一种基于张量列式的高性能平面4节点杂交_混合单元

文章编号:0258 2724(2000)01 0072 05

一种基于张量列式的高性能平面4节点

杂交/混合单元

杨 帆, 王 王君, 陈大鹏

(西南交通大学工程科学研究院,四川成都610031)

摘 要:采用张量形式,从Hellinger Reissner 变分原理出发,建立一种列式杂交/混合有限单元的有效方法。该

方法利用了张量的不变性,剔除了坐标系转换的影响,通过应力参数与独立变形模式一一对应的方法,选择并优

化应力场,由此建立高性能的杂交/混合单元。据此方法,建立了一个4节点杂交/混合单元。数值算例表明,该

单元具有不变性、普适性、不含零能模式,性能优良。

关键词:张量;有限元法;杂交/混合有限元

中图分类号:O242.21 文献标识码:A

An Efficient 4 Node Plane Hybrid/Mixed Element

with Tensorial Formulation

YANG Fan, WANG Jun , C HE N Da peng

(School of Eng.Science,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

Abstract:The paper is mainly concerned with developing a kind of tensorial formulation scheme for low order hybrid/mixed finite elements based on Hellinger Reisser variational principle.By making use of the invariance properties of tensors,the disadvantages due to coordinates transfor mation are totally avoided.

Also,in matching the derived strain field,whic h is in tensorial form,a proper selection of the optimal stress field is successfully achieved on the basis of the consistency of one stress parameter with one independent deformation mode .Thus,a 4 node plane quadrilateral ele ment is obtained.Numerical simulations reveal the re markable charac teristics of the present elements,such as invariance,robustness,having no zero energy,etc .

Key words:tensors;finite ele ment methods;hybrid/mixed finite ele ment

有限元法已广泛应用于实际工程问题的计算分析。自1964年Pian [1]提出杂交有限元以来,因其在计算分析中显示出的优良性能而得以迅速发展。目前已出现了多种杂交/混合单元的列式方法。Pian [1]建立的4节点5 二维杂交应力元,因其形式简单数值结果优良,受到了高度重视。但是,由于该单元的应力场系在总体笛卡尔坐标系下插值,致使该单元对网格歪斜敏感。为进一步改善该单元的性能,1982年,Pian 和Sumihara [2]引入小参数摄动的方法优化应力场,得到了一个性能优良的杂交应力单元,该单元至今仍是最优秀的平面4节点杂交单元之一。但该单元的应力场不满足平衡方程,应力插值需通过选取合适的小参数进行摄动,推导过程十分复杂,不易推广。1988年,Pian 和Wu [3]提出了另一种列式方法。该方法同样引入了非协调位移,以应力在所有单元边界的非协调位移上所做的功之和为零作为条件来优化应力场。由此得出与Pian 和Sumihara 单元[2]完全相同的应力布局。然而,其列式方法同样十分复杂且不易

收稿日期:1998 12 18作者简介:杨帆(1963-),男,讲师,博士.第35卷 第1期2000年2月 西 南 交 通 大 学 学 报JOURNAL OF SOUTHWE ST JIAOTONGUNI VERSI TY

Vol.35 No.1Feb.2000

推广。Wu [4,5]进一步发展了这种列式方法,又引入加罚的办法优化应力场,使单元性能有显著的提高。但罚参数的选取带有经验性。

在通常采用的列式方法中,位移和应力都在卡式空间定义而在等参空间插值[6]

。由于坐标变换引入的雅可比矩阵是坐标的函数,导致卡式坐标系下的能量表达式十分复杂,难以区分和识别各类变形模式,不益于应力场的构造和优化。本文中使用张量列式,可利用其不变性,剔除坐标转换的影响,从而得以方便地识别出机动变形模式。利用Pian 和Chen [7,8]建议的通过抑制零能变形模式来构造应力插值的方法,由应力参数与独立变形模式的一一对应,事先对零能变形模式进行抑制,并在单元内部构造逐点满足平衡方程的应力布局。在此过程中,自然得到最优的应力参数数目,无需引入不协调位移导出的复杂优化条件,也不必采用小参数摄动等复杂方法。运用这种方法,可以方便地直接导出Pian Sumihara 单元的应力插值函数,不需要引入其它优化条件。由此,导出了一个具有普适性的、性能优良的平面4节点杂交应力单元。1 张量格式的杂交/混合有限元列式方法

对于协调的位移场,单个单元的Hellinger Reissner 变分泛函可写成下式

(e )R ( ,u )=-

12!V :S: d V +!V :^!d V -W e (1)^!=12

( u +u )(2)其中:应力张量 ,协调位移矢量u 为自变函数;S 为材料物性张量; 为Ha milton 微分算子,W e 为外力功。

在单元内部,位移矢量u 可通过其节点位移参数q i 插值得到

u =

?n n

i=1N i q i (3)其中,N i 为节点i 的形函数的矢量形式。由此,^!可表示为

^

!=?n n i=112( N i +N i )q i =?n n i=1B i q i (4)

而应力插值为

=

?n i=1 i P i (5)其中: i 为应力参数;P i 为与 i 对应的张量插值函数。将式(3)~(5)代入式(1)中,经整理可写成如下矩阵形式

R =-

12 T H + T Gq -Q T q (6)其中:H ij =!V n P i :S :P j d V;G ij =!V n P i :B j d V 。

由驻值条件消去 就可得 R =12q T Kq -Q T q (7)

单元刚度矩阵为K =G T H -1G

(8)2 4节点5 杂交/混合元列式

在单元内部,任意点的矢径可由等参坐标(?1,?2)表示为

x =a 0+a 1?1+a 2?2+a 3?1?

2(9)a i (i =0,1,#,3)是与节点矢径有关的常矢量。在坐标?i 中,协变基矢量为73第1期 杨帆等:一种基于张量列式的高性能平面4节点杂交/混合单元

A #=x # (#=1,2)

(10)单元内任意点处的位移,可写成如下形式

u =#0+#1?1+#2?2+#3?1?2(11)

其中:#i (i =0,1,#,3)是与节点位移参数相关的常矢量。将位移模式#i 在线性无关的(a 2?E 3)和(a 1?E 3)上分解。为了易于识别多余机动模式,将单元位移场中的刚体位移模式剔除。由应变 位移关系可得

!=1

2A ?%1[2a 2?E 3 a 2?E 3+?1(a 2?E 3 a 3?E 3+a 3?E 3 a 2?E 3)]-

?%2[2a 1?E 3 a 1?E 3+?2(a 1?E 3 a 3?E 3+a 3?E 3 a 1?E 3)]+

?%3[2(a 1?E 3 a 2?E 3+a 2?E 3 a 1?E 3)+

?1(a 1?E 3 a 3?E 3+a 3?E 3 a 1?E 3)+

?2(a 2?E 3 a 3?E 3+a 3?E 3 a 2?E 3)]+

?%4[2?2a 2?E 3 a 2?E 3-?1(a 2?E 3 a 1?E 3+a 1?E 3 a 2?E 3)]-

?%5[2?1a 1?E 3 a 1?E 3-?2(a 1?E 3 a 2?E 3+a 2?E 3 a 1?E 3)]

(12)

其中:?%i 中i =1,2,#,5分别对应于5个独立变形模式。根据文[6]建议的抑制零能模式的方法,依据独立变形模式与应力模式一一对应的原则选取应力场。这种方法可以有效地抑制机动变形模式的出现。由这个原则,注意到式(12),并使其满足齐次平衡方程,可以选取如下形式的应力场

= 0+ 4a 1 a 1?2+ 5a 2 a 2?1+

4a 1 a 1a 1?a 3&E 3a 1?a 2&E 3?1?2- 5a 2 a 2a 2?a 3&E 3a 1?a 2&E 3?1?2(13)

其中 0为由3个 参数表示的常应力项。上式中如果只保留前3项即为Pian 和Sumihara [2]导出的应力场。

式(13)所表示的应力布局能保证在任意四边形中都满足齐次平衡方程,在单元形状为平行四边形时,可蜕化为Pian Sumihara 的5 单元的应力场。并且,应力场经过 一一对应 原则的优化选取,应力参数的数目恰为4节点单元的最佳应力参数数目5。应力参数数目已达最优且应力场 事先 能够满足齐次平衡条件并不含机动变形模式。

3 数值算例

为考查新单元的性能,进行了补片试验、不变性检验、梁弯曲 自锁 检验等数值试验。在算例中,采用了4节点四边形等参位移元及另外一些性能良好的单元与本文导出的新单元进行比较,它们包括:Q 4:4节点四边形等参位移元;H 5 :Pian [1]导出的4节点四边形5个 参数的杂交应力元;

P S:Pian Sumihara [2]导出的4节点四边形5个 参数的杂交应力元。

(1)补片试验

考虑如图1所示的悬臂梁。划分成8个单元,如表1所示,在载荷1的情况下,所有单元都能精确模拟应力场,即表明所有单元都通过了补片试验。在载荷2的情况下,本文中导出的单元略优于P S 单元。

图1补片试验网格表1 补片试验计算结果比较

比较值

Q 4H 5 P S 本文方法解析解载荷(1)U A

6.006.006.006.006.00载荷(2)-V A 34.0034.9334.5735.0236.00

74 西 南 交 通 大 学 学 报 第35卷

(2)单元不变性及 自锁 检验

图2所示的梁被划分成5个大小形状不一的单元,分别在纯弯及剪切两种载荷作用下检验单元精度。由表2可看出,新单元数值结果优于其它单元。在纯弯载荷作用下,梁内应没有剪应力。从表2中可见,所有单元都存在伪剪应力,新单元在消除伪剪应力方面比P S 单元略有改善,在所比较的单元中效果最好。在剪切载荷的作用下,Q 4单元在A 点的位移及B 点的正应力仅约为解析解的50%,即产生明显的剪切 自锁 ,而P S 单元和本文提供的单元较为有效地克服了 自锁 现象,本文方法得出的数值解略优。

图3所示的划分为两个单元的梁,承受纯弯或剪切载荷。通过e 值的变化改变单元形状。以考查梁端A 点挠度的变化。由图4和图5可见,新单元仍有较好的数值结果。

这两个算例表明新单元具有不变性,

并且保持着较高的精度。

图2 悬臂梁不

规则网格划分图3 单元不变性考题

图4 不变性考题纯弯载荷下A 点挠度误差曲线

图5 不变性考题剪切载荷下A 点挠度误差曲线 (3)Cook 膜板问题

考虑如图6所示的悬臂薄板,在端部均布剪切力作用下,对A 点的挠度进行了数值检验和比较。参考解为A 点处的纵向挠度23.91mm ,由图7可见,

新单元精度较好。

图6 Cook 板几何形状及载荷

图7 Cook 板计算结果曲线 75第1期 杨帆等:一种基于张量列式的高性能平面4节点杂交/混合单元

表2 悬臂梁不规则网格划分的计算结果

比较值载荷(1)载荷(2) V A

xB %xyB

V A xB

Q 445.70-1761427.1950.70-2448H 5 93.59-2974.810.8697.40-4135P S

96.18-3014-9.3798.05-4137本文方法96.49-3012-8.6298.25-4072解析解

100.00

-3000

0.00

102.60

-4050

4 结 论

在杂交/混合有限元列式中,传统的方法是在不同的标架下插值协调位移场及应力场,使单元中的机动变形模式由于坐标变换而变得不易识别,从而大大影响了单元品质的改进和提高。使用张量列式,避开了标架的影响,使单元中的零能变形模式易于识别,并易于优化单元应力场,由此导出性能良好的单元。参考文献:

[1] Pian T H H.Derivation of element stiffness matrices by assu med stress distr ibutions[J].AIAAJ.,1964;2:1333~1336.[2] Pian T H H,Sumihara K.Rationsl approach for assumed stress finite elements[J].Int.J.Num.Math.Eng.,1984;20:1685~

1695.

[3] Pian T H H,Wu C C.A rational approach for choosing stress terms for hybrid fini te elemen t formulations[J].Int.J.Nu m.M eth.

Eng.,1988;26:2331~2343.

[4] Wu C C,Cheung Y K.On optimization approach of hybrid stress elements[J].Fini te Elements in Analysis and Design,1995;21:

111~128.

[5] 吴长春,卞学璜.非协调数值分析与杂交有限元法[M].北京:科学出版社,1997:128~138.

[6] 卞学璜.按广义变分原理进行的有限元列式[J].西南交通大学学报(庆祝建校九十周年增刊),1986:1~11.[7] Pian T H H,Chen D P.On the suppression of zero energy deformation modes[J].I n t.J.Num.Meth.Eng.,1983;19:1741~

1752.

[8] Pian T H H,Chen D P.Al ternative ways for formulation of hybrid elements[J].In t.J.Nu m.Meth.Eng.,1982;18:1679~

1684.

76 西 南 交 通 大 学 学 报 第35卷

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q7rl.html