分数阶系统的分数阶PID控制器设计

分数阶PID

第24卷第5期2007年10月

文章编号：1000 8152(2007)05 0771 06

控制理论与应用

ControlTheory&Applications

Vol.24No.5Oct.2007

分数阶系统的分数阶PID控制器设计

薛定宇,赵春娜

(东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳110004)

摘要:对于一些复杂的实际系统,用分数阶微积分方程建模要比整数阶模型更简洁准确.分数阶微积分也为描述动态过程提供了一个很好的工具.对于分数阶模型需要提出相应的分数阶控制器来提高控制效果.本文针对分数阶受控对象,提出了一种分数阶PID控制器的设计方法.并用具体实例演示了对于分数阶系统模型,采用分数阶控制器比采用古典的PID控制器取得更好的效果.

关键词:分数阶微积分;分数阶系统;分数阶控制器中图分类号:TP273文献标识码:A

FractionalorderPIDcontrollerdesignforfractionalordersystem

XUEDing-y¨u,ZHAOChun-na

(InstituteofArti cialIntelligenceandRobotics,SchoolofInformationScienceandEngineering,NortheasternUniversity,

ShenyangLiaoning110004,China)

Abstract:Fractionalordercalculusmodelcouldmodelvariousrealmaterialsmoreadequatelythanintegerorderonesandprovidesanexcellenttoolforthedescriptionofdynamicalprocesses.Thesefractionalordermodelsneedthecorre-spondingfractionalordercontrollerstobeproposed.AfractionalorderPIDcontrollerdesignmethodisproposedforthefractionalordersystemmodelinthispaper.AnexampleisalsogiventodemonstratethebetterresponseoffractionalorderPIDcontrollerincomparisonwiththeclassicalPIDcontroller.

Keywords:fractionalordercalculus;fractionalordersystem;fractionalordercontroller

1引言(Introduction)

分数阶微积分,指微分、积分的阶次可以是任意的或者说是分数的,它扩展了大家所熟知的整数阶微积分的描述能力.在很多方面应用分数阶微积分的数学模型,可以更准确地描述实际系统的动态响应.分数阶微积分的数学模型,可以提高对于动态系统的设计、表征和控制的能力.分数阶微积分不仅为工程系统提供了新的数学工具,而且对于复杂的,成比例的动态系统提供了更完善的数学模型.第1个应用分数阶微积分解决的工程问题是等时曲线问题[1].1823年,Abel发现了一个微分方程的解,这个微分方程包含了当时分数阶微积分的Riemann-Liouville定义.然而,分数阶微积分在工程中的应用仍旧受到限制,因为分数阶微积分算子的不完整,定义的不统一等.直到19世纪中期Liouville(1834)、Riemann(1847)、Gr¨unwald(1867)和Letnikov(1868)发展了分数阶微积分定义

收稿日期:2005 04 27;收修改稿日期:2006 10 26.

基金项目:教育部重点实验室资助项目;国家985项目部分资助项目.

的一般表达式.然而这些定义在工程问题中的应用也经历了很长时间.没有唯一的确切定义以及在几何运算中的不确切都引起很多问题,这就降低了分数阶微积分在科学工程中被接收和应用的速度.PID控制是控制系统中应用最广泛、技术最成熟的控制方法.由于其结构简单、鲁棒性强等特点,被广泛地应用于冶金、电力和机械等工业过程中,具有很强的生命力.将分数阶控制理论和PID控制器整定理论相结合,是一个很新的研究方向.分数阶PID控制器由I.Podlubny教授提出[2],其一般格式简记为PIλDµ.由于引入了微分、积分阶次λ和µ,整个控制器多了两个可调参数,所以控制器参数的整定范围变大,控制器能够更灵活地控制受控对象,可以期望得出更好的控制效果.可以说,分数阶PID控制器的出现是分数阶控制理论历史上的一个里程碑,为分数阶控制理论的发展奠定了基础.分数阶控制的意义就是对于古典的整数阶控制

分数阶PID

772控制理论与应用第24卷

的普遍化,它可以提供建立更多的模型,得到更鲁棒的控制结果.

近年来,分数阶控制器也越来越受到研究者们的关注.文献[3]通过最小化积分平方误差给出了一种分数阶控制器.文献[4]给出了一些分数阶控制器的数值例子.文献[5]设计了一个PIα控制器.文献[6]针对二惯性系统的速度控制提出了一个分数阶的PIαD控制器.大多数研究者考虑将分数阶控制器应用到整数阶系统来提高系统的控制效果.对于现实情况中的各种实际系统,分数阶模型能够比整数阶模型准确,也为一些动态过程的描述提供了很好的工具.针对这些分数阶系统,分数阶控制器能更好体现它的优点.本文针对分数阶系统提出一种设计分数阶控制器.

2分数阶微积分(Fractionalcalculus)

分数阶微积分就像一门新的语言一样,有它自己独特的逻辑和语法规则.在分数阶微积分领域里,为了更好地明白那些基本原则需要开发新的定义与原理.在仔细分析的基础上,还要证明对于描述函数、系统的方法和操作是正确的.因此,分数阶微积分不仅是更好的建模工具,而且还可以从数学上精确证明系统的正确性.

分数阶微积分的基本操作算子为aDα

t

,其中a和t是操作算子的上下限,α为微积分阶次[7],是一个复数,本文假定它为一实数 .

dα

dα,R(α)>0,aDα

tt= 1 ,R(α)=0,(1)ta

(dτ)( α),R(α)<0.

最常用的分数阶微积分定义是Riemann-Liouville(RL)定义和Gr¨unwald-Letnikov(GL)定义.RL定义为

f(t)=1d m

tf(τ)aDα

tΓ(m α)dt

a(t τ)1 (m α)dτ,(2)

式中(m 1<α<m),Γ(·)是著名的EulerGamma函数.GL定义为

1(t a)/haDα

Γ(k+α)tf(t)=hlim→0Γ(α)hαf(t kh),k=0Γ(k+1)

(3)

可以看到通过引入分数阶操作算子aDα

t,积分和微分可以被统一在一起.

描述分数阶系统更常用的代数工具是拉氏变换.在t=0时刻加入的信号x(t)的n(n∈R+)阶微分的拉氏变换[8]L 为

Dnx(t)

=snX(s).

对于分数阶微积分方程,如果在t=0时刻有输入与输出信号u(t)和y(t),传递函数为

a1sα1+a2sα2G(s)=

+···+ammAsαA

b2+···+b,(4)1sβ1+b2sβmβmBsB其中(am,bm)∈R2,(αm,βm)∈R2+, m∈N.

3

分数阶PID控制器(FractionalorderPID

controller)

分数阶PID控制器的一般形式为PIλDµ控制器,包括一个积分阶次λ和微分阶次µ,其中λ和µ可以是任意实数.其传递函数为

G+KI

c(s)=KPsλ+KDsµ,(λ,µ>0),(5)

这里积分项是sλ,就是说,在相频的对数图中,它的斜率是 20λdB/dec,而不是 20dB/dec.

在时域中控制信号u(t)可以表示为

KPe(t)+KID λe(t)+KDDµe(t).

(6)

古典的整数阶PID控制器是分数阶PID控制器在λ=1和µ=1时的特殊情况.当λ=1,µ=0时,就是PI控制器;当λ=0,µ=1时,就是PD控制器.可见,所有这些类型的PID控制器都是分数阶PID控制器的某一个特殊情况.分数阶PID控制器多了两个可调的参数λ和µ.通过合理地选择参数,分数阶PID控制器可以提高系统的控制效果.分数阶控制器是古典整数阶控制器的一般化.分数阶PID控制器对于用分数阶数学模型描述的动态系统,可以取到很好的控制效果.

4

分数阶控制器参数的设计(Designoffrac-tionalordercontrollerparameter)

对于实际情况中的受控对象,可以根据期望的幅值裕量Am和相位裕量φm来设计分数阶PID控制器,使其满足系统的性能要求.从幅值裕量Am和相位裕量φm的基本定义出发,动态受控对象Gp(s)和控制器Gc(s)应该满足下列关系:

φm=arg[Gc(jωg)Gp(jωg)]+π,

(7)A1

m=|G(jωG,

(8)

cp)p(jωp)|

其中ωg为

|Gc(jωg)Gp(jωg)|=1.

(9)

而ωp满足

arg[Gc(jωp)Gp(jωp)]= π.

(10)

将Gc(s)用等式(5)来代替,则可以得到下列关系:

cosπλKP+KI2

πµµωλ+KDcos(ωp

)=Rmp,(11)

p2

分数阶PID

第5期薛定宇等:分数阶系统的分数阶PID控制器设计773

KKcosπλπµP+I2

ωλ+KDcosωµg=Rmg,(12)g2 Ksinπλ2πµIµωλ+KDsinωp=Imp,

(13)p2sinπλ Kω+KπµI2Dsinωµ

λg

=Img.

(14)

g2其中:

1

Aω=Rmp+jImp,

(15)mGp(jp)

cosφm jsinφm

G=Rmg+jImg.

(16)

p(jωg)

在设计控制器时,受控对象Gp(s)和期望的幅值裕量Am、相位裕量φm都是已知的.这里有4个方程7个变量(ωp,ωg,λ,µ,KI,KP,KD).其余的3个参数可以通过使误差平方最小化来决定 :

J=∞

e2(t)dt.(17)

如果参数ωp,ωg,λ,µ是已知的,则控制器的系

数KI,KP,KD就可以唯一地确定出来:

KP=[ωλλ

pRmp ωgRmg

cotπµ(ωλλImg)]/(ωλλpImp ωgp ωg)=

[ωµ2µgRmp ωpRmg+

cotπλ2

(ωµµµωµgImp ωpImg)]/(ωg p),(18)

λλ

µKωgωp(ωg

Imp ωµpImg)I=sinπλ

ωp ω,(19)g()

KωλpImp ωλD=

gImg

sinπµ(ω .(20)

2

pωg)基于方程(18),决定的变量λ,µ,ωp和ωg应该满

足下面的约束条件:

(ωλ+µ ωλ+µmg)+(ωλ+µgp)(Rmp RpImp+

ωλ+µ

πµλ+µλ+πλgImg)cot2+(ωmg+ωµpIgImp)cot2

(cotπλπµλµλµ

2+cot2

)(ωpωgImp+ωgωpImg)=0.(21)

在最小化指标(17)和上面的约束条件下,可以确定参数λ,µ,ωp和ωg.然后,根据系统的要求来设计分数阶PID控制器.其设计算法如下:

·根据系统实际要求确定幅值裕量Am和相位裕量φm;

·由系统特征与实际经验确定分数阶控制器的阶次;

·在满足约束条件(21)与最小化指标(17)的条件下确定分数阶控制器的其余参数.

下面通过例子来形象地说明该方法.

5仿真实例(Simulationexamples)

例1文献[9]中给出了一个加热炉的例子,并分别建立了加热炉的整数阶模型和分数阶模型.加热炉的整数阶模型(integerordermodel简称为IOM)是一个二阶的微分方程

G1

Ip(s)=73043s2+4893s+1.93,

分数阶模型(fractionalordermodel简称为FOM)为

G)=

1

Fp(s14994s1.31+6009.5s0.97+1.69.加热炉的两个模型的阶跃响应如图1所示.根据他们的输出响应,得出结论分数阶系统模型要比整数阶模型更准确

.

图1加热炉的阶跃响应图

Fig.1Unitstepresponseoftheheatingfurnace

对于加热炉的整数阶模型先设计一个整数

阶PID控制器.首先将其近似为一阶滞后加延迟系统

Gs)=0.51813

Ip(e 14.97s2520.2609s+1.

根据Murrill提出的最小化IAE算法,设计的整数阶控制器(integerordercontroller简称为IOC)为

G5.04

Ic(s)=310.96+s+1113.24s.图2显示了将整数阶PID控制器分别应用到整数阶模型和分数阶系统模型的结果.从图中可以看出,将整数阶控制器应用到分数阶系统模型的效果比将其应用到整数阶模型的效果还要差.闭环的分数阶系统的调节时间和上升时间都要比整数阶系统慢,只是超调量有点降低.

基于整数阶PID控制器的参数和加热炉的分数阶模型,选取φm=π/3,Am=1.5.将λ和µ选定在(0.1,0.9)范围内,步长为0.1.图3显示了不

分数阶PID

774控制理论与应用第24卷

同的λ和µ组合得到的9×9组控制器控制分数阶模型的阶跃响应曲线.对应的Bode图如图4所示

.

图2

整数阶控制器分别控制整数阶模型和分数阶模型的闭环阶跃响应的比较

Fig.2Comparisonofunitstepresponseoftheclosed-loop

integerordermodelandtheclosed-loopfractional

ordersystemwiththesameintegerorder

controller

图3不同分数阶控制器控制分数阶系统的阶跃响应Fig.3Stepresponsesoftheclosed-loopfractionalorder

modelwithdifferentfractionalorder

controllers

图4不同分数阶控制器控制分数阶系统的Bode图Fig.4Bodeplotsoffractionalordermodelwithdifferent

fractionalordercontrollers

选择微积分的阶次分别为:λ=0.6,µ=0.3.得到的分数阶PID控制器的另外3个参数为KP=822.3831,KI= 0.6526,KD= 842.4372,因此分数阶控制器(fractionalordercontroller简称为FOC)为

G)=875.6661 0.8191

Fc(ss0.6 835.1394s0.3.

图5中比较了整数阶控制器分别控制整数阶模型和分数阶模型,分数阶控制器控制分数阶模型的Bode图.从图中可以看出,将分数阶控制器应用到分数阶模型后,控制效果有明显提高.不仅超调量变小,上升时间也很快,系统响应变快,又有较大的带宽

.

图5

分数阶控制器和整数阶控制器分别控制分数阶模型和整数阶模型的Bode图

Fig.5Comparisonofbodediagramsofthefractionalorder

modelwiththefractionalorderPIDcontroller,andthesamemodelwiththeintegerordercontroller,the

integerordermodelwiththeintegerordercontroller

例2文献[10]也给出了一个分数阶系统的例子.其分数阶系统的传递函数为:

G)=1

Fp(s0.8s2.2+0.5s0.9+1.(22)

用最小方差法,得到了该分数阶系统的整数阶近似:

G1

Ip(s)=0.7414s2+0.2313s+1.(23)

图6中显示了式(22)和式(23)所描述的系统的单位阶跃响应曲线.可以看出,该近似化本身也存在一定的误差.

Podlubny等人针对系统设计了分数阶PDµ控制器和整数阶PD控制器[10].整数阶PD控制器为

Gc(s)=20.5+2.7343s,

(24)

分数阶PDµ控制器的传递函数为

Gc(s)=20.5+3.7343s1.15.

(25)

分数阶PID

第5期薛定宇等:分数阶系统的分数阶PID控制器设计775

分别将这两个控制器应用于分数阶受控系统,图7中比较了它们的阶跃响应.可以看出分数阶PDµ控制器能够取得比整数阶控制器更好的效果.但也应该指出,由于没有积分项,稳态误差不可能为零

.

图6整数阶模型与分数阶模型的阶跃响应图

Fig.6Comparisonofunitstepresponseoftheintegerorder

modelandthefractionalorder

system

图7

整数阶控制器和分数阶PDµ控制器分别控制分数阶模型的阶跃响应

Fig.7Comparisonofunitstepresponseoftheclosed-loop

fractionalordermodelwiththeintegerorderPD

controllerandwithfractionalorderPDµcontroller

对于分数阶系统(22),应用本文提出的方法设计分数阶PID控制器.参照式(25)分数阶PDµ控制器及分数阶系统的自身特点,选取φm=π/4,Am=1.5.通过大量搜寻,选择微机分的阶次为λ=0.2,µ=1.1.得到KP=138.1817,KI=2.8914,KD=12.3820.设计的分数阶PIλDµ控制器为:

G)=138.1817+2.8914

c(ss0.2+12.3820s1.1.(26)

分数阶PIλDµ控制器控制分数阶系统的闭环阶跃响应曲线如图8所示.闭环系统的响应时间更快.

图9中比较了分数阶PDµ控制器和分数阶PIλDµ控制器分别用于分数阶系统的Bode图.可以看出,对于分数阶受控对象,本文设计的分数阶PIλDµ控制器能够取得比其他控制器更好的效果

.

图8分数阶控制器控制分数阶系统的阶跃响应图Fig.8Stepresponseoftheclosed-loopfractionalorder

modelwithfractionalorderPID

controller

图9控制器PDµ和PIλDµ分别控制分数阶模型的Bode图Fig.9Comparisonofbodediagramsofthefractionalorder

modelwiththefractionalorderPDµcontroller,and

withthefractionalorderPIλDµcontroller

6

结论(Conclusion)

本文针对分数阶动态系统提出了一种分数阶PID控制器的设计方法.并通过实例验证了对于分数阶受控对象,分数阶PID控制器可以得到比其他控制器更好的控制效果.

参考文献(References):

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第24卷

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作者简介:

薛定宇

(1963—),男,教授,博士生导师,主要研究方向为控

制系统CAD、分数阶控制、系统建模与仿真等,E-mail:xuedingyu@;

赵春娜

(1978—),女,博士,东北大学博士后流动站,主要研究

方向为分数阶系统控制与模式识别,E-mail:chunnazhao@.

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下期要目

基于T-S模型的轮式移动机器人轨迹跟踪控制················································高兴泉,陈实际输入饱和的一类非完整运动学系统的镇定················································刘基于马氏决策过程的概率离散事件系统最优控制····································王

虹

毅,王朝立

飞,冯祖仁,胡奇英

高速车辆结构振动的独立模态空间控制······················································陆正刚,胡用生T-S模糊系统的稳定性分析与镇定控制器设计·································周林娜,张庆灵,胡跃冰,杨春雨静态混成自动电压控制的研究················································胡伟,张雪敏,梅生伟,卢强基于自适应观测器的无速度传感器感应电机控制·····················黄志武,桂卫华,年晓红,单勇腾,刘心昊蚁群协同模式搜索算法及其收敛性分析···············································冯远静,俞立,冯祖仁基于神经网络的非线性系统预测函数控制·····················································张日东,王树青无线传感网络中覆盖能效动态控制优化策略··········································王雪,马俊杰,王晟考虑铁损的电动汽车用感应电机矢量控制及其能量优化策略··························李基于小波包分析及神经网络的汽轮机转子振动故障诊断·······················梁

珂,张承慧,崔纳新

卡尔曼滤波焊缝跟踪控制············································高向东,陈永平,袁弱男,李桂华,陈章兰

平,白蕾,龙新峰,范立莉

冀,张建明

简化E.Coli觅食优化算法及其在非线性模型参数辨识中的应用···············刘益剑,方彦军,孙

基于HPSO的钢坯加热过程炉温优化设定·····································廖迎新,吴敏,佘锦华,曹卫华

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q7b1.html