Kantorovich不等式的推广

Kantorovich不等式相当好

第24卷 第2期

2005年6月

文章编号:

成都大学学报(自然科学版)

JournalofChengduUniversity(NaturalScience)

Vol 24No 2 Jun 2005

1004-5422(2005)02-0081-03

Kantorovich不等式的推广

续铁权

(青岛职业技术学院,山东青岛 266071)

摘 要:本文的三个定理推广了Schweitzer不等式与Kantorovich不等式 关键词:Schweitzer不等式;Kantorovich不等式;凸函数;

Schur-凸函数

中图分类号:0178 1 文献标识码:A

1 引言与引理

文[1]介绍了两个重要不等式:

Schweitzer不等式若0<m ai M,i=1,2, ,n,则

n

2 主要结果

定理1 设ai>0(i=1,2, ,n), >0,M=max{a1, ,an},m=min{a1, ,an},M>m>0,则

(1)

1n

a

i

n

4Mm2

a

i

n

ai

+1

2

Kantorovich不等式若0<m ,i M,i=12, ,n,则

( u2

ii

4(M-m)(M-m)(Mm)证明 记S=

+1

(4)

u i

4i

+m2

( ui)

22

a,则M+

i

-

-

n

(n-1)m s

(2)

当ui=1(i=1,2, ,n)时,由(2)式可得到(1)式,所以Kantorovich不等式可以看作

Schweitzer不等式的推广

Schweitzer不等式和Kantorovich不等式有多种推广形式(参看[1],[2],[3]),本文的三个定理是Schweitzer不等式和Kantorovich不等式的指数推广

在下文中使用的概念和记号参看[4] 特别对

n

于x=(x1,x2, ,xn) R,把它的分量排成递减的次序后记作x =(x[1],x[2], ,x[n]),即x[1] x[2] x[n]

引理 设0<m ai M,i=1,2, ,n,记s=

(n-1)M+m,由引理知存在k N,1 k n-1,使(3)式成立 又易证x(3)式知

是I=(0,+ )上

[4]

的凸函数,所以 xi是I上的S-凸函数

,由

a

故

n

- i k M

-

+(n-k-1)m

-

+l,

-

这里l=s-kM-(n-k-1)m,m l M

a

i

n

a

-

i

++nMmlkM+(n-k-1)m+l=2

n

+(Mm)l

(5)

a,若M+

ik

(n-1)m s (n-1)M+m,

(3)

则存在k N,1 k n-1,使

M, ,M,l,m, , (a1,a2, ,an)

m-k-1

=fk(l)+km,则

fk(l)=

记u=kM+(n-k-1)m,v=(n-k-1)M

- a-a+1u(Mm)l+(Mm)l+vl+un(Mm)

这里l=s-kM-(n-k-1)m,m l M

此结果即为[5]中的引理2

收稿日期:2005-01-05

作者简介:续铁权(1937-),男,教授,从事数学不等式理论研究

Kantorovich不等式相当好

n

+12 (p-1) =4(p-1)(p-1)

2

+1

-a-2

计算得fk(l)=l[( +1)u+( -1)l]=

n - -2n

( s+u-l),注意m l M u,fk(J)>ln

0 所以任取k,1 k n-1,fk(l)都是[m,M]上的凸函数,fk(l) fk(m)与fk(l) fk(M)两个不等式必有一个成立 由(5)式得

fk(m)={[kM+(n-k)m][(n-k)M

+km]}/n(Mm)

a

a

2

a

a

所以fk(m)的最大值是=

4(p-1)(p-1)M,又因为fk(M)=4(M-m)(M-m)(Mm)

fk+1(m),故fk(M)的最大值与此相同

前面已经说过任取k,1 k n-1,fk(l) fk(m)与fk(l) fk(M)两个不等式必有一个成立,所以任取k,1 k n-1,都有

fk(l) 4(M-m)(M-m)(Mm)

+1

+1

2

+1

+1

2

+12

fk(M)={[(k+1)M+(n-k-1)m][(n

-k-1)M+(k+1)m]}/n(Mm)=fk+1(m)

下面把k看作实数,求出使fk(m)取最大值的k,把fk(m)的分子记做h(k)

h(k)=[kM+(n-k)m][(n-k)M+km]

=kMm+(n-k)Mm+k(n-k) (M+m)=-(M-m)(M

2a+1a+1a

-m)k+n(M+m-2Mm)k+nMm,

+1

它是k的二次函数,记p=,p>1,A=p-2p

m+1,B=p-2p+1,则当

+1 +1

n(M+m-2Mm)k=2(M-m)(M-m)

=2(p-1)(p-1)=

nA

,

2(p-1)(p-1)

+1

+1

2

a

a+1

a+1

a

a

2

a

2

a

a

a

a

2

a

(6)

综合(5),(6),就证明了(4)式

注1 当 =1,由(4)式可得Schweitzer不等式 所以(4)式是Schweitzer不等式的指数推广

注2 分析证明过程,(4)式等号成立条件是:(1)

是整数,把它记作k,1

2(p-1)(p-1)

k

n-k

+1

k n-1;(2)(a1,a2, ,an) =(M, ,M,m, ,m)

以下记K(M,m, )=(M

a

+1

-m)/[4(M

2

-m)(M-m)(Mm)]

推论1 设ai>0(i=1,2, ,n), >0, >0,M=max{a1, ,an},m=min{a1, ,an}m,M>m>0,则

1

n

a

i

n

a +

2

即n-k=

时,h(k)和

2(p-1)(p-1)

(M-m)

(7)4(M-m)(M-m)(Mm)

证明 在(4)中用ai代替ai,这时M,m, 应当用M,m,

+

+

fk(m)取最大值,将k=代入2(p-1)(p-1)h(k)=[kM+(n-k)m][(n-k)M+km],得到h(k)的最大值是

a

M+Bm)(BM+Am) (A

4(p-1)(p-1)

a

=22 (Ap+B)(Bp+A)4(p-1)(p-1)

+2 +1=-p-p+1)22 (p

4(p-1)(p-1)

2

+12

+1

2

a

a

代替,而K(M,m, +

2

)=这样就证明了4(M-m)(M-m)(Mm)(7)

以下记L(M,m, , )=(M

-m)(M-m)(Mm)]

+

-m

+

)/[4(M

定理2 设0<m ,2, ,n),i M(i=1 >0,M>m>0,则

ui222

( iui) K(M,m, )( ui) i

(8)

证明 先假定M=max{ , 1, n},m=min{ , 1, n} 若所有ui都是正有理数,当

2

(p

2 +1

-p

+1

-p+1)

+1

a

+1

=-1)(p-1) (p4(p-1)(p-1) (p

+1

2

-1)(p-1)

ui

2

Kantorovich不等式相当好

=1,设ui=

2

ki

ki,p是自然数,且p

kn

k

i

=p,以p(x)<式得

}=n

E

i

,ji

,i,j=0,1 n 由(8)

( , , 1, 1, n, , n,)代替(a1,a2, ,an),

k1

由(4)式得到

1

p

i,j

ti

jp

m(Ei,

j)n

,ji

m(E)

,jinti

2

ki

i

1

p

2i

ki

K(M,m,a), 1,以

u

2

i2i

K(M,m, )

2

,ji

m(Ei,j)n m(Ej)n

2

即(8)式成立 当

u

u

代替ui,同样

=K(M,m, )

j

可得到(8)式

2

若ui不都是正有理数,取n个正有理数列{ }(i=1,2, ,n;j=1,2, ),使当j , ui

,则由前面的证明知

i K(M,m,a)(j=1,2, ),令j ,即得(8)式

2

,ji

2

,jiai

22,,ji

2

,ji

令n ,由控制收敛定理[6],

b

i,jba

ti

n

j

2,ji

2

fp, m(E) ntf

m(E) p 再由上式即得(10)式 m(Ei,j)

j

a

i,j

i

i,j

ba

n

注4 (10)是Kantorovich不等式的积分形式

[2,3]

的指数推广

a

如果M max{ 1, , n}或m min{ 1, , , n},我们可以在集合{ 1, n}中添加 n+1=M( n+2=m),并令相应的un+1=0(un+2=0),即

可归结为前面的情形

注3 当 =1,由(8)式可得Kantorovich不等式,所以(8)式是Kantorovich不等式的指数推广

推论2 设0<m ,2, ,n),

i M(i=1 >0, >0,M>m>0,则

推论3 设 >0, >0,f L[a,b],1/f

L[a,b],0<m f(x) M(M>m>0),又p L[a,b],0 p(x) P则

fa

b

a

b

L(M,m, , )(f

p)a

b

2

(11)

北京联合大学石焕南教授,浙江海宁电大张小明老师审阅本文初稿并提出修改意见,作者谨表示感谢

参 考 文 献

[1]D.S.Mitrinovic,P.M.Vasic著,赵汉宾译 分析不等式[M] 南宁:广西人民出版社,1986,79~88

[2]匡继昌 常用不等式(第三版)[M] 济南:山东科学技术出版社,2004,163~164

[3]楼宇同 Schweitzer不等式,Gr ss不等式的推广及其之间的关系[J] 曲阜师范大学学报(自然科学版),1991,17(4):24~28

[4]王伯英 控制不等式基础[M] 北京:北京师范大学出版社,1990

[5]吴善和,石焕南 一类无理不等式的控制证明[J] 首都师范大学学报(自然科学版),2003,24(3):13~16[6]周民强 实变函数论[M] 北京:北京大学出版社,2001

'

'

u

i2i

ui

L(M,m, , )2

u

2

i

2

(9)

以下用f表示f(x),用

f表示af(x)dx,并以a和

nj=0

bb

ii

和

j

j

分别表示

ni=0

,以

,jia

表示

定理3 设 >0,f L[a,b],1/f L[a,

b],0<m f(x) M(M>m>0),又p L[a,b],0 p(x) P则

fpba

ab

K(M,m, )

af

a

p b2

(10)

[7]张小明 几何凸函数[M] 合肥:安徽大学出版社,2004:134~145

[8]A.M.MarshallandI.Olkin.Inequalities.TheoryofMa-jorizationandItsApplication[M].Press,1979,71

(下转96页)

NewYork:Academies

证明 设ti=m+(M-m),Ei,j={x:ti

njP(j+1)PjP

f(x)<ti+l; p(x)<},Ej={x:

nnn

Kantorovich不等式相当好

#96#使植物开花的1

成都大学学报(自然科学版)第24卷

水稻是一种短日植物1农业科学界已经在水稻中找到了几个与开花有关的基因位点,并且找出了三个基因,其中两个是与CO和FT同源的,另一个是用来编码酪蛋白激酶II(CK2)的亚单位1在拟南芥中,CK2是一个与生物钟相关的并且是在它超表达情况下还可以缩短光周期长度的因子1从这些结果我们可以得出了一个结论:生物钟在光周期控制开花过程中起到关键的作用1然而这也给我们提出了一个新的问题:这些相同的基因是如何同时调控长日植物(拟南芥)和短日植物(水稻)开花的?这也是我们需要解决的问题1

参 考 文 献

[1]ThomasF.Schultz,SteveA.Kay.Circadianclocksinda-ilyandseasonalcontrolofdevelopment[J].Science,2003,301

[2]lsaacEdery.Circadianrhythmsinanutshell[J].PhysiolGenomics,2000,3:59~74

[3]李经才,于 多,王 芳,何 颖1生物钟基因研究新进展[J]1遗传,2004,26(1):89~96

[4]金 戈1生物节律的分子生物学研究进展[J]1国外医学(遗传学分册),1999,22(4):194~198

TheM

D

olecularevelopm

Basisofentof

theRhythm

Plant

ic

the

WUXiaoyong,SUNYanxia,ZHAOGang,GOUXiaojun,WANGYuehua

(DepartmentofBiologicalEngineering,ChengduUniversity,Chengdu610106,China)

Abstract:

Circadianclockregulatesthephysicalprocessesofthevarietyoforganisms.Thispapermain-

eywords:Plan;tDevelopmen;tCircadianclock;Gene

(上接83页)

Extension

ofKantorovich

Inequality

XUTiequan

(QingdaoVocationalandTechnicalCollege,Qingdao266071,China)

Abstract:

ThreetheoremsinthepaperextendSchweitzerInequalityandKantorovichInequality.

Keywords:SchweitzerInequality;KantorovichInequality;ConvexFunctions;Schur-ConvexFunc-tions

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q7j4.html