊ弓年争月７日签字日期：劢“年￥月／７日目录１１１４１ＥＩＩＩＩＩＩＩｍｌｌｌＭｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌＹ２３０９４１９摘；要……………………………………………………………………………………………………………………?ＩＡＢＳＴＲＡＣＴ…………??……………………………………?……………………………………………………??ＩＩＩ导论………………………………………………………………”…………”……………………………………”１（一）问题的提出……………………………………………………………………ｌ（二）相关概念界定…………………………………………………………………?２（三）国内外相关研究综述…………………………………………………………５（四）研究的意义…………………………………………………………………?１２（五）研究的思路与方法…………………………………………………………?１３一、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的案例?（一）ＡＰＯＳ理论在已有数学概念教学中的案例………………………………“１５（二）案例分析……………………………………………………………………?１９二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录……………………………………………２３（一）教师层面……………………………………………………………………?２３（二）学生层面……………………………………………………………………?２８（三）教学过程层面………………………………………………………………?３４（四）总结分析……………………………………………………………………?３９三、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用存在的问题４３（一）机械照搬ＡＰＯＳ理论的四个阶段…………………………………………?４３（二）大多数学生难以达到图式阶段……………………………………………?４３（三）教学过程中，过分强调活动操作会导致“情境过度”和“去数学化”现象”４４（四）教学中，存在“重过程、轻结论”的现象…………………………………?４４四、ＡＰＯＳ理论在初中数学概念教学中运用的策略……………………………………４７（一）ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的框架构建…………………………“４７（二）ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的具体操作策略…………………一４８结束语…………………………………………………………………………………………………………………?５９参考文献……………………………………………………………………………………６ｌ附录………………………………………………………………………．．．…………………………………??６３后记……………………………………………………………………………………………………………”６５摘要ＡＰＯＳ理论在初中数学概念教学中运用的策略研究——以函数概念为例课程与教学论专业硕士研究生王晓娟指导教师范蔚教授摘要函数概念是数学概念中的核心概念之一，是数学概念中少有的过程性概念。初中学生在八年级开始接触变量与函数，初中函数概念教学是进行高段函数教学的基础，因此有必要研究初中函数概念教学。ＡＰＯＳ理论是由杜宾斯基等人发起的专门研究数学概念教学的一个教学理论，实践证明ＡＰＯＳ理论揭示了学生者获得数学概念的心理特点及发展过程。运用该理论能在一定程度上指导数学概念教学。研究主要进行了如下四部分的内容梳理：一是对函数、概念教学和ＡＰＯＳ理论分别从国内和国外进行了文献的查阅、搜集、整理和分析，并进行了相关的数据统计。二是ＡＰＯＳ理论在已有的概念教学中运用的案例搜集与分析。通过查阅文献资料，ＡＰＯＳ理论运用于初中函数概念教学的研究一共有８篇，其中５篇发表于期刊杂志，３篇属于硕士论文。根据研究的需要，对１篇期刊杂志和２篇硕士论文进行相关的分析，得出结论是ＡＰＯＳ理论在一定程度上给予研究者或教师指导意义，但积极运用的同时也存在机械搬用的问题。三是ＡＰＯＳ理论在现有课堂教学中运用的观察及访谈。这一部分内容主要是通过教师的访谈、学生的问卷调查和课堂观察记录，对教师、学生和教学过程三个层面进行了结构式地整理与分析。首先，访谈记录表明三位教师了解ＡＰＯＳ理论，并在进行函数概念教学时运用了ＡＰＯＳ理论来加以指导，但是在教学实践操作中，并没有完全达到预期效果，不是所有的学生都能达到图式阶段，在一节课中对函数有深刻的认知。其次，由皮亚杰的认知理论维度来分析课堂中学生对函数概念西南大学硕士学位论文的掌握情况，并通过问卷调查学生对数学概念的需求，表明学生在学习函数概念时并没有达到教师期望的理解水平，很多学生都不能很好地建立函数概念与其他概念之间的联系，根据学生的问卷调查了解他们对数学概念教学的需求，梳理出学生感到学习概念的困难及原因，为提炼出数学概念教学策略打下基础。最后，根据ＡＰＯＳ理论的四个阶段进行课堂观察，并记录每个阶段的活动或游戏，评出三位老师在各个阶段所得的分数，依照ＡＰＯＳ理论的四个阶段特征作出相应的分析，并提出存在的问题归因。四是ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的优化策略。研究内容先简单地陈述优化ＡＰＯＳ理论在概念教学中运用的原因，设计出优化数学概念教学的基本框架和总的思路，最后提出了五点教学对策：透过“数学现实”，导入概念背景；透过“现实情境”，初建概念形式；透过“概念的巩固和应用”，细化概念符号；透过“概念的形式化与抽象化”，明确概念的本质；透过“概念的联系”，联结概念的系统。总之，数学概念教学是数学教育研究中永恒的主题，ＡＰＯＳ理论在概念教学中的运用具有一定的优越性，同时它在数学概念教学中运用也存在一些问题，应趋利舍弊，优化它在教学中的运用。关键词：函数概念；概念教学；ＡＰＯＳ理论；教学策略ＡｂｓｔｒａｃｔＳｔｕｄｙｏｎＳｔｒａｔｅｇｉｅｓｏｆＡｐｐｌｙｉｎｇＡＰＯＳＴｈｅｏｒｙｉｎＪｕｎｉｏｒＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＣｏｎｃｅｐｔＴｅａｃｈｉｎｇＴｏＦｕｎｃｔｉｏｎａｓａｎＥｘａｍｐｌｅＰｏｓｔｇｒａｄｕａｔｅｏｆＣｕｒｒｉｃｕｌｕｍａｎｄＴｅａｃｈｉｎｇＭｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ：ＷａｎｇＸｉａｏｊｕａｎＳｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：Ｐｒｏｆ．ＦａｎＷｅｉＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｃｏｒｅｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｎｃｅｐｔｊｅａｃｈｉｎｇｉｎｊｕｎｉｏｒｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｉｓｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｈｉｇｈｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｅａｃｈｉｎｇ．ＴｈｅＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｉｓａｔｅａｃｈｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｙｍａｉｎｌｙｆｏｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｆｉｖｅｐａｒｔｃｏｍｂｓ：Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇａｎｄＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｆｒｏｍｈｏｍｅａｎｄａｂｒｏａｄｆｏｒｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ，ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ，ｃｏｌｌａｔｉｏｎａｎｄａｎａｌｙｓｉｓ，ａｎｄｈａｓｃａｒｒｉｅｄｏｎｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｄａｔａｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ．Ｓｅｃｏｎｄ，ｔｈｅｕｓｅｏｆＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｉｎｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇｃａｓｅｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎａｎｄａｎａｌｙｓｉｓ，ｔｈｒｏｕｇｈｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｒｅｖｉｅｗ，ｒｅｓｅａｒｃｈｏｎＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｉｎｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇｉｎｊｕｎｉｏｒｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｈａｓａｔｏｔａｌｏｆ８ｐａｐｅｒｓ，５ｐａｐｅｒｓｗｅｒｅｐｕｂｌｉｓｈｅｄｉｎｊｏｕｒｎａｌｓ，３ｐａｐｅｒｓｂｅｌｏｎｇｉｎｇｔｏｔｈｅｍａｓｔｅｒ’Ｓｔｈｅｓｉｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｎｅｅｄｓ，ｏｎ１ｊｏｕｒｎａｌｓａｎｄ２ｍａｓｔｅｒ’Ｓｔｈｅｓｉｓｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄ，ｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｉｓｔｈａｔｔｈｅＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｉｎａｃｅｒｔａｉｎｅｘｔｅｎｔｇｉｖｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓｏｒｔｅａｃｈｅｒｓｇｕｉｄｉｎｇｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ，ｂｕｔａｌｓｏａｃｔｉｖｅｌｙｕｓｅａｒｅｍｅｃｈａｎｉｃａｌｌｙｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｉｒｄ，ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎａｎｄｉｎｔｅｒｖｉｅｗｓｏｆｕｓｉｎｇｔｈｅＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｉｎｃｌａｓｓｒｏｏｍｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｅｘｉｓｔｉｎｇ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｒｔ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｃｏｎｄｕｃｔｅｄｉｎｔｅｒｖｉｅｗｓｗｉｔｈｔｅａｃｈｅｒｓ，ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｑｕｅｓｔｉｏｎｎａｉｒｅｓｕｒｖｅｙａｎｄｃｌａｓｓｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ，ｔｈｅｔｈｒｅｅａｓｐｅｃｔｓｏｆｔｅａｃｈｅｒｓ，ｓｔｕｄｅｎｔｓａｎｄｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔａｎｄａｎａｌｙｓｉｓ．Ｆｉｒｓｔｏｆａｌｌ，ｔｈｅｉｎｔｅｒｖｉｅｗｒｅｃｏｒｄｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｒｅｅｔｅａｃｈｅｒｓｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆＡＰＯＳ，ａｎｄｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇｗｈｅｎｕｓｉｎｇｔｈｅＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｔｏｇｕｉｄｅ，ｂｕｔｉｎｔｅａｃｈｉｎｇｐｒａｃｔｉｃｅ，ａｎｄｄｉｄｎｏｔｆｕｌｌｙａｃｈｉｅｖｅｔｈｅｄｅｓｉｒｅｄｒｅｓｕｌｔｓ，ａｌｌｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓｃａｎ’ｔｒｅａｃｈｔｈｅｓｃｈｅｍａｓｔａｇｅ，ｉｎａｃｌａｓｓｈａｖｅａｐｒｏｆｏｕｎｄｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｂｙＰｉａｇｅｔ’ＳｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｃｏｇｎｉｔｉｖｅｔｈｅｏｒｙｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｃｌａｓｓｒｏｏｍｆｏｒｓｔｕｄｅｎｔｓｔＯｍａｓｔｅｒｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｑｕｅｓｔｉｏｎｎａｉｒｅｓｕｒｖｅｙｔＯｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｏｎｃｅｐｔｄｅｍａｎｄ，ｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅＩＩＩ

ｓｔｕｄｅｎｔｓｉｎｔｈｅｌｅａｒｎｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｎｃｅｐｔｄｉｄｓｔｕｄｅｎｔｓａｒｅｎｏｔｒｅａｃｈｔｈｅｌｅｖｅｌｏｆｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆｔｅａｃｈｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｎｃｅｐｔａｎｄｏｔｈｅｒｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｓ。ｍａｎｙｎｏｔｗｅｌｌｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｏｆｔｈｅｉｒｄｅｍａｎｄｆｏｒｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｃｏｎｃｅｐｔｓｒｅｌａｔｅｄ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｓｕｒｖｅｙｏｎｓｔｕｄｅｎｔｓ‘ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓ。ｔｏｔｅａｓｅｏｕｔｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙａｎｄｃａｕｓｅｌｅａｒｎｉｎｇｃｏｎｃｅｐｔ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｂｓｔｒａｃｔｌａｙｔｈｅｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｂｙｃｌａｓｓｒｏｏｍｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｆｏｕｒｓｔａｇｅｓｏｆＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄｒｅｃｏｒｄｅａｃｈｐｈａｓｅｏｆｔｈｅａｃｔｉｖｉｔｉｅｓｏｒｇａｍｅｓ，ｓｅｌｅｃｔｅｄｔｈｒｅｅｔｅａｃｈｅｒｓｉｎｖａｒｉｏｕｓｓｔａｇｅｓｏｆｔｈｅｓｃｏｒｅ，ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓｉｓｍａｄｅａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｆｏｕｒｆｏｒｗａｒｄｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆａｔｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．ｓｔａｇｅｓｏｆｆｅａｔｕｒｅｏｆｔｈｅＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄｐｕｔｓＦｏｕｒｔｈ，ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｓｔｒａｔｅｇｙｍａｋｅｓｕｓｅｏｆｔｈｅｗｏｒｄＡＰＯＳｉｎｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｉｎｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｃｏｎｃｅｐｔｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅａｕｔｈｏｒｆｉｒｓｔｓｉｍｐｌｅｓｔａｔｅｍｅｎｔｓｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｕｓｉｎｇｔｅａｃｈｉｎｇ，ｄｅｓｉｇｎｔｈｅｂａｓｉｃｆｒａｍｅｗｏｒｋｏｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔ，ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ；ｔｈｒｏｕｇｈｉｄｅａ，ｆｉｎａｌｌｙｐｕｔｓｆｏｒｗａｒｄｆｉｖｅｔｅａｃｈｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ：ｔｈｅ”ｒｅａｌｉｔｙ”ｉｎｔｏｔｈｅ”ｒｅａｌｉＳｔｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ”，ｂｕｉｌｔｉｎｔｈｅｅａｒｌｙｃｏｎｃｅｐｔｕａｌｆｏｒｍ”；ｔｈｒｏｕｇｈｃｏｎｓｏｌｉｄａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅ”ｆｏｒｍａｌａｎｄａｂｓｔｒａｃｔ”ｃｏｎｃｅｐｔ，ａａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ”ｔｈｅｃｏｎｃｅｐＬｔｏｒｅｆｉｎｅｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｓｙｍｂｏｌｓ；ｔｈｒｏｕｇｈｃｌｅａｒｃｏｎｃｅｐｔｏｆｔｈｅｅｓｓｅｎｃｅ；ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆ’’ｃｏｎｔａｃｔ”，ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｓｙｓｔｅｍｃｏｕｐｌｉｎｇ．Ｉｎａｌｌ，ＴｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｏｎｃｅｐｔｉｓｔｈｅｅｔｅｒｎａｌｔｈｅｍｅｏｆｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｄｕｃａｔｉｏｎ，ｔｈｅｓｔａｔｅｍｅｎｔｓｏｆＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｔｅａｃｈｉｎｇｐｒｏｓｐｅｃｔｓ．ｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｉｓｓｕｅｓｏｎｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｉｎｓｕｆｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓｏｆｔｈｉｓｓｔｕｄｙｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅａｕｔｈｏｒｇｉｖｅｓｓｏｍｅｓｉｍｐｌｅｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄＫｅｙｗｏｒｄｓ：ＦｕｎｃｔｉｏｎＳｔｒａｔｅｇｉｅｓＣｏｎｃｅｐｔ；ｔｈｅＴｅａｃｈｉｎｇｏｆＣｏｎｃｅｐｔ；ＡＰＯＳＴｈｅｏｒｙ；ＴｅａｃｈｉｎｇＩＶ导论导论（一）问题的提出１．函数概念教学重要性初中数学教材中函数内容主要体现于代数函数，大致有四个学习点，第一个学习点是八年级上册的一次函数，第二个是八年级下册的反比例函数，第三个是九年级上册的二次函数，第四个是九年级下册的锐角三角函数。数学概念中一个重要的核心概念就是函数的概念，这四个函数学习点在初中数学教材中是逐步深入学习的。初中阶段初步认识和学习的代数函数是高中阶段学习映射条件下的函数概念和高等数学中研究的函数概念的基础，这都充分说明了初中函数概念教学的必要性和重要性。２．数学概念教学的重要性数学是研究现实世界数量关系与空间形式的科学，数学概念形成于数量关系和空间形式的过程之中，是空间形式与数量关系特有的本质属性、精髓和灵魂，是数学科学知识体系的基础。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》第四部分“课程实施建议”认为，重要的数学概念与数学思想宜体现螺旋上升的原则，遵循逐级递进、螺旋上升的原则。抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式ｎ１。由此看出，数学概念及其教学引起了相当的重视。３．ＡＰＯＳ理论对数学概念教学的价值ＡＰＯＳ理论是对数学概念学习过程进行研究而提出的一个理论，具有很强的学科特色。它认为学生认知数学概念要经历“活动”（ａｃｔｉｏｎ）、“过程”（ｐｒｏｃｅｓｓ）、“对象”（ｏｂｊｅｃｔ）和“图式＂（ｓｃｈｅｍｅ）４个阶段，体现了学生理解数学概念的心理特点，揭示了学习数学概念的本质过程。根据数学学科特点建立的教学理论或模式并不多见，那么，笔者对ＡＰＯＳ理论的研究就显得非常有意义。ＡＰＯＳ理论揭示了学习数学概念的心理过程，认为四个阶段发生在学生身上，学生就认知了这个数学概念，这给数学教师提供了一项进行数学概念教学的理论工具。４．现实考虑杜宾斯基（ＥｄＤｕｂｉｎｓｋｙ）在上世纪８０年代提出ＡＰＯＳ理论伊始，该理论就在大学教学中被推广，广泛应用于高等数学各学科，并获得较大成功，得到了他的美【１】全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［Ｓ】．中华人民共和国教育部，２００１（７）西南大学硕士学位论文国同行的认可。正是基于其在教学中表现出积极的实践意义，部分具有开阔视野的国内数学专家、学者在９０年代初就对ＡＰＯＳ理论进行了研究，经过创新和改进后在中国中小学进行推广试验，通过大量研究证实，该理论对于基础数学的学习同样也有指导作用。笔者对近１０年发表在国内核心期刊的关于ＡＰＯＳ理论文献的统计，发现如下规律：（１）研究ＡＰＯＳ理论的文献数量呈增加趋势，说明该理论越来越被引起重视；（２）对ＡＰＯＳ理论的探究已不只是停留在理论研究面上，大量的试验用于函数、向量、图形、离散数学等概念的实际教学课堂中；（３）研究者年轻化：随着我国近年师范教育的普及，以及国外先进教学理念的大规模引进，一大批具有创新意识的教师在逐渐国际化的大学课程里吸收和接受了ＡＰＯＳ理论，随着他们走上千万所中小学的工作岗位，ＡＰＯＳ理论也被这些年轻的知识传播者运用和研究；（４）对ＡＰＯＳ理论研究的不平衡面：正因为ＡＰＯＳ理论在国内的火热，研究者对其的侧重点几乎都在于它所具有的创新性和积极意义，在概念的课堂教学中也只是如实照搬ＡＰＯＳ理论，但正如硬币两面论，每种教育方法和理念在实践运用之中都是具有正反两面的。固然ＡＰＯＳ理论具有许多毋庸置疑的优点，但是我们的教育者不能因此对这种理论在应用中可能具有的潜在的一些问题而忽略不计，更不能在中小学的教学中生搬硬套这种理论，而是应持“运用一发现优缺点一改进一运用”的教学态度和方法。本论文正是基于以上缘由进行的问题及对策研究。（二）相关概念界定１．函数函数，英文叫ｆｕｎｃｔｉｏｎ，与“幂”是同义。１６７３年，德国的数学家莱布尼茨把它作为一个数学术语，曲线任意点的横纵坐标、垂线长、切线长、弦长等都可以用函数来定义，任何与曲线上点相关的量都称作函数。瑞士数学家贝努利于１７１８年首次使用变量一词，并给函数下了定义：“常量和变量以任意方式组成的量就叫变量的函数。”１７４８年，著名数学家欧拉在《无穷小分析引论》中将函数定义为“由一些常量与一个变量通过任意方式组成的一个解析式。”１７７５年，欧拉进一步提出：“若某些变量以一种方式依赖于另一些变量，即当另一些变量变化时，某些变最也随着变化，则某些变量称作另一些变量的函数”。我们可以看到，以上的函数概念逐渐转化为现在的函数概念了。“函数”一洞在我国，最．‘一是山李善兰与英闺传教士伟力亚力翻译《代微积拾级》而命名的。李善兰创造性地将ｆｕｎｃｔｉｏｎ译成“两２导论数”，书中将函数定为：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”。本研究采用的函数定义是经全国中小学教材审定委员会２００３年初审通过的义务教育课程标准实验教科书《数学》：一般地，设在一个变化过程中有两个变量ｘ，如果对于ｘ的每一个值，都有唯一的Ｙ值与它对应，那么就说Ｘ是自变量，ｙ是Ｘ的函数Ｂ３。２．ＡＰＯＳ理论“反省抽象”理论是由皮亚杰提出的，它是指亲身躬耕实践操作后“抽身＂而出，当一个“旁观者”再次反思和审视操作活动的过程，这时从事的活动成为了思考的对象，并在这个基础上抽象出“结论＂。杜宾斯基口１对其进一步拓展，提出ＡＰＯＳ理论，它实质上是一种建构主义理论。杜宾斯基把数学概念的建构分成：活动、过程、对象和图式四个阶段，ＡＰＯＳ分别是由Ａｃｔｉｏｎ（活动）、Ｐｒｏｃｅｓｓ（过程）、Ｏｂｊｅｃｔ（对象）和Ｓｃｈｅｍｅ（图式）四个单词之首字母组合而成。（１）活动阶段：学生通过适度的“操作活动”进行过程性的体验，感受概念的背景和概念之问的关系，通过“操作活动＂初步感受概念的意义；（２）过程阶段：对前面过程性的“操作活动”进行思考，经历思维的内化和压缩，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念特有的基本属性；（３）对象阶段：认识概念本质，对概念进行文本编码，赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个稳定而又具体的对象；（４）图式阶段：学生不仅知道概念的定义及符号，还要能在与其它概念联系和系统中认识新概念，形成综合的心理图式Ｈ３。ＡＰＯＳ理论特别指出在数学概念学习中，要介绍数学概念产生的现实背景，给学生开展多样化的数学游戏或活动，然后通过已有知识和经验进行反省抽象和思维运算，进而综合思考形式化的定义，最终真正获得数学的概念。３．数学概念及数学概念教学（１）数学概念的涵义Ｗｏｏｌｆｏｌｋ认为“概念是帮人们把大量信息组织成易于储存和管理的单元”，嗨１墨丁（１９８９）认为，“一些事件、模式或物体的心理表征即是概念”∞１，巴塞罗（１９９２）社．２００５．ⅢＥｄＤｕｂｉｎｓｋｙ．Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｔｈｅｌｉｍｉｔｃｏｎｃｅｐｔ：ｂｅｇｉｎｎｉｎｇｗｉｔｈａＣｏｏｒｄｉｎａｔｅＰｒｏｃｅｓｓ［Ｊ］．ＴｈｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ１Ｂｅｈａｖｉｏｒ，１９９６：１６７－１９２．［４】李莉．学生学习数学概念的层次分析叽．数学教育学报，２００２（３）：４４．ＩＳ】ＡｎｉｔａＷｏｏｌｆｏｌｋ著．何先友等译．教育心理学（第十版）【Ｍ】．北京：中国轻工业出版社，２００８：２９７．旧ＪＧａｌｏｔｔｉ．Ｈ．Ｍ．Ｃｏｇｎｉｔｉｖｅｐｓｙｃｈｏｌｏｇｙｉｎａｎｄｏｕｔｏｆｔｈｅｌａｂｏｒａｔｏｒｙ．ＢｒｏｏｋｓｃｏｒｅｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇＣｏｍｐａｎｙ（１９９４）：１６６．弓【２１人民教育出版社中学数学室编著．九年义务教育三年制初级中学教科书代数（第三册）【Ｍ】．北京：人民教育出版西南大学硕士学位论文认为“概念是使人们区别出属于某一类别的成员和不属于该类别成员的信息”盯３，濮安山认为“反映事物的本质属性的思维形式就是概念”随３，喻平认为“概念能够反映事物的本质，它是对一类事物进行概括的表征”㈨。鲍建生教授认为，“数学概念是指数学符号代表的、经过抽象概括的、具有共同属性的数学对象、关系和性质＂ｎ０｜。十三院校编的教材教法认为：“数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关，数学概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式”…，。李善良博士在对概念的历史认识的基础上，总结出“数学概念是一类数学对象的本质属性的反映，是学生不断感知经验的活动过程，是主体对客体的不断加工、修正，最终达到主体对客体的建构过程＂ｎ副。“某个概念的等价定义在人们头脑中形成的命题表象和网络就是概念域ｎ３¨’。数学概念的由来一般有两个：“或者直接从本研究中，笔者认同十三院校编的教材教法对数学概念的研究：“数学研究的（２）数学概念教学笔者查阅相关文献，没有找到关于“数学概念教学＂的具体定义。因此，本９９２．ＣｏｇｎｉｔｉｖｅＰｓｙｃｈｏｋ＿’ｇｙ：ａｒｔｏｖｅｒｖｉｅｗｆｏｒｃｏｇｎｉｔｉｖｅｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ．ＨｉｌｌｓｄａｌｅＮｅｗＪｅｒｓｅｙ：ＬａｗｒｅｎｃｅＡｓｓｏｃｉａｌｅｓ．ｐｕｂｌｉｓｈｅｒ‘ｓ．Ｊｊ１５３．Ｉ．Ｓ】喻。ｒ数学学习心理的ＣＰＦＳ结构理论【Ｍ】．南弓。：广‘两教育…版礼．２００８：１６．客观事物的数量关系和空间形式而得，或者在抽象的数学理论基础上经过多级抽象概括所得”［１４］ｏ喻平认为数学概念有３个特点ｎ扪：对同一个概念可以采用彼此等价的定义去描述同一个概念；不同背景下可以赋予一个概念新的意义；定义一个新概念往往要用到诸多的旧概念。对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学概念是反映这些数学对象的本质枷性和特征的思维形式ｎ６ｈ，“数学概念是对一类数学对象的本质属性的反映，足。学生不断感知经验的活动过程，是主体对客体不断加工、修正，最终达到主体对客体的建构过程＂ｕ¨。研究中笔者根据自己的经验和理解认为数学概念教学是指在数学课堂中教师对数学概念进行讲解与学生接受、掌握并且能灵活运用数学概念的活动过程。“数学概念教学的最终目的是学生运用数学概念建构并形成学习者的概念Ｉ硎络”¨刖。［７］Ｂａｒｓａｌｏｕ．Ｌ．ｗ．１Ｅｒｌｂａｒｒｍｆ８】濮安山主编．中学数学教学ｉ：＝ｃ：ｌＭｌ．Ｉｌｌ一，；，Ｊ－，滨：哈尔滨工业大学出版社．２００２：９１．１９１喻骶数学教育，ｔＬｑＵ！＇－］－＇－＇ＩＭＩ．Ｉ柯宁：Ｊ“Ｐｑ教育Ⅲ版社．２００４：１９２．Ｈｏ］鲍建生等．数学！学习的，巴，ｊｌｌ！Ｊ。㈨｜ＩＪｊ过程【Ｍ川二海教育ｆ¨版社，２００９：９６－９７．…】Ｉ。三院校协编组编．?扣≯数学救｛４教法【Ｍ】．北京：高等教育Ⅲ版社．１９８７：１１３．［１２１李善良．现代认知脱下的数学概念学习ｏｊ教学理论研究【Ｄ】．南京：南京师范人学．２００２．【¨】Ｈ俞、ｒ数学学习心理的ＣＰＦＳ结构雕论ＩＭ】．南宁：广两教育…版礼．２００８：１６．１９．Ｉ¨啦｛！！建生，周超．数学学习的一心理Ｊ占础’ｊ过程【Ｍ】．Ｉ：海：Ｉ：海教育…版事Ｊ：．２００９：１０９－ｌｌＵ㈣卜三院校协编；｛；儿编．中学数学教利教法ｌＭ］．＝ＩＥ京：高等教育川ｈ豆礼．１９８７：１１３．【ｎ１李善良．现代认ｊ：¨观下的数学概念学习’ｊ教学［Ｍ］．南京：江另：教育川饭礼，２００５：４６．【１８１易旦．莽于建构主义理论的数学概念教学模式研究【Ｄ】．广‘两：广两师范人学，２００６，（３）．４

西南大学硕士学位论文加以联结最终形成图式，并与其他图式建立联系，形成综合图式，是人们认知数学概念的一个心理过程。国外关于ＡＰＯＳ理论的研究主要从理论和应用层面展开综述。一是理论层面。从９０年代起，杜宾斯基等人大量进行了ＡＰＯＳ理论的应用与理论研究，该理论有明确的操作步骤，揭示了人们认知和建构数学概念，表明该理论是建构主义的一项具体的建构模型。二是实验应用层面。杜宾斯基等人做了关于运用ＡＰＯＳ理论进行函数概念教学的研究，还有包括离散数学概念问题，做了关于抽象代数问题方面的研究工作，同时还发表了很多篇有关ＡＰＯＳ理论运用的论文，通过对ＡＰＯＳ理论的介绍、实验、数据统计在大学课堂中进行了数学课堂概念教学的实践改革。ＡＰＯＳ理论很快被应用在高等数学的各门学科中，并得到了实验论证，其科学性得到了美国同行的肯定。除了美国，其他国家研究者也开始研究ＡＰＯＳ理论，例如加拿大的瑞纳运用了该理论检验数学实习教师，以色列的丽安娜把ＡＰＯＳ理论与其他理论结合起来运用，芬兰的瑞珀以及巴西和墨西哥许多学生的学术论文都有研究ＡＰＯＳ理论。由此我们看出，国外关于ＡＰＯＳ理论的研究在多个数学领域都得到了应用，例如运用ＡＰＯＳ理论进行传统教学和现代教学之间的差异性比较研究、分析影响学生学习高等数学的态度因素、评估学生对一些核心概念认知发展水平。但是，ＡＰＯＳ理论在中学阶段的数学领域目前几乎还是空缺。是这个理论本身不适于初中的数学概念教学，还是在初中数学概念教学中运用得不够完善呢？这是本研究将要探寻的内容。（２）国内关于ＡＰＯＳ理论的研究笔者以“ＡＰＯＳ＂为“主题”在知网（ＣＮＫＩ）的“中因期刊全文数据阼’’上对１９９４—２０１１年问的全部期刊文献进行跨库检索，匹配方式“模糊”，所搜到ｌ，Ｊ勺文献数量不多，共５８篇，那么与本研究相关的文献更是寥寥无几，共有２６篇文章，都集中在２００１年至今，２００１年前几乎没有类似的文章。研究者们主要从理论内涵（１０篇）和实践操作（１６篇）两个层面来探讨。理论内涵主要是对ＡＰＯＳ理论的内涵研究及其发展趋势（４篇）的研究，把ＡＰＯＳ理论看成一种教学模式（４篇）的研究，运用ＡＰＯＳ理论进行教学评价（２篇）的理论建构等；实践操作方面主要从教学设计（１１篇）、教学策略（４篇）、教学启示（３篇），其中１篇存在交叉研究。具体的研究方向如图２所示：导论矗Ｐｏ浮论研究方向分布鼙内；函及趋势瓣教，攀横式辩教学｛手价稿锹举设计ｍ教学启示瓣款攀，策略瓣薏受学繁略获扇示图２ＡＰＯＳ理论研究方问分布从图２中看出，ＡＰＯＳ理论作为教学设计的研究占到４２％，说明了ＡＰＯＳ理论为数学概念教学提供了理论依据，也为笔者将这些文章作为案例进行分析提供了材料。笔者以“ＡＰＯＳ＂为“主题”在ＣＮＫＩ上“中国优秀硕士学位论文全文数据库”和“中国博士学位论文全文数据库”对１９９９－２０］１年间的学位论文进行检索，匹配方式“模糊”，硕士论文共２８篇，博士论文共６篇，剔除与本研究无关的论文，硕士论文共２５篇，博士论文共４篇，合计２９篇。笔者对内容进行查阅，所谈内容与期刊内容大同小异。那么，笔者将其所发年代做出以下图示：Ｉ－２００３笨＿２０廿２：ｉ＃。ｍ２００５牢一２００６角巨麟２００７：￡＃“２００９年＿２０ｔｏ军●１２０１１年图３ＡＰＯＳ理论硕博论文年代分布从搜集到的文献数量上看，笔者发现硕博论文还是较少。由上图我们可以看出论文发表时间主要集中在２００７和２００９年，这或许与ＡＰＯＳ理论近年来才传入我国作为热点研究对象有关。ＡＰＯＳ理论是一个具有数学特色的教学理论和模型，有两个主要的应用：一是刻画学生学习数学概念的认知过程，二是基于前者的教学设计，但国外的应用主要在高等数学，特别是抽象代数，国内虽然有不少用于中学阶段的数学概念教学，但都比较牵强。随着时间的推移，ＡＰＯＳ理论在中学数学概念教学中的运用逐渐暴露其局限性，这也是本研究所探究的一个原因。笔者还就ＡＰＯＳ理论在我国各个学段的应用作了以下图示：西南大学硕士学位论文图４ＡＰＯＳ理论研究在个学段的分布由上图，按各个学段的分布情况可以看出，ＡＰＯＳ理论在大学阶段进行研究的比例居多，这是符合ＡＰＯＳ理论在美国高等数学教学中的运用情况，杜宾斯基曾到华东师大讲学，他说ＡＰＯＳ理论目前主要被用于大学阶段的高等数学的教学，其中特别是一些比较抽象的领域，如抽象代数中的一些概念，而在中小学阶段几乎没有相关的工作。其次ＡＰＯＳ理论被用于高中教学研究也较多，再是初中以及小学阶段的数学概念教学也用到了ＡＰＯＳ理论。笔者从数据统计中看出，ＡＰＯＳ理论在我国被用于中学数学概念教学占到５０％以上，说明ＡＰＯＳ理论模型主要被运用于中学阶段，而从ＡＰＯＳ理论的发源上看，它在我国尚属于推荐阶段，许多研究者及教师对这一个模型的理解不是很深，使用时尚心存疑虑。按照这一模型进行概念教学，多根据接收数学概念的４个思维发展阶段而用于教学设计，许多老师显得经验不足，对各个阶段及衔接过程把州不准。笔者还看到这一理论被当成教学方法、教学策略的文章层出不穷，研究彬‘们都是从ＡＰＯＳ理论的优势出发，很少全面关注ＡＰＯＳ理论被运用时的现状。基ｆ此，本研究着力从ＡＰＯＳ理论的运用现状出发对ＡＰＯＳ理论进行全面分析和探讨，揭示ＡＰＯＳ理论的运用情况，给一线教师更多理论和实践上的指导。综合文献资料与图示，笔者发现，ＡＪ）０Ｓ理论于９０年代介绍到我国的数学教育界，从目前研究状况来看，很多研究都停留于理论层面，实验和实证层面的研究缺乏。很多研究者或者结合心理学学科对ＡＰＯＳ珊沦进行理论层面的探讨，或者按ＡＰＯＳ理论四个阶段进行一些教学设计，宽泛地提出运用建议或心得，并没有系统地多、角度地对ＡＰＯＳ理论在我国具体运用中可能存在的问题进行探究。鉴于此，本研究讨论了运用该理论教学应注意的问题和相应的对策。（四）研究的意义１．理论意义本研究在一一定程度可以二ｌｔｆ苦ＡＰＯＳ珊论及数！学概念教学｜，Ｉ¨｜Ｉ火川！沦，为其他研究者提供一些参考；刺‘初中数学概念教学中ＡＩ，ＯＳ理论运用的现状、运用过程中Ｊ＾：生的问题与对策进行探究，有助于我们更深入消晰地认识人ｌ’０Ｓ川！沦，达到优化数导论学概念教学的目的；并且，本研究为后续研究提供一定的理论支撑。２．实践意义本研究在一定程度上为被研究学校的教师在数学概念教学中的困惑和存在的问题提供一些可行的建议，并希望研究结论能引起其他学校教师思想上的共鸣，使ＡＰＯＳ理论发挥最大的优势力量。（五）研究的思路与方法１．研究思路本研究基于前人对ＡＰＯＳ理论及数学概念教学的研究，对我国的中学数学概念教学进行调查研究。研究者试图在前人研究的基础上，进行课堂观察，分析ＡＰＯＳ理论对数学概念教学的指导，从中发现该理论指导教学对学生概念理解与掌握、甚至全面发展的利弊，使该理论的运用更加具有优化作用。本研究主要采用“收集和分析资料一确定问题一案例验证一思考问题和获得启发”的研究思路。首先，广泛查阅文献资料，分析ＡＰＯＳ理论产生背景、内容、在国内外教学的研究和运用现状，以此确定研究该理论是否具有理论价值；其次，以运用ＡＰＯＳ理论进行概念教学的文献资料为主，分析ＡＰＯＳ理论四个步骤在数学概念教学中的实施，发现教师在运用该理论进行实践操作时的现状情况，并对其产生的问题进行分析和提出相应的对策，从而确定本论文研究的对象；然后深入当地一所中学，选择该中学校了解和运用了该理论的三位教师，以函数概念教学为内容载体，与三位老师交谈，观察他们运用ＡＰＯＳ理论的四个步骤进行函数概念教学，记录和收集学生在教学过程中对函数概念的认知行为和接受程度，并以此验证本论文的研究正确性；最后，对ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的现状、问题进行学理上的分析研究，并提出切实可行的改进建议，使ＡＰＯＳ理论在初中数学概念教学中的运用更加完善。２．研究方法（１）文献法文献法是通过广泛收集、甄别、梳理和分析国内外与课题相关的文献资料，通过对资料的研究，最终整理出研究课题的理论根基的一种研究方法。笔者去图书馆借阅专著，上ＣＮＫＩ知网查阅期刊杂志以及学位论文，从而收集相关研究现状，进而整理分析，确定本研究的课题，找到研究的起点。（２）案例分析法本研究主要是通过搜集到的文献资料及教师的教学设计步骤及方案，对ＡＰＯＳ理论设计内容进行分析，去分析已有研究者对ＡＰＯＳ理论在实施教学过程中实施的西南大学硕士学位论文具体情况，从中找到实施过程中的促进作用和可能存在的一些问题。通过查阅文献，笔者发现很多论文是从教学设计的角度进行了数学概念教学研究，有很多关于运用ＡＰＯＳ理论的数学概念教学活动，因而笔者选取适合本研究的教学案例作为本研究的支撑点。（３）课堂观察法课堂观察的目的是为了较为详细地观察到三位老师在课堂教学中运用ＡＰＯＳ理论的真实情况和活动流程。本研究中，笔者制定了课堂观察表，按照表格的规范填写，以期资料的搜集与整理。笔者主要采用非参与型观察法，同时借助访谈提纲，与教师进行面谈，通过深入课堂教学，了解教师课前教学设计、课堂实施和课后研讨，从而作好相关记录，对ＡＰＯＳ理论的实际实施情况进行分析，发现ＡＰＯＳ理论实施在课堂实际操作中产生的一些问题，进而对这些问题提出切实可行的对策，达到解决问题的目的。在此笔者对课堂观察中的几点作出说明：其一，学校的选择笔者主要基于方便和最大信息量原则，选择四川宣汉的一所普通中学。笔者了解到该校的数学教研氛围比较浓厚，学校领导以及数学学科的骨干教师比较热衷于数学教研活动，所以笔者去该校收集数据会得到学校的支持，可以获得相对真实的数据。其二，研究班级的选择笔者曾在该校见习过，对该校数学教师采用教学模式的情况有一定的了解，该校有三位数学老师了解ＡＰＯＳ理论，他们进行数学概念教学时采用了这种教学模式。同时，笔者与三位老师的关系良好，他们非常欢迎笔者到所带班级听课和发放问卷，这样笔者秋取数据比较便利，且较为真实可靠。三位老师一共带有４个班级，共２０３人。其三，数学内容的选择因为ＡＰＯＳ理论具有极强的学科特色，它是专门针对概念学习的理论，而过程性的数学概念更宜作为研究内容。初中生对函数的认知、理解、掌握和运用都需要经历一个完整的过程，所以本研究采取函数概念作为研究的内容，选取的教材是人教版八年级一ｆ二册数学教科二８。其四，研究时段ＩｌＩ，Ｊ安排笔者将从２（）Ｊ２年】ｊＪＪ份进入该?一卜学校，根据函数的课时分配及教师实际上课情况进行为Ｊ９Ｊｌ撕删Ｊ乓４１了课ｎ勺课’ｉ抟删察。（４）问卷洲夼法本研究采川发放问卷，洲Ａ’学，Ｉ－×，Ｊ‘数。学概念认知和理解的真实情况，了解。学生对数学概念九勺需求。本研究随机选ｌ『义了该校学生，发放学生问卷２００份，回收有效样卷１９８份，回收率为９９％，具订研究｜１竹叮彳言性和有效性。

西南大学硕士学位论文单的知识回顾让原有的知识内存跟新知识整合，能形成新的认知结构，最终学生能理解和掌握函数这一概念。２．３位研究者都严格遵循了ＡＰＯＳ理论的四阶段模式进行教学设计，教学过程存在机械套用的问题。ＡＰＯＳ理论起先是从心理学的角度来分析学生获得数学概念的一般规律，对课堂教学设计有指导意义。但是，在教学实践中每个学生的原有认知基础、活动或游戏的选择等都是具有灵活性的，若照搬套用就会使操作过程显得牵强附和。３．ＡＰＯＳ理论的四阶段教学模式在具体实施过程中，各个阶段学生对函数概念的理解可能会出现一些问题。那么，研究者及早意识到这些问题，并应分析找出解决问题的方案。比如说，３个教学案例的活动阶段，学生可能混淆活动情境中的自变量Ｘ和函数值；对于有些用字母表示的常量，学生很难顺利理解它们跟变量的区别。对于第３位研究者设计的大量活动或游戏，学生在操作过程中往往仅限于机械模仿，没有认真地去思考活动的真实意图，进而自发性地形成函数概念；我们说函数概念是具体函数概念的一般性表述，那么在过程阶段学生可能会用具体函数概念去代替函数概念；函数概念存在于学生的头脑意识浅淡、心理表象比较单一；识别不了同一函数的不同表现形式，对函数的抽象符号ｙ＝ｆ（Ｘ）的理解不精细；学生在解题过程中可能不会灵活运用函数概念等。研究者只有意识到这ｊ塑问题的存在才能精心设计出多样化的教学活动，学生才会真正获得函数概念。４．从上述３个案例中发现，３位研究者有侧重启发学生思维函数概念的形成过程，也有侧重通过不断的活动让学生自我建构函数概念。但笔者认为不管是侧重哪一方面，学生都很难在一节课达到理想中的图式阶段，这需要学生在课后不断地运用和巩固函数知识，与其他相关知识的重复衔接，加深学生对函数概念的认知。总之，从数学学习的心理角度分析，以上３个教！学案例的四个学习阶段是有一定依据的，它真实地反应了学习者学习和理解数学概念过程中的思维活动和心理变化。活动阶段是学习者初步了解概念的必要条件，通过亲身体验实例情境，直观的感受背景与概念之间的联系；在过程阶段，教育者通过活动或操作引导学习者进行思考，在大脑中描述和反思活动或操作，经过思维内化和概况，抽离出数学概念所具有的属性和特征；接下来在列’象阶段中，学习者通过在过程阶段对概念得到的抽象，对概念的本质特性有了ｎ观而深刻的认识，对其压缩并用适当的语言、数字或图形符号给予形式化的表达，仗其精致简约，成为思维?＋ｐ的具体对象，在以后的数学学习中引用这个对缘去进行新的活动；只有经过ｌ受期的数学学习，彳‘能在脑海中由初期的包含反映概念的特征、抽象过程、定义及符号的图一、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的案例式深化为与其他数学概念、规则、图形相关联的后期图式，并最终形成综合的心理图式即庞大而完善的数学知识体系网。ＡＰＯＳ理论所构筑的这四个阶段相辅相成，循序渐进，缺一不可，一般不能逾越进行，同时又不能只停留在数学概念实例的具体、直观、视觉化过程，必须在思维上有质的飞跃，逐级抽象概念的本质，不断完善概念的形式化定义，直至数学概念认知的整体结构的建立。２１二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录这一部分笔者主要围绕课堂实录来展开，不论是教师访谈、学生问卷都穿插于课堂教学之中，主要通过教学的三个方面来求证ＡＰＯＳ理论在函数概念教学中的运用情况，即教师、学生和教学过程三个维度。首先是笔者与教师的面谈，从教师的课前设计、课堂展现及课后反思与研讨三个线性过程来分析教师运用ＡＰＯＳ理论进行函数概念教学的。其次是针对学生在课堂上的表现，结合学生掌握数学概念的心理特点以及ＡＰＯＳ理论对概念教学的指导，发现他们在认知、理解、掌握和运用概念方面的真实情况；同时笔者通过发放问卷，了解学生对数学概念的学习需求，希望老师怎样教学使学生更易接受，从而为后面的研究提炼出恰当的数学概念教学对策。最后是教学过程层面的分析，教学过程实际上是教师的教与学生的学的一种相互促进和影响的一个过程，笔者通过课堂观察记录的四个。因此，本研究笔者做了教师访谈提纲，依据ＡＰＯＳ理论制定了相关的课堂观察表，观察教师和学生在函数教学课堂中的实状，并发放学生调查问卷，找机会与学生进行非正式的交流与谈话，了解学生的学习情况。通过这三个方面寻求ＡＰＯＳ理论在初中函数概念中运用会存在的一些问题，进而为推广ＡＰＯＳ理论在整个初中数学概念中运用时寻找策略。（一）教师层面ＡＰＯＳ理论是上世纪８０年代由美国数学教育家杜宾斯基带领发起的，９０年代起，该理论才被介绍到我国的数学教育界，这个模型在我国尚属于推荐阶段，许多研究都是按照ＡＰＯＳ理论提供的四个阶段进行了一些教学设计的研究案例，并宽泛的提出了一些运用的心得和建议。本研究是探索性的现状调查与对策研究，笔者选取学校的一线教师认识和运用该理论的并不多，所以笔者选择了该校３位数学教师，样本数量不是很多，这些教师均为中高级教师，如果按照教龄排序他们分别是刘老师、隆老师和白老师。他们都发表了数学教学模式探讨的相关论文，对ＡＰＯＳ理论都有一定的了解，并在概念教学实际中自觉不自觉地运用到了ＡＰＯＳ理论，所以笔者选择了这３位教师。那么，笔者研究这３位老师主要是通过访谈的形式进行的。该访谈提纲是经笔者参考了多篇硕士论文自行编制而成，一共８道题，主要从课前设计（１－２题）、课堂展现（３—６题）和课后反思与研讨（７—８题）三个维度编制。经参考的硕士论文分别有２００３年１０月福建师范大学郑秀云的ｇＡＰＯＳ理论指导下的高中数学概念教学》、２００６年５月华中师范大学兰冲的《ＡＰＯＳ理论下的西南大学硕士学位论文函数概念认知及教学启示》、２００７年４月华中师范大学吴杰的《新课程下函数概念及其教学探讨》、２００７年４月广西师范大学周士民的《基于ＡＰＯＳ理论的高中函数教学研究》、２００９年４月浙江师范大学徐玉蓉的《中学生函数理解水平的调查与研究》和２０１２年３月华东师范大学徐晓燕的《运用ＡＰＯＳ理论优化初中数学概念教学的实践研究》。笔者对教师教学的课前设计、课堂上的教学行为，以及教师在课后的一个反思和研讨意识和方式进行了面对面的访谈。１．课前设计教学设计是一个系统地规划教学程序的过程，包括了教师教课之前对整个教学流程的构思与设想，也含有教师教案的编写，是教师完成教学任务的必要环节。课前设计的访谈主要有２个问题，并且３位老师就问题分别做出了相应的回答。提问１．首先，请问您这节课的教学目的是什么？这节课的重、难点是什么？刘：认识常量和变量，了解函数的三种表达式；理解函数的概念，研究和探讨函数的变化规律；逐步学会识别哪些是函数，哪些不是函数：根据实际生活中的情景列出函数的表达式。重点是感受变化过程中存在的函数关系。难点是函数概念的过程性理解。隆：了解常量和变量，学会用一个含变量的代数式表示另一个含变量的代数式；经历观察、分析、回答思考等数学活动过程，发展合情推理、有条理地、清晰地闹述自己的观点；逐渐感知变量之问的关系；积极参。ｊ数学活动，对数学产生好奇心和求知欲：逐步养成独立思考的学习习惯。重点足用－弋了表示变量之问的关系。难点足用龠仃一个变量的武予表示另一个含变量的式子。白：了解常量和变量的概念，学会区别常量和变量；让学生参与变量的发现和函数概念形成的过程：培养良好的变化与对应意识，休会数形结合的数学思想。重点是函数概念的形成过程。难点是正确理解函数的概念。通过３位老师对于这个问题的回答，他们都捉到了常量、变量和函数三个关键词，强调生活实例对于函数教学引入的重要性。李老师重点在于知识的教授，缺乏对学生能力及情感培养的考虑，隆老师和白老师除了对函数的相关概念做了强调，更多时候是让学生参与到概念形成过程当中，让学生在过程中理解概念、掌握概念、运用概念，掌握学习方法，体现了以学生为主体的教学意识和理念。

二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录提问２．课前您对于这节课是如何设计的？怎么考虑这样的设计的呢？刘：首先进行知识的回顾与梳理，常量与变量的概念，给出函数的概念，以及函数关系的表达方式；其次进行实例引入（此时有充分的师生互动）；再次是巩固概念和表达方式，并进行相应的课堂活动：最后教师总结今天的课堂内容，进行心得体会并且布置作业。按照“总一分一总”的设计思路，给学生一种“呈现概念一分解概念一再识概念”的心理感受。隆：首先提出问题，创设情境：其次导入新课（两个课堂活动）；再次是进行随堂练习；最后教师引导学生进行小结，并布置作业和课后的探究活动。回答引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律，提醒学生可以应用有关公式来帮助解决问题。白：首先是提出问题，导入新课（一个简单的生活实例）；其次是师生互动，探究新知（常量、变量、自变量、因变量、函数）；再次是归纳总结，情意发展（通过本节课的学习，你有什么样的收获？）；最后是布置作业。将ＡＰＯＳ理论的四个阶段与函数概念灵活结合。通过上述问题及回答，可以看Ｎ３位老师的教学设计各有千秋，李老师根据自己的教学风格加强了学生对函数概念的认识和理解；隆老师按照常规教学让学生逐步感受函数概念形成的过程；白老师着重发展了学生的情感态度，按照ＡＰＯＳ理论的指导解剖函数概念，符合学生心理认知规律。总之，回答显示，从教师个人教学理念上看，在备课时他们大都会考虑学生的实际情况，并尽量采用了生活当中的很多实际例子，围绕主题知识点，讲清楚了变量与函数的概念。２．课堂展现课堂上的展现是真正意义上的教学过程，是教学形态的真实表现。通过课堂展现教师课前设计是否完全实现，哪些地方设计的较好，哪些设计是不能满足实际情形的，课堂展现为教师以后进行的教学设计提供了不断完善的平台。那么，在这一节内容中，笔者设计了４道题进行访谈，通过笔者观察的课堂实录严谨地、不带感情色彩地询问老师们回顾自身教学理念与真实课堂的微妙差别。提问３．我注意到您使用ＡＰＯＳ理论进行函数概念教学，您是如何确定使用这种理论的？刘：ＡＰＯＳ理论是一种反映学生掌握概念的心理学习过程，而我本身的教学习惯也是让学生在不断地重复的学习活动和思考中认识概念、了解概念、掌握概念和运用概念。所以，这种理论的教学模式与我的教学习惯性相契合，我就运用ＡＰＯＳ理论来服务我的教学工作。隆：ＡＰＯＳ理论是一种专门解决概念教学的教学理论模式，帮助教师认识学生学习的心理特征和学习过程，帮助学生形象、具体、深化概念认知，所以这种理论有待去尝试和运用。回答白；ＡＰＯＳ理论准确而普遍地总结了学生学习新概念的心理特征和过程，将这种理论灵活地加以运用符合教师的教和学生的学的学习规律。所以，我在教学概念时常采用这种理论加以指导。由上面的表述说明，３位老师对ＡＰＯＳ理论是有了解的，它是可以在一定程度上提供给数学概念教学以参考，能帮助老师进行设计教学流程，流程中根据学生的认知特点设计不同程度的活动，而且３位老师根据具体的班级情况灵活地采用了这西南大学硕士学位论文种理论指导概念教学，没有完全照搬ＡＰＯＳ理论的四阶段进行设计教学过程。提问４．请问您对此概念是怎样理解的？您感觉它对整个章节有什么样的地位和作用？刘：函数描述的是一种变化规律，它是指一个变量随着另一个变量的变化而变化。两个变量必有一个自变量，一个因变量。因变量就叫做自变量的函数（ｆｕｎｃｔｉｏｎ）。函数有很多个，无穷多，所以它是统领具体函数的，它具有一般性质。回答隆：如果将两个变量分别用ｘ、．），表示，对于ｘ的每一个值，．ｙ都有唯一的值与之对应，我们就说ｘ是自变量，ｙ是因变量，也称Ｙ是ｘ的函数。它是一个上位概念，是特殊变量关系的一个一般概念，包容性更强，更具有内容的广泛性。白：判断函数要找到两个变量ｘ和Ｙ，一个是主动变化的量ｘ，另一个则是被动变化的量Ｙ，那么这个被动变化的量Ｙ就叫做主动变化的量ｘ的函数。统领全体函数，它对具体函数，如一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数等进行了总括，也可以通过这些具体函数更加深刻地理解和认知函数的概念。一个好的老师有“先知”才能更好地为学生“传道、授业、解惑”，从访谈记录中看出教师对函数的概念各有理解，但是函数的实质是相同的，同时对于函数的地位和作用的看法则是大同小异的。因此，他们根据各自的理解进行设计概念教学的引入，创设情境，精心设计一些概念的实际情景帮助学生理解概念，在意识中尽量让学生经历概念的发生过程，并注重学生思维能力的培养，对每个概念的地位和作用很清楚。提问５．注意到您对四个步骤这样处理之后，学生出现了这样的反应，你是怎么考虑的？刘：根据学生的心理特点安排教学活动，符合学生掌握函数概念的学习规律，有助于帮助学生史好地理解概念。隆：ＡＰＯＳ理论是反映学生学习数学概念过程的一种教学模式，它具有一种普遍性，在每一个步回答骤或者说是阶段，安排精彩合理的学习活动是有助于学生更快地理解函数概念的。白：对ＡＰＯＳ理论进行函数概念教学时，和讲授法结合，能让学生在惊奇中恍然大悟，把函数概念理解得更加深刻和透彻，符合学生学习概念的心理过程和规律，就能将新知掌握并牢记，这是老师的期望，出足家长和学生的）｛：Ｊ】待。这是笔者听完老师讲课之后对老师进行的追问，反映了老师对课堂突发事件的处理态度和教学机智。记录显示在学生理解概念后，教师能够进行积极评价，在学生不理解概念时能耐心的重复讲解。但在判断学生是否理解概念的判断上，教师主要是通过学生的表情和是否会做题目来判断，缺乏一定的科学检测的方法和依据，对学生学习过程中的侥幸或机械模仿难以做出准确的判断。提问６．我注意到对于学生的回答，您是这样处理的。您为什么要这样做呢？刘：提问—｝１ｉ断０Ｉ导—｝学生Ｉ兰Ｉ已找到答案—｝学生白行总结—＞教师归纳板－ＩＳ。这样才会训：学生了俐概念的）ｋ龙去脉，旧付出能培养他们逻辑性地思考数学问题。隆：列于倾期的答案我一般会及时地肖定和鼓励，这样能给学生很人的｜兰Ｉ信。列于疑问，～馓小同答直接给…答案，我叫‘能会反问，小断去引导学生自己找到答案，这样能训动学生积极思考。白：首先足给与学生一定的肯定，表示他们确实足经过心考得到的符案，这样他们才会史加积极主动地吲答老师提…的问题：其次就足４ｉ断地呈现事实，并追问，让他们卅ｉ断去顺应和Ｊ刚七新知。２６二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录记录显示，３位老师都特别注重对学生进行引导、追问和鼓励，尽力让学生自己找到问题的答案，这样有助于学生从他们自己的认知角度理解概念，这样的概念才会更加深刻，同时也为下一节课的讲授打下了坚实的基础，可能下面的课程内容学生学起来较轻松，掌握起来会容易很多。３．课后反思与研讨一堂好的课是教师不断凝炼、不断反思出来的，那么，一位好的老师也必是通过课后不断地反思与研讨锻炼出来的。课后反思与研讨是新课程理念下对教师提出的要求，不但可以让老师看到自己教学的过人之处，也可以让他们认清自己教学存在的劣势之处，与其他教师取长补短。因此，课后反思与研讨是打造优质课程的必要条件。笔者在这一部分内容中设计了２道题目，可以看到３位老师自我评价，还有对新课的一些期许。提问７．您对这节课的教学效果评价如何？哪些方面处理得比较好？如果存在不足，又体现在哪些方面呢？刘：如果要给自己打分，可以是８０分，还有２０分是需要学生在课后去完善的，我认为在引导学生独立思考方面处理得较好。这种教学理论可能需要灵活去运用，进而照顾到全班同学。回答隆：个人觉得完成了课表所规定的教学任务和要求，并交给了学生很多的学习方法，如自主探索、合作探讨等。我觉得在引导学生积极思考方面做得较好，课堂活动的组织方面处理得也较好。不，足的地方就是函数的概念没有明确地板书，只是让学生自己总结了一下，很多时候学生需要一个很好的统领者。。白：尽自己最大的力量创新地完成了教学任务，学生基本掌握了函数概念。我觉得做得较好的是学生愿意跟随老师一起思考，一起体验函数概念的形成过程，自行地掌握到学习概念的方法。不足之处在于情境创设的案例很多是教材上面的。从上面的回答中看出老师对上课情况的自我评价，“金无足赤，人无完人”，课堂的大致情况是好的，是优质的，但也存在一些不足之处。比如顾此失彼，教师总结与整合能力的展现，以及活动或游戏的多样性求证。提问８．如果现在让您重新来上这节课，您有什么新的想法吗？刘：照顾全班学生，并挑选一些更加生动活泼的实际情景，使学生更加形象地理解函数这一概念。回答隆：加强巩固一个新的概念，并在课堂上检测学生是否真正掌握了概念。白：教学过程还是会遵循上一节课的，只是案例的选取有需要更多生活中的实际案例，根据学生的课堂表现，来活跃课堂气氛。从上面的访谈记录中，笔者看Ｎ３位教师针对自己上节课堂存在的问题提出了相应的期望，刘老师着重认为不能再顾此失彼，隆老师认为要更好地统整与总结，白老师认为例题的选择要丰富新颖。总之，他们都认为概念教学的关键是提供学生熟悉的情境、学生积极主动的参与探索、提供与概念有关的实物模型，以及教师透彻的讲解。西南大学硕士学位论文（二）学生层面这一节内容是笔者从学生的角度看待ＡＰＯＳ理论在初中函数概念教学中运用的基本情况，通过课堂观察记录了学生在教师指引下的反应，然后通过发放学生问卷，调查他们对数学概念的需求。一个新概念的学习，需要学生对其初步认识，融入自身的认知结构，感知概念的存在；还要不断重复的活动情形来辅助学生对概念的理解，这个概念是怎么定义的，它与数学现实的联系是怎样的；只有理解了概念，理解了概念的数学现实模型，才会慢慢地掌握概念的内在实质；掌握了一个概念，还要用它来解决实际问题，为学生的需要作服务，只有经过数学概念的外延与内涵不断相互磨合，才能真正纳入学生的认知结构中。本研究所采用的教材是“经全国中小学教材审定委员会２００３年初审通过，义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（上册）”，由课程教材研究所和中学数学课程教材研究开发中心编著，人民教育出版社出版的，教学内容是“１１．１变量与函数”，课时为５课时，一共３节内容，１１．１．１变量、１１．１．２函数、１１．１．３函数的图像。本研究的以下内容分为两个小节，第一节是通过课堂观察授课的板一｜５及其师生互动情况，再现学生对函数概念获得的真实情况，并分析他们对函数概念认知、理解、掌握和运用情况；第二节是发放、收集、整理和分析学生问卷，掌握学生对数学概念的需求和期望。１．课堂上学生的反馈（１）刘老师的课堂１１．１变量、函数１．变量与常量在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。例题（１）、（２）、（３）。评（笔者）：一直足刘老帅相ｊ讲解，浆本上没有多少问题，偶有问题也足口问Ｉｊ答形式。每讲完一个概念，刘老师都俞进行简叩．的总结。：＿住讲解函数的定义时，刘老！Ｊｉｌｊ逐‘≯逐ｔＵ进行ｒ棚对义’，定义简单易懂的解释，然后化同到－Ｊ二述的３个例题中找ｆｊｊ“函数”；根据函数的概念，刘老师举出生活中“医院的心电图”例予，进行了讲解。然而，刘老师讲解练习题时，笔者感觉到练习得偏快，且题目偏难，如求函２．函数的定义设在一个变化过程中，有两个变量Ｘ、Ｙ，对于Ｘ的每一个确定的值，ｙ都有唯一确定的值与之对应。那么，我们就说Ｙ是Ｘ的函数，其中ｚ是自变量。３．随堂练习４．作业收集生活中的变量，并试着找到函数关系。数Ｊ，２丽Ｘ的自变量ｘ的取值范围?通过课堂观察，刘老师首先画出同气温变化图、高尔夫）求的轨迹和水中的波纹三个例题的表格，从而引出变量和常量的定义，汉Ｉ］“在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。”那么，笔者从课镦实况中发现，这些例题设计固然很好，但是一直是老师在讲解，很少提问学生，偶有问题办是白问自答。最后，刘老师进行了一个简单的概念总结。二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录认知是一项包含感觉、知觉、记忆和思维等心理现象的对外界事物进行信息加工过程的感知。吕林海认为“数学理解的认知建构观的核心思想主要体现在：第一，数学理解的本质是数学知识的结构化、网络化和联系丰富化；第二，数学理解的特征是生成性和发展性；第三，数学理解的形成机制是重新组织；第四，数学理解的形成条件是自主活动Ｈ９１。掌握是指能够理解学习材料的内涵和意义，运用是指学生将储备的知识付诸于实践中。笔者认为，刘老师的课堂没有实现新课标的教学理念，仍是以教师的讲授为主，不过这也是中学数学教学的一个普遍现象，是由数学课的性质所决定的。如果从认知、理解、掌握和运用概念这四个方面来看学生对函数概念的认识水平的话，学生没有认清函数概念的本质，对函数概念的理解还不到位，刘老师在后面进行了大量的随堂练习，学生可能机械性地掌握了函数的外延，而在运用方面还需要学生课后进行复习刘老师在课上的讲解。（２）隆老师的课堂ｎ．１变量ｓ函数隆老师先进行开场白：我们生活在一个不断运动变化的世评（笔者）：隆老师的课堂气氛很活跃，老师提的问界中，然后举生活中的实例、教材上的例题，如路程问题题很多，很多是集体回答的问题，学生回答问题也５＝ｖｔ?一、变量、常量的概念（教材中的定义）很积极主动。隆老师每讲完一个概念，就及时用通在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变俗易懂的举例去解释概念。笔者认为隆老师做得非量，数值始终不变的量称为常量。（就开场白的问常好的地方是说明部分和对函数的理解部分。题，教师让学生相互讨论并试做３个问题）（１）填表：（２）以上过程中，变量是（），常量是（）；说明构成函数的对应：一对一，多对一。（３）试用含ｒ的式子表示ｓ。对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：二、函数的定义（１）（２）（３）（４）。设在一个变化过程中，有两个变量ｘ、ｙ，对三、随堂练习于ｘ的每一个确定的值，ｙ都有唯一确定的值与之四、小结及作业对应。那么，我们就说Ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量。【活动一、活动二】通过隆老师的课堂，笔者发现这位老师的语言组织精炼，声音洪亮，很快地带动学生进行数学概念的学习。课堂上，隆老师举了很多的实例，但是很少进行习题的演练，这也正是隆老师上课巧妙的地方，因为经过上面４条函数理解，解题是轻而易举的。笔者认为，学生在隆老师的课堂上对函数的认知和理解比起刘老师都有一定的提升。因为隆老师不太注重习题的练习，所以学生可能在应用方面稍欠能力了。（３）白老师的课堂白老师认为，对函数的全面认识和理解，必须要学习函数的图像，因此白老【４９】吕林海．数学理解之面面观【Ｊ】．中学数学教学参考，２００３（１２）：１．４

西南大学硕士学位论文师在讲解这一节内容时用了２个课时，首先是１１．１．１、１１．１．２变量和函数的内容，其次是１１．１．３函数图像的内容，以下是将两节课的内容整合在一起的。１１．１变量和函数１．自老师：“人不能两次踏入同一条河流”。运用一个哲学问题来引入新课，同时借助了数学史运动变化的量—÷变量的知识引导学生思考。（１）如果弹簧原长ｌＯｃｍ，每ｌｋｇ重物使弹簧伸长３个生活实例的导入。０．５ｃｍ，怎样用含重物质量ｍ（ｋｇ）的式子表示受力学生回答：（１）Ｚ＝１０＋Ｏ．５后弹簧的长度Ｉ（ｃⅢ）？（２）怎样用含圆半径ｒ的式子表示圆面积ｓ？（２）Ｓ＝／ｃｒ‘（３）用ｌｏｒｅ长的绳子围成长方形。设长方形的长为（３）ｓ＝ｘ（５一ｘ）ｘｍ，面积为Ｓｍ‘，怎样用含ｘ的式子表示Ｓ？２．常量、变量的概念小纽合作讨论在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。老师问：上述３个问题中，哪些是变量？哪些是常量？３．自变量、函数的概念反思前面的例题，分别在例子中找出自变量和函数。ｔｌ２３４……Ｓ６０１２０１８０２４０……Ｉ设在一个变化过程中，有两个变量ｚ、ｙ，对于ｘ的每一个确定的值，ｙ都有唯一确定的值与之对应。那么，我们就说．），是Ｘ的函数，其中Ｘ是自变量。这里的活动更多，白老师为学生准备了纸质的平１：扛ｉ４．函数的图象白老师：正方形的边长为ｘ与面积ｓ的函数关系为直角坐标系，方便学生作图。Ｓ＝ｘ２，你们能想到更直观地表示ｓ与ｘ关系的方法吗？此时，白老师要求学生们在平面直角坐标系中画出５．例题讲解这个函数的图像，并找到运用代数方法求解的ｂ的己知点Ａ（３，ｂ）在函数ｙ＝２ｘ－４的图像上，求ｂ的值。值。此时，点Ａ在图像上所对应的何处？同时，臼６．老师总结及作业老师借此讲解列表法，顺次在坐标系中描点，至少画出这些函数的图像：Ｙ＝ｘ＋０．５，Ｙ＝－－Ｘ２，…“五点”。我们可以看到，白老师的课堂显得非常的丰富和充实，该老师很注重引导学生自己去发现、归纳和总结规律。白老师结合前面所学的平面直角坐标系知识引入新知识，让学生们相互讨论，参与探究与学习环节。因此，笔者认为，白老师的课堂让学生在认知、理解、掌握和运用函数概念方面都得到了发展。２．学生对数学概念教学的需求情况函数概念属于数学概念的范畴，函数概念是数学学习中的一个重要的概念，也是数学概念中的核心概念，研究学生对数！学概念ｉ，ｆ勺认知需求，也是学生对函数概念认知的渴望。冈此，笔者在本研究中采取发放学（！Ｊｉ问卷，根据他们回答问题的情况，了解他们对数学概念教学的需求，希望教师提供的教学方式方法，梳理出他们对于数学概念学习感到困难的原因，最终提炼适当的概念教学课堂教学刈‘策。３０二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录由于本研究所需的学生问卷调查与文献资料中的问卷有共通之处，所以笔者采用的学生问卷是２０１２年３月华东师范大学徐晓燕的学生问卷。该学生问卷采用了李克特量表形式，学生的回答分为３种类别：“不同意”、“说不清楚”和“同意”。笔者根据研究需要对全校学生进行了随机发放问卷，一共发放了２００份问卷，收回１９８份有效样卷，回收率为９９％，具有研究的可行性和有效性。该问卷提纲是调查学生对教师授完课的一个心理感受，一共设计了３０道问题，主要从５个维度来进行设计问题，这５个维度分别是关于概念背景知识、关于学生的学习兴趣、关于教师的教学方式方法、关于概念的内涵与外延和关于学生自身评价对数学概念理解的影响，通过对这５个维度的调查来了解学生对数学概念教学的需求情况。以下是笔者将每个维度的调查情况进行呈现，然后一一作了简要的分析。（１）关于概念背景知识的调查在整个数学结构和体系中，处处体现着数学家的发现和研究的智慧，概念的产生、形成过程、作用、数学家的精神品质等都是数学概念的背景知识。１．我愿意了解概念产生的背景，这对我理解概念有帮助。３．如果新概念和学过的概念有联系，可以加深我对概念的理解。概念的理解。不同意Ｉ说不清楚ｌ同意２．２０％Ｉ１３．９０９６Ｉ８３．９０９６数据显示，学生对概念产生的背景、概念的作用和概念与相关概念的联系分别占到７５．６％、８３．９％和８０．７％，也就表示学生若知道和了解数学概念产生的背景、概念的作用，以及这个概念跟学习过的概念有关联时，就有利于学生对这个概念的理解。由前面的教师访谈，很难看出教师设计了有关函数概念的背景知识及产生渊源，在这里学生提出了相应的需求，这也是学生感兴趣的。数学中的很多概念，都有着最初的原始状态，由于要进行理论的完善和解决更加复杂的问题，人们就对原始概念进行扩充与推广才形成今天较为精确的概念。在讲授新概念的之前，让学生对概念的背景知识有所了解，并模拟数学家的创造活动，在做的过程中学习数学概念，有利于锻炼与启发学生的思维能力和想象能力。（２）关于学生学习兴趣的调查兴趣是个体认知和研究获得知识的一种心理倾向，是学生学习的内在动力，如果学生对某物感兴趣就会专心致志地去钻研，从而提高学习效果。西南大学硕士学位论文４．学习新概念时，我总是很兴奋。７．直接给出一个新概念的定义，我很快理解它。不同意说不清楚同意不同意说不清楚同意１５．７０％５２．２０％３２．１０％３４．３０％４４．２０％２１．５０％５．用有趣的故事引入概念我更愿意去理解它。８．不管概念有多难，我总要想方设法弄明白。同意说不清楚同意不同意说不清楚同意４．３０％２２．３０％７３．４０％２０．２０％４３．６０％３６．２０％６．和生活实际相联系时，我也更愿意去理解它。不同意说不清楚同意５．３０％２０．６０％７４．１０％数据显示，第５、６题的比例是７３．４％和７４．１％，表明学生比较喜欢教师能用生动的故事或者这个概念与实际生活紧密联系时，学生的兴趣更大，更愿意去理解它：但若是教师直接给出概念的定义，学生的认同度较低。而且当学生学习一个新概念的时候，一开始学生并不是很感兴趣。通过上面学生对问题的回答，以及笔者与学生的交谈发现，在进行数学概念教学时，有的学生感到枯燥乏味，希望老师课堂上减少习题的演练，重视对概念形成于发生发展过程。因此，学生的学习兴趣是理解概念的重要原因，教师在教学时更应注意引入学生感兴趣盼话题来（３）关于教师教学方式方法的调查教师的教学方式方法是师生为了实现共同的教学目的，完成共同的教学任务，９．如果老师讲得清晰透彻，我就能理解概念。１３．我喜欢老师提问题，自己去发现归纳概念。不同意说１ｉ清楚Ｈ愆不同意说不清楚同意２．３０％１７．３０％８０．ｄ０％２２．５０％４９．００％２８．５０％１０．如果和同学讨论，我就能更好地理解概念。１４．用多媒体讲解概念，我觉得很好理解。不同意说不清楚同意不同意说彳ｉ清楚Ｊ司意９．１０％３４．４０％５６．５０％１９．１０％３８．２０％４２．７０％１１．我喜欢自己去发现一个新概念的定义，这有１５．有些概念老师没必要讲太多，我很容易就理助于我对概念的理解。解了它。不同意说０ｉ精楚同意不川意说爿ｉ清楚同意１８．９０％４９．２０％３１．９（髓２９．６０％４３．１（）％２７．３０％１２．老师提…的问题富有启发性，我会积檄心芍并去理解它。／ｆｉＭ意说４ｉ清楚川懑５．２０％３６．２０％５８．６０％展开。在教学过程中运用的手段和方式的总称。二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录数据显示，在数学概念教学中，学生希望老师讲解清楚和老师提带有启发性问题的比例占了８０．４％和５８．６％，与同学间的相互讨论的比例占５６．５％，这样能更好地理解数学概念。而并非想象中的那样，学生都喜欢自己去探究，自己归纳概念，大多数学生还是习惯于教师讲，学生听的讲授式教学，从上面学生在问卷中的回答可见一斑。教师在进行概念教学时恰当的教学方式方法能够让学生在一节课中获得大量的数学知识，激发学生的数学学习兴趣。（４）关于概念内涵和外延的调查概念的含义是概念的内涵，它反映了事物的本质属性，，而概念所适用的范围就是概念的外延。１６．讲解概念时，如果举出很多的例子，我就能理解。１８．适当的反例会有助于我对概念的理解。１，７?老师举的例子太多了，反而把我都搞糊涂１９．把正例和反例放一起时，我就不理解了。不同意Ｉ说不清楚ｌ同意不同意Ｉ说不清楚ｌ同意４１．３０９６ｌ３６．１０９６Ｉ２２．６０９６５４．１０９６ｌ３０．１０９６ｌ１５．８０％数据显示，适当的反例会帮助学生更好地理解概念，比例占６４．０％，说明在数学概念教学过程中，学生还是希望老师能举一些正例和反例帮助他们理解概念，同时又不希望举出的实例太多，要掌握到一个恰好的度。因此，笔者认为对于数学概念的应用，教师的语言组织和活动安排应尽量让实例的跳跃性不能太大，加强实例的层次性。（５）关于学生自我评价的调查学生对概念理解与否的自我评价，是学生自我意识的一种表现形式。２０．当我给同学讲一个概念时，我觉得自己理解２６．当我找到了新概念和旧的概念的联系和区了。别时，我认为自己理解的很深刻。９．如果老师讲得清晰透彻，我就能理解概念。２７．当我意识到重要的概念还是一种解题方法，我会感觉到自己理解得很透。２２．我用自己的话叙述概念，有助于我的理解。２８．当我理解概念，我觉得自己适合学习数学。西南大学硕士学位论文２３．只要我把课本上的习题做对了，我觉得自己理解了概念。２９．学习概念的过程中，我会经常反思自己的学习方法。２４．考试中的概念题我做对了，我才会觉得理解了它。３０．当我理解了概念后，我就对自己学好数学充满了信心。没能正确的理解概念。不同意３６．３０％ｌＩ说不清楚３６．６００／，ｌＩ同意２７．１０％数据显示，很多学生认为，如果能够自己进行重新叙述语言时会有助于对概念的理解，比例占６２．７％；学生认为将自己掌握的概念讲解给其他同学，举出课本以外的例子，找到了新旧概念之间的区别时，学生就认为自己理解了概念的认同度基本为５４．５％、５６．３％和５５．７％，而当他会做课本中的习题或者考试中的习题时，他并不认为它理解了概念，认同度只有２４．３％并１：１３５．６％；而自己对概念是否理解与老师的评价的关系并不明确，“不同意＂、“说不清楚”共计７２．９％；当学生真正理解了概念，他会对学习数学概念更感兴趣和更有信心，分别占６３．４％、５５．６％；而学生并没有按老师的希望去反思自身的学习方法。笔者认为，学生希望教师能给以他们更多与同学讨论的机会，真正理解和掌握了数学概念，才会对以后的学习更有兴趣和充满自信心。（三）教学过程层面教学过程是教师的教与学生的学在课堂上呈现的一利，交互关系，ＡＰＯＳ理论是一个具有数学特色的教学理论和模型，有两个主要的应用：一。是刻画学生学习数学概念的认知过程，二是基于前者的教学设计。基于此，笔者通过课堂观察记录了解到３位老师的课堂教学流程，了解到３位老师在概念教学中是如何运用ＡＰＯＳ理论进行指导教学的。笔者依据初中《课标》、已有文献对ＡＰＯＳ理论指导下的函数概念教学各个阶段或建构层次的目标的分析及研究，初步建构出ＡＰＯＳ理论指导下各个阶段在概念教学中需要达成的目标，如下表所示：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q7s.html