李凡长版 组合数学课后习题答案 习题3

第三章 递推关系

1. 在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限

区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n.

2. n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求

f(n)满足的递推关系. 解：设an-1an-2?a1是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1)表示。

an可以有两种情况：

1） 不管上述序列中是否有2，因为an的位置在最左边，因此0 和1均可选；

2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为

f(n)=2f(n-1)+2n-1 n?1, f(1)=3

解得f(n)=2n-1(2+n).

3. n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足

的递推关系.

解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。则有

h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 f(n+1)= (2n+4n)/2-2f(n), f(1)=2. 4. 求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况：

1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以

f(n)=f(n-3)+2f(n-2) f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5. 求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。

f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能；

f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能；

依此类推，有

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f(n)+f(n-1)+f(n-2)+?+f(2)=2n-2 f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2.

6. 求n位0,1序列中“010”只出现一次且在第n位出现的序列数f(n). 解：最后三位是“010”的序列共有2n-3个。包括以下情况：

f(n)包含了在最后三位第一次出现010的个数，同时排除了从 n-4到n-2位第一次出现010的可能；

f(n-2)包含了从n-4到n-2位第一次出现010的个数； f(n-3)包含了从n-5到n-3位第一次出现010的个数；

2f(n-4)包含了从n-6到n-4位第一次出现010的个数（因为 在第n-3位可以取0或1）；

同理，k?3时，第n-k-2到n-k位第一次出现010的个数为 k-3

2f(n-k)(因为第n-k位～n-3位中间的k-3位可以取0、1，所以有2k-3种状态)。

所以满足条件的递推关系为

f(n)+f(n-2)+f(n-3)+?+2n-6f(3)=2n-3 n?6 f(3)=1,f(4)=2,f(5)=3.

7. 有多少个长度为n的0,1序列,在这些序列中,既不包含“010”,也不包

含“101”？

解：设满足条件的序列数为f(n)

考虑n-1位时最左边的情况：

1) 最左边为1，则左边可选0或1生成满足要求的序列，这种情况有2f(n-2)个；

2) 最左边为01，则左边只能选1才能满足要求，这种情况有 f(n-3)个；

f(n)=2f(n-2)+f(n-3) f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2.

8. 在信道上传输a,b,c三个字母组成的长为n的字符串,若字符串中有两个

a连续出现,则信道就不能传输.令f(n)表示信道可以传输的长为n的字符串的个数,求f(n)满足的递推关系.

解：信道上能够传输的长度为n（n?2）的字符串可分成如下四类：

1) 最左字符为b； 2) 最左字符为c；

3) 最左两个字符为ab； 4) 最左两个字符为ac；

前两类字符串分别有f(n-1)个，后两类字符串分别有f(n-2)个。容易求出f(1)=3,f(2)=8。从而得到 f(n)=2f(n-1)+2f(n-2) (n?3) f(1)=3,f(2)=8. 9. 求解下列递推关系：

?f(n)?2f(n?1)?2f(n?2)（1）?；

?f(1)?3,f(2)?8解：先求这个递推关系的通解，它的特征方程为x2-2x－2=0

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解这个方程，得x1?1?3,x2?1?3.

所以，通解为f(n)?c1(1?3)n?c2(1?3)n. 代入初值来确定c1和c2，得c1??2?32?3，c2?.

2323 因此，f(n)?2?3?2?3(1?3)n?(1?3)n. 2323（2）??f(n)?4f(n?1)?4f(n?2)；

?f(0)?1,f(1)?3

解：此递推关系的特征方程为x2-4x+4=0 解这个方程，得x1=x2=2. 所以通解为f(n)=c12n+c2n2n.

代入初值来确定c1和c2，得c1=1，c2=1/2. 因此，f(n)=2n+2n-1n.

?f(n)??f(n?1)?3f(n?2)?5f(n?3)?2f(n?4)（3）?；

?f(0)?1,f(1)?0,f(2)?1,f(3)?2解：该递推关系的特征方程为x4+x3-3x2-5x-2=0, 解得特征根为x1=x2=x3=-1,x4=2.

所以通解为f(n)=c1(-1)n+c2n(-1)n+c3n2(-1)n+c42n.

代入初值，得c1?,c2??,c3?0,c4?.

939712因此，f(n)?(?1)n79?(?1)n13n?29?2.

n?f(n)?4f(n?1)?4f(n?2)?n?2n（4）?；

?f(0)?0,f(1)?1解：由于2是特征方程的二重根，所以该递推关系的特解为

f?(n)=n2(b1n+b0)·2n.

将它代入递推关系化简，得到 6b1=1, -6b1+2b0=0

解得b0?12

，b1?16.

而相应齐次递推关系的通解为(c0+c1n)·2n，从而非齐次递推关系的通解为

f(n)?(c0?c1n)?n????2?n?1???2n.

??62???

代入初值可得c0?0，c1??.

619

1 于是f(n)?(n3?3n2?n)?2n.

61?f(n)?nf(n?1)?n! (n?1)（5）?；

?f(0)?2解：f(1)=f(0)+1!

f(2)=2f(1)+2!=2f(0)+2*2!=2!(f(0)+2) f(3)=3f(2)+3!=6f(0)+3*3!=3!(f(0)+3) ?

f(n)=n!(f(0)+n)=n!(n+1).

?f(n)?(n?2)f(n?1) (n?1)（6）?；

f(0)?1?解：f(n)=(n+2)f(n-1)=(n+2)(n+1)f(n-2)=? =(n+2)(n+1)?3·f(0)=(n+2)!/2.

10. 在一圆周上取n个点,过每对点作一弦,且任何三条弦不在圆内共点,试

求这些弦把圆分成的区域的个数.

解：n-1个点把圆分为f(n-1)部分，在加第n个点则对于前n-1个点来说，每选3个点都有3条弦构成了一个三角形。而中间的一点和第n点的连线把中间和第n点间的弦分成了2个部分，增加了1一个域。第n个点和其它n-1个点的连线又把第1，n-1，n点构成的三角形分为n个域。 故满足条件的递推关系为

f(n)=f(n-1)+C(n-1,3)+n-1，

f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=8. 解得 f(n)=1+C(n,2)+C(n-4). 11. 设有n条椭圆曲线，两两相交于两点，任意3条椭圆曲线不相交于一点.

问这样的n个椭圆将平面分割成多少部分?

解：设f(n)表示n个椭圆将平面分割成的部分的个数，则有：一个椭圆将平面分成内、外两个部分，两个椭圆将平面分成4个部分。第二个椭圆的周界被第一个椭圆分成两部分，这恰恰是新增加的域的边界。依此类推，第三个椭圆曲线被前面两个椭圆分割成4部分，将平面分割成4＋4＝8个部分。若n－1个椭圆将平面分割成f(n-1)个部分，第n个椭圆和前n－1个椭圆两两相交于两点，共2（n－1）个交点，即新增加的域有2（n－1）个。故有 f(n)=f(n-1)+2(n-1) f(1)=2

解得f(n)=n(n-1)+2

12. 求n位十进制正数中出现偶数个5的数的个数.

解：设f(n)表示n位十进制正数中出现个5的数的个数，d=d1d2?dn-1表示n-1位十进制数，则若d含有偶数个5，则dn取5以外的任何一个数；若d含有奇数个5，则dn取5。另n-1位十进制的数共有9×10n-2个，故递推关系为

f(n)=9f(n-1)+ 9×10n-2-f(n-1)= 9×10n-2+8f(n-1) f(1)=8. 20

13. 在一个平面上画一个圆,然后一条一条地画n条与圆相交的直线.当r是

大于1的奇数时,第r条直线只与前r－1条直线之一在圆内相交.当r是偶数时,第r条直线与前r－1条直线都在圆内相交.如果无3条直线在圆内共点,这n条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？

解：当r是奇数时，它只与原来r－1条直线之一相交，因此多了两个部分； 当r是偶数时，它与原来的r－1条都相交，因此多了r个交点； 故有

f(n)=f(n-1)+2 n为奇数； f(n)=f(n-1)+n n为偶数；

14. 从1到n的自然数中选取k个不同且不相邻的数,设此选取的方案数位

f(n,k).

1) 求f(n,k)满足的递推关系； 2) 用归纳法求f(n,k)；

3) 若设1与n算是相邻的数,并在此假定下从1到n的自然数中选取k

个不同且不相邻的数的方案数位g(n,k),试利用f(n,k)求g(n,k).

解：1）有两类：选n为f(n-2,k-1)；不选n为f(n-1,k).所以 f(n,k)=f(n-2,k-1)+f(n-1,k). 2)f(n,k)=C(n-k+1,k).

3)f(n,k)=C(n-k+1,k-1)*n/k.

15. 从1到n的自然数中选取两两之差均大于r的k个数

1) 求它所满足的递推关系；

?n?rk?r?2) 证明fr(n,k)???,n?r?k(r?1)

k??解：可将本题转换为构造相应的0－1串的问题。将这样的n位0－1串与1

到n的正整数对位，与1相应的整数选取，与0相应的不取。一个0－1串对应一个选取方案。这也对应将相同的球放入不同的盒子的方案数。

k???????????10...010...01......10...01??? rrr?k?1?n?k?r(k?1)?1??n?r(k?1)?所以fr(n,k)??????。 n?k?r(k?1)k????11??Fn?116. 试证：?????F10???nnFn?

?Fn?1?证明：可用数学归纳法证明

11?，右边=?11?，成立。 1) 当n=1时，左边= ??????10??10?11??Fk?12) 假设n=k时，等式成立，则有?????F10???kkFk??. Fk?1?n=k+1时，有

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