22反比例函数全章复习与巩固基础知识讲解

反比例函数全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0k y k x =≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0k y k x =

≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

【高清课堂406878 反比例函数全章复习 知识要点】 要点一、反比例函数的概念

一般地，形如k y x

= (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 要点诠释：在k y x

=中，自变量x 的取值范围是，k y x = ()可以写成()的形式，也可以写成

的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k y x

=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.

典型例题】

类型一、确定反比例函数的解析式

1、已知函数()32k y k x

-=+是反比例函数，则k 的值为 . 【答案】2k =

【解析】根据反比例函数概念，3k -＝1-且20k +≠，可确定k 的值.

【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系数不等于0. 举一反三：

【变式】反比例函数5n y x

+=图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）. A. 2-

B. 1-

C. 0

D. 1 【答案】D ； 反比例函数5n y x +=过点（2，3）．53,12

n n +==∴∴．

要点三、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数()0k y k x

=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

要点诠释：

观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

①)0(≠=

k x

k y 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k x

k y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③x k y x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.

注：正比例函数x k y 1=与反比例函数x

k y 2=， 当021?k k 时，两图象必有两个交点，且这两

个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.

（2）若点(a b ，)在反比例函数k y x =的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

正比例函数 反比例函数 解析式

图 像

直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置

0k >，一、三象限； 0k <，二、四象限 0k >，一、三象限 0k <，二、四象限 增减性 0k >，y 随x 的增大而增大

0k <，y 随x 的增大而减小

0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小 0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大 （4）反比例函数y ＝

中k 的意义 ①过双曲线x

k y =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . ②过双曲线x

k y =(k ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .

类型二、反比例函数的图象及性质

2、已知，反比例函数42m y x

-=的图象在每个分支中y 随x 的增大而减小，试求21m -的取值范围．

【思路点拨】由反比例函数性质知，当k ＞0时，在每个象限内y 随x 的增大而减小，由此可求出m 的取值范围，进一步可求出21m -的取值范围．

【答案与解析】

解：由题意得：420m ->，解得2m <，

所以24m <，则21m -＜3．

【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键．

举一反三：

【变式】已知反比例函数2k y x

-=，其图象位于第一、第三象限内，则k 的值可为________（写出满足条件的一个k 的值即可）．

【答案】3（满足k ＞2即可）.

3、在函数||k y x

-=（0k ≠，k 为常数）的图象上有三点(－3，1y )、(－2，2y )、(4，3y )，则函数值的大小关系是（ ）

A ．123y y y <<

B ．321y y y <<

C ．231y y y <<

D ．312y y y <<

【答案】D ；

【解析】

∵ |k |＞0，∴ －|k |＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，y 随x 增大而增大，(－3，1y )、(－2，2y )在第二象限，(4，3y )在第四象限，∴ 它们的大小关系是：312y y y <<．

【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(－3，1y )、(－2，2y )在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，所以12y y <，点(4，3y )在第四象限，其函数值小于其他两个函数值．

举一反三：

【变式1】（2014春?海口期中）在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（ ）.

A. B. C. D.

【答案】C ；

提示：分两种情况讨论：

①当k ＞0时，y=kx+3与y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；

②当k ＜0时，y=kx+3与y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．故选C ．

【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例7】

【变式2】已知＞b a ,且,0,0,0≠+≠≠b a b a 则函数b ax y +=与x b a y +=

在同一坐标系中的图象不可能是( ) .

【答案】B ； 提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是<0,0a b <，则0a b +<，对于反比例函数来说，0a b +>，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.

4、如图所示，P 是反比例函数k y x =

图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此反比例函数的关系式．

【思路点拨】要求函数关系式，必须先求出k 的值，P 点既在函数的图象上又是矩形的顶点，也就是说，P 点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长．

【答案与解析】

解：设P 点的坐标为(x ，y )，由图可知，P 点在第二象限，∴ x ＜0，y ＞0． ∴ 图中阴影部分矩形的长、宽分别为－x 、y ．

∵ 矩形的面积为2，∴ －xy ＝2，∴ xy ＝－2．

∵ xy ＝k ，∴ k ＝－2．

∴ 此反比例函数的关系式是2y x

=-． 【总结升华】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线所得矩形面积为|k |这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换．

举一反三：

【变式】如图，过反比例函数)(0x x 2y >=

的图象上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足为''B A 、，连接OA ，OB ，'AA 与OB 的交点为P ，记△AOP 与梯形B B PA ''的面积分别为21S S 、，试比较21S S 与的大小.

【答案】

解：∵AOP AOA A OP S S S ''???=-，OB A OP A PBB S B S S ''''??=-梯形

且AOA 112122A A S x y '?==?=，OB 112122

B B B S x y '?==?= ∴21S S =.

类型三、反比例函数与一次函数综合

5、已知反比例函数k y x

=和一次函数y mx n =+的图象的一个交点坐标是(－3，4)，且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式．

【思路点拨】因为点(－3，4)是反比例函数k y x =

与一次函数y mx n =+的图象的一个交点，所以把(－3，4)代入k y x

=中即可求出反比例函数的表达式．欲求一次函数y mx n =+的表达式，有两个待定未知数m n ，，已知一个点(－3，4)，只需再求一个一次函数图象上的点即可．由已知一次函数图象与x 轴的交点到原点的距离是5，则这个交点坐标为(－5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式．

【答案与解析】 解：因为函数k y x =

的图象经过点(－3，4)， 所以43

k =-，所以k ＝－12． 所以反比例函数的表达式是12y x

=-． 由题意可知，一次函数y mx n =+的图象与x 轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)，则分两种情况讨论：

当直线y mx n =+经过点(－3，4)和(5，0)时，

有43,05,m n m n =-+??=+? 解得1,25.2

m n ?=-????=?? 所以1522

y x =-

+． 当直线y mx n =+经过点(－3，4)和(－5，0)时， 有43,05,m n m n =-+??=-+? 解得2,10.m n =??=?

所以210y x =+． 所以所求反比例函数的表达式为12y x =-

，一次函数的表达式为1522y x =-+或210y x =+．

【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能漏解．

举一反三：

【变式】如图所示，A 、B 两点在函数(0)m y x x =>的图象上．

（1）求m 的值及直线AB 的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．

【答案】

解：（1）由图象可知，函数(0)m y x x

=>的图象经过点A(1，6)，可得m ＝6． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．

∵ A(1，6)，B(6，1)两点在函数y kx b =+的图象上，

∴ 6,61,k b k b +=??+=? 解得1,7.

k b =-??=?

∴ 直线AB 的解析式为7y x =-+．

（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3．

要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.

2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

【

类型四、反比例函数应用

6、（2015?兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v （千米/小时）与所用时间t （小时）的函数关系如图所示，其中60≤v ≤120．

（1）直接写出v 与t 的函数关系式；

（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．

①求两车的平均速度；

②甲、乙两地间有两个加油站A 、B ，它们相距200千米，当客车进入B 加油站时，货车恰好进入A 加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B 加油站的距离．

【答案与解析】

解：（1）设函数关系式为v=，

∵t=5，v=120，

∴k=120×5=600，

∴v 与t 的函数关系式为v=（5≤t ≤10）；

（2）①依题意，得

3（v+v ﹣20）=600，

解得v=110，

经检验，v=110符合题意．

当v=110时，v ﹣20=90．

答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；

②当A 加油站在甲地和B 加油站之间时，

110t ﹣（600﹣90t ）=200，

解得t=4，此时110t=110×4=440；

当B 加油站在甲地和A 加油站之间时，

110t+200+90t=600，

解得t=2，此时110t=110×2=220．

答：甲地与B 加油站的距离为220或440千米．

【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.

【巩固练习】

一.选择题

1（2014?宜阳县校级模拟）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（ ）

A ．（2，3）

B ．（3，2）

C ．（﹣2，3）

D ．（﹣2，﹣3）

2. 函数y x m =+与(0)m y m x

=≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）

3. 反比例函数k y x =的图象经过点P(－1，2)，则这个函数的图象位于（ ）． A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限

4. 数22(1)m y m x -=-是反比例函数，则m 的值是（ ）

A ．±1

B ．1

C ．3

D ．－1

5. 如图所示，直线2y x =+与双曲线k y x

=相交于点A ，点A 的纵坐标为3，k 的值为（ ）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6. 点(－1，1y )，(2，2y )，(3，3y )在反比例函数21k y x

--=的图象上．下列结论中正确的是（ ）．

A ．123y y y >>

B ．132y y y >>

C ．312y y y >>

D ．231y y y >>

7. 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)P x y 是反比例函数2y x

=图象上的三点，且1230x x x <<<，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）

A ．321y y y <<

B ．123y y y <<

C ．213y y y <<

D ．231y y y <<

8. 如图所示，点P 在反比例函数1(0)y x x

=>的图象上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P '，则在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是（ ）．

A ．5(0)y x x =->

B ．5(0)y x x =>

C ．6(0)y x x =->

D ．6(0)y x x

=> 二.填空题

9. 图象经过点（－2，5）的反比例函数的解析式是 .

10.（2014秋?大竹县校级期末）若函数y=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增

大，则m 的取值范围___________.

11.反比例函数)0(≠=k x k y 的图象叫做__________.当0k >时，图象分居第__________象限，在每个象限内y 随x 的增大而_______；当0k <时，图象分居第________象限，在每个象限内y 随x 的增大而__________.

12. 若点A(m ，－2)在反比例函数4y x =的图像上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是___________.

13.若变量y 与x 成反比例，且2x =时，3y =-，则y 与x 之间的函数关系式是________，在每个象限内函数值y 随x 的增大而_________.

14.已知函数x m y =

，当2

1-=x 时，6=y ，则函数的解析式是__________. 15．如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数x k y =的图象上，另三点在坐标轴上，则_______k =.

16.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变．在一定范围内，密度ρ是容积V 的反比例函数．当容积为53m 时，密度是1.43

/kg m ，则ρ与V 的函数关系式为_______________．

三.解答题

17. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h )与行驶速度v(/km h )满足函数关系：k t v

=，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m ，0.5)．

（1）求k 和m 的值；

（2）若行驶速度不得超过60/km h ，则汽车通过该路段最少需要多少时间？

18. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强P （Pa ）是它的受力面积S （

）的反比例函数，其图象如图所示．

(1) 求P 与S 之间的函数关系式；

(2) 求当S ＝0.5 时物体承受的压强P ．

19.（2015?淄博模拟）如图，直线y=x 与双曲线y=（x ＞0）交于点A ，将直线y=x 向下平移个6单位后，与双曲线y=（x ＞0）交于点B ，与x 轴交于点C.

（1）求C 点的坐标.

（2）若=2，则k 的值为？

20.如图所示，一次函数112y k x =+与反比例函数22k y x

=

的图象交于点A(4，m )和B(－8，－2)，与y 轴交于点C ．

(1)1k = ________，2k =________；

(2)根据函数图象可知，当12y y >时，x 的取值范围是________；

(3)过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD 交于点E ，当31ODE ODAC S S =△四边形::时，求点P 的坐标．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】D ；

【解析】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，

∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，

∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：D ．

2.【答案】B ；

【解析】分m ＞0，和m ＜0分别画出图象，只有B 选项是正确的.

3.【答案】D ；

【解析】 ∵ 点P(－1，2)在第二象限，∴ 反比例函数k y x =

的图象在第二、四象限. 4.【答案】D ； 【解析】由反比例函数的意义可得：2102 1.

m m -≠??-=-?解得，m ＝－1． 5.【答案】C ； 【解析】把y ＝3代入2y x =+，得1x =．∴ A(1，3)．把点A 的坐标代入k y x

=

，得3k xy ==.

6.【答案】B ； 【解析】∵ 22

1(1)0k k --=-+<，∴ 反比例函数21k y x --=的图象位于第二、四象限，画出函数图象的简图，并在图象上表示出已知各点，易知132y y y >>．

7.【答案】C ；

【解析】观察图象如图所示．

8.【答案】D ；

【解析】 由点P 的横坐标为2，可得点P 的纵坐标为12

． ∴ 12,2P ?

? ???．由题意可得点34,2P ??' ???

． ∴ 在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式为6(0)y x x =

>．故选D 项．

二.填空题

9.【答案】x

y 10-=； 10.【答案】m ＜2；

【解析】∵函数y=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，

∴m﹣2＜0，解得m ＜2．

11.【答案】双曲线；一、三；减小；二、四；增大；

12.【答案】x ≤－2或0x >；

【解析】结合图象考虑反比例函数增减性.

13.【答案】x y 6-=；增大 ； 14.【答案】3y x =-； 15.【答案】－3；

【解析】由矩形OABC 的面积＝3，可得B 点的横坐标与纵坐标的乘积的绝对值＝3，又因

为图象在第四象限，所以反比例函数的0k <.

16.【答案】7V ρ=

. 三.解答题

17.【解析】

解：（1）将(40，1)代入k t v

=，得140k =，解得k ＝40． ∴ 该函数解析式为40t v

=． ∴ 当t ＝0.5时，400.5m

=，解得m ＝80， ∴ k ＝40，m ＝80．

（2）令v ＝60，得402603

t ==， 结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要23

小时． 18.【解析】 解：（1）设所求函数解析式为k p s =

,把（0.25,1000）代入解析式， 得1000＝0.25

k , 解得k ＝250 ∴所求函数解析式为250p s

=（s ＞0） （2）当s ＝0.5

时，P ＝500(Pa) 19.【解析】

解：（1）∵将直线y=x 向下平移个6单位后得到直线BC ，

∴直线BC 解析式为：y=x ﹣6，

令y=0，得x ﹣6=0，

∴C 点坐标为（，0）；

（2）∵直线y=x 与双曲线y=（x ＞0）交于点A ， ∴A（，），

又∵直线y=x ﹣6与双曲线y=（x ＞0）交于点B ，且

=2， ∴B（+，），将B 的坐标代入y=中，得 （+）=k ，

解得k=12．

20.【解析】

解：(1)12

，16； (2)－8＜x ＜0或x ＞4；

(3)由(1)知，1122y x =+，216y x

=． ∴ m ＝4，点C 的坐标是(0，2)，点A 的坐标是(4，4)． ∴ CO ＝2，AD ＝OD ＝4．

∴ 2441222

ODAC CO AD S OD ++=

?=?=梯形． ∵ 31ODE ODAC S S =△梯形::，∴ 1112433

ODE ODAC S S =?=?=△梯形 即142OD DE =，∴ DE ＝2．∴ 点E 的坐标为(4，2)． 又点E 在直线OP 上，∴ DE ＝2．∴ 点E 的坐标为(4，2)． 由16,1,2

y x y x ?=????=?? 得1142,22,x y ?=??=?? 2242,2 2.x y ?=-??=-??（不合题意舍去） ∴ P 的坐标为(42,22).

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