北京大学2015年自主招生数学试题

北京大学2015年博雅计划测试题

一、选择题（四选一，每小题10分，满分50分；选对得10分，不选不得分，选错扣5分） 1.整数x,y,z满足xy?yz?zx?1，则(1?x)(1?y)(1?z)可能取到的值为______. A. 16900 B. 17900 C. 18900 D. 前三个答案都不对 解答：代数式变形.

由1=xy+yz+zx，可知1+x2=xy+yz+zx+x2=x+y222()(x+z)，同理

222(1+x21+y21+z2=(x+y))()()2(x+z)(y+z)222，于是(1?x)(1?y)(1?z)是平方数，

22取x+y,y+z,z+x=2,5,13，可知(1+x)(1+y)(1+z)=16900. 答案:A. 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任意两个的和都不等

于99，也不等于100，这50个数的和有可能等于________. A.3524 B.3624 C.3724 D. 前三个答案都不对 解答：组合构造问题

考虑将99个数分为如下50组：1,99,2,98,()()()(),(49,51),(50). 断言：这50个数中包

含50，若否，总有两个数和等于100，矛盾. 接下来1,99,2,98,()(),(49,51)这49组数

中每组选出一个数，不难发现这50个数就是50，51，… ，99，所以： 50+51+52++99=3725. 答案:D. 3.已知x?[0,?2]，对任意实数a，函数y?cos2x?2acosx?1的最小值记为g(a)，则当

a跑遍所有实数时，g(a)的最大值为_______.

A.1 B.2 C.3 D. 前三个答案都不对 解答：换元法，二次函数分类讨论.

记t=cosx?0,1,则y=ht=t-2at+1,t?0,1，则有

[]()2[]ì1,a<0,??g(a)=í1-a2,0＃a1, 于是g(a)的最大值是1. 答案:A.

???2-2a,a>1,4.已知10?2是2的整数倍，则正整数n的最大值为________. A.21 B.22 C. 23 D. 前三个答案都不对

解答：因式分解整除问题.

根据1020-220=220510+155+15-154+53+52+51+1 注意到2510+1,4寣510+1;2020n()()()()?255+1,455+1;从而正整数n的最大值为24. 答案:D.

?5.在凸四边形ABCD中BC=4，?ADC?60,?BAD?90，四边形ABCD的面积为

1

AB?CD?BC?AD，则CD的长（精确到小数点后1位）为________.

2A. 6.9 B. 7.1 C. 7.3 D. 前三个答案都不对 解答：托勒密定理和四点共圆.

凸四边形ABCD的面积记为S,直线AC,BD的夹角记成q，则

S=BD)sinqAC鬃BDsinq(AB?CDAC鬃＃22AB?CDAC?BD，

2由题目条件，AB?CDAC?BDAC?BD，从而凸四边形ABCD是圆内接四边形.

所以CD=43?6.9. 答案:D.

二、填空题 6. 满足等式(1?)1xx?1?(1?12015)的整数x的个数是_______. 20152015解答：两个重要极限之一.

骣1若x>0,则琪1+琪桫xx+1骣1>e>琪1+琪桫2015x+1；若x是负整数，

n-1骣1令x=-n,n?2，则琪1+琪桫x骣1=琪1+琪桫n-1骣1，根据an=琪1+琪桫n-1n-1单调增，从而

112015(1?)x?1?(1?)当且仅当x=-2016. 答案:1.

x2015

(ab?cd)27.已知a,b,c,d?[2,4]，则2的最大值与最小值的和为________.

(a?d2)(b2?c2)解答：数形结合加平面区域问题. 记x=a,d,()(ab+cd)2162=cosx,y，， t=1,t=y=(b,c)，则t=2maxmin(a+d2)(b2+c2)25求和即是

4141. 答案：. 252528.已知|x?px?q|?2,?x?[1,5]，则不超过解答：二次函数临界值问题.

p2?q2的最大整数是________.

y=x2+px+q?[2,2],\x?[1,5]，容易验证满足条件的二次函数只能是

y=x2-6x+7或y=-x2+6x-7,答案：9.

2

容易得到不超过

p2?q2的最大整数是9.

c2?a2?b2a2?b2?c2b2?c2?a29.设x?，y?，z?且x?y?z?1，则

2ca2ab2bcx2015?y2015?z2015的值为_________.

解答：类比余弦定理.

记x,y,z=cosA,cosB,cosC，根据三角恒等式

()()cosA+cosB+cosC=1+4sinABCsinsin和x?y?z?1， 222可知x,y,z中由两个1一个-1,于是x2015+y2015+z2015=1. 答案：9.

10.设A1,A2,?,An都是9元集合{1,2,3,?,9}的子集，已知A1,2}为奇数，1?i?n，1={|Ai?Aj|为偶数，1?i?j?n，则n的最大值为________.

解答：组合构造问题.

取Ai={i}，可以猜测答案为9.这个问题与向量线性无关同构.用n个9维“01”向量表示这n个子集.例如子集{1，8}用向量1，0，0，0，0，0，0，1，0来表示,这样一来每个向量和自己做

()点乘是奇数，两个不同的向量点乘是偶数.

可以证明这n个向量在模2意义下线性无关. 从而n￡9. 答案：9.

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