江苏省苏州园区2019届高三4月联考数学试题

2019届江苏苏州园区高三年级联考试卷(2019.4.24)

数 学 试 题

参考公式：锥体的体积公式：V?1Sh，其中S为锥体的底面积,h为高. 3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

2*1．设集合M?x|x?1?0，集合N?y|y?3,y?N，则M????N? 。

开始 2．若复数z?1?i（其中i为虚数单位），则|z?2|? 。 i3．为了解1000名学生的学习情况，现采用系统抽样的方法 输入m, n 从中抽取容量为40的样本，则抽样中分段的间隔为 。 4．有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有3个完全相同的小球， 球上分别标有数字1，2，3. 甲从其中一个箱子中随机摸出一个球，求 m除以n的余数r 乙从另一个箱子中随机摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就 获胜（若数字相同则为平局），则甲没有获胜的概率为 。 m←n 5．“a??4”是“抛物线x2?ay(a?0)的准线恰好与双曲线y2?x2?2 的一条准线重合”的 条件（选填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）。 否 r = 0? 6．图中的程序框图描述的是“欧几里得辗转相除法”的算法。若输入m?37，n?5，则输出

m? 。 是 输出m ?x?y?2?0?7．若变量x,y满足?x?2y?4?0，则x2?y2的最小值为 。 ?4y?5A 结束 ?8．四面体ABCD沿棱DA,DB,DC剪开，将面ADB，面ADC和 面BDC展开落在平面ABC上，恰好构成一个边长为1的正方形 AEGF（如图所示），则原四面体的体积为 。

9．设函数f(x)?sin(2x??)(0????)在x?n←r F(D) 第6题图 C D G(D) E(D)

B ?2处取得最值，若数列?xn?是首项与公差均为

?的4等差数列，则f(x1)?f(x2)?f(x3)?????f(x2015)的值为 。 10．奇函数f(x)与偶函数g(x)的图象分别 如图甲与图乙所示，设方程f(g(x))?0 与g(f(x))?0的实根个数分别为a,b， 则a?b的值为 。

11．设正实数x,y满足2x?y?2，

-1 O -2 -1 第10题图(乙)

y 2 y 1 1 2 x -1 O ·1· 1 x -2 第10题图(甲)

21?的最小值为 。 x?1y12．已知圆O的半径为1，A,B是圆上的两

?点，且?AOB?，MN是圆O的任意

31一条直径，若点C满足OC??OA?(1??)OB(??R)，则CM?CN的最小值为 。

213．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(?2,2)，B(2,6)，一条直线l过点(0,m)，且与单

则

位圆x2?y2?1恒相切. 若有且只有两个点P满足：①PA?PB??4；②点P到直线l的距离为1，则实数m的取值范围是 。

14．设等差数列?an?的各项均为整数，其公差d?0，a5?6，若无穷数列

a3,a5,an1,an2,???,ant,???(5?n1?n2?????nt????)构成等比数列，则数列?an?的前2019项中是该

等比数列中项的个数为 。

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

已知函数f(x)?Asin(?x??)?B(A?0,??0,|?|??)的部分图象如图所示. （1）求函数f(x)的解析式； （2）若g(x)?f(x??)?f(x?)，求函数g(x)在区间[0,?]上的单调减区间. 33y 3 ??

16．(本小题满分14分) （1）求证：A1R//平面APQ； （2）求证：平面APQ?平面ABC1.

·2·

? 12O 5? ﹣1 12

x 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，BB1?BC，点P,Q,R分别是棱BC,CC1,B1C1的中点.

A1 B1 R Q C P

B

C1

A

x2y2317．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，上顶点为B，

ab21直线l:y?x与椭圆E交于C,D两点，且?BCD的面积为2. 2（1）求椭圆E的标准方程； （2）设点P是椭圆E上一点，过点P引直线m，其倾斜角与直线l的倾斜角互补. 若直线m与椭圆E相交，另一交点为Q，且直线m与x,y轴分别交于点M,N，求证：QM2?QN2为定值。

y

B l

P M D

O x

N C m Q 18．如图所示，某镇有一块空地?OAB，其中OA?3km，OB? 33km，?AOB?90?. 当地镇

政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖?OMN，其中M,N都在边A,B上，且?MON?30?，挖出的泥土堆放在?OAM地带上形成假山，剩下的?OBN地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在?OAN的一周安装防护网.

3km时，求防护网的总长度； 2（2）若要求挖人工湖用地?OMN的面积是堆假山用地?OAM的面积的3倍，试确定?AOM的大

（1）当AM?小；

（3）为节省投入资金，人工湖?OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使?OMN 的面积最小？最小面积是多少？

B

N

M 19．设a?0，且a?1，数列?an?的前n项和为Sn，已知数列?logaSn?是首项为0，公差为1的等A O 差数列.

（1）求数列?an?的通项公式；

（2）设m是给定的正整数，a?2，数列?bn?满足bn??

1?n?m,?b2m?n?1,.

?an?an?1,m?1?n?2m①当m?10时，求数列?bn?的前n项和Tn(n?20)； ②设数列?cn?满足cn?

·3·

n?4，试求数列?cn?中最大项的值. bn

12kx?2x?klnx（k?R）. 211（1）当k?时，求函数f(x)在[,4]上的最大值；

221

（2）若函数f(x)在区间(,4)上不单调，求k的取值范围；

2

20．已知函数f(x)?f(b)?f(a)在区间(a,b)b?a上有唯一的零点.（参考公式：若h(x)?f(g(x))，则h?(x)?f?(g(x))?g?(x)）

（3）当k?2时，设[a,b]?[1,2]，其中a?b，试证明：函数?(x)?f?(x)?

2019届高三年级联考试卷

数学参考答案

1．?2? 2．10 3．25 4．9．?1 10．14 11．

2171 5．充要 6．1 7． 8． 38249 12．2 13．(??,?2)(1,2) 14．7 4?A?B?3?A?2

15．解：（1）由图知?，解得?， …………2分

??A?B??1?B?1

T5????(?)?，所以T??，故??2， …………4分 又?212122所以f(x)?2sin(2x??)?1，将点(??12,?1)代入，得??2k??·4·

?3(k?Z)，

再由|?|??，得???（2）因为g(x)?f(x??3，所以f(x)?2sin(2x??3)?1. …………6分

)?f(x?)?2sin(2x?)?2sin(2x??)?2 333?3cos2x?sin2x?2

????2cos(2x?)?2， ………10分

6??5??x?k??由2k??2x??2k???，解得k??(k?Z)，

612125?11?],[,?]. ………14分 又x?[0,?]，故所求的单调减区间为[0,121216．证明：（1）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC//B1C1且BC?B1C1，

而点P,R分别是棱BC,B1C1的中点，所以BP//B1R且BP?B1R，

所以四边形BPRB1是平行四边形， ………2分 即PR//BB1且PR?BB1，又AA1//BB1且AA1?BB1，所以PR//AA1且PR?AA1， 即四边形APRA1是平行四边形，所以AP//A1R， ………4分 又A1R?平面APQ，所以A1R//平面APQ. ………6分 （2）因BB1?BC，所以四边形BCC1B1是正方形，所以B1C?BC1，

又点P,Q分别是棱BC,C1C1的中点，即PQ//BC1，所以B1C?PQ. ………8分 因AB?AC，点P是棱BC的中点，所以AP?BC，

由直三棱柱ABC?A1B1C1，知BB1?底面ABC，即BB1?AP，

所以AP?平面BCC1B1，即AP?B1C， ………10分

所以B1C?平面APQ， ………12分

??平面ABC又B1C?平面ABC1，所以平面APQ1. ………14分

17．解：（1）由e?3212c322，得c?a，b?a， ………2分 ?44a21?y?x?22联立?，得D(2a,a)，

22224??x?4y?a222210，………4分

a)?(a)?a242aa又上顶点B(0,)到直线l的距离为d?，

25所以CD?2(1110a22CD?d??a??a?2， 22245x22解得a?4，即椭圆的方程为?y2?1. ………8分

4所以?BCD的面积为S?·5·

1x12（2）设Q(x1,y1)，则?y12?1，因为直线m与直线l的倾斜角互补，所以km??kl??，

241所以直线m的方程为y?y1??(x?x1)，

21令y?0，得M(x1?2y1,0)；令x?0，得N(0,x1?y1). ………10分

21252222222所以QM?QN?(2y1)?y1?x1?(x1)?x1?5y1

24x12?5(?y12)?5. ………14分

4x02方法2：设P(x0,y0)，则?y02?1，因为直线m与直线l的倾斜角互补，

41所以km??kl??，

21所以直线m的方程为y?y0??(x?x0)，

21令y?0，得M(x0?2y0,0)；令x?0，得N(0,x0?y0). ………10分

2?x2?y2?1??422联立?，消去x，得8y?4y(x0?2y0)?(x0?2y0)?4?0，

?y?y??1(x?x)00??21解得Q(2y0,x0)， ………12分

212x0222222所以QM?QN?x0?x0?4y0?y0?5(?y02)?5. ………14分

4418．解：（1）在?OAB中，因为OA?3，OB?33，?AOB?90?，所以?OAB?60?，

3在?AOM中，OA?3,AM?,?OAM?60?，

233由余弦定理，得OM?， ………2分

2222所以OM?AM?OA，即OM?AN，所以?AOM?30?，

所以?OAN为正三角形，所以?OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km. ………4分

（2）设?AOM??(0????60?)，因为S?OMN?3S?OAM，

11ON?OMsin30??3?OA?OMsin?，即ON?63sin?， ………6分 22ONOA333??在?OAN中，由，得ON?， ………8分

sin60?sin(??60??30?)cos?2cos?所以

·6·

133，即sin2??，由0??2??120?，

22cos?得2??30?，所以??15?，即?AOM?15?. ………10分

33（3）设?AOM??(0????60?)，由（2）知ON?，

2cos?OMOA33又在?AOM中，由，得OM?， ………12分 ?sin60?sin(??60?)2sin(??60?)127所以S?OMN?OM?ON?sin30??

216sin(??60?)cos?27? 1338(sin2??cos2??)22227， ………14分 ?8sin(2??60?)?43从而63sin??所以当且仅当2??60??90?，即??15?时，?OMN 的面积取最小值为27(2?3)km2.

4 ………16分 19．解：（1）由题意得logaSn?n?1，所以Sn?an?1， ………2分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?an?1?an?2?(a?1)an?2，又a1?S1?1，不适合上式， 所以an??1,n?1,?. ………4分 n?2?(a?1)a,n?2n?1,?b20?n?1,1?n?10,?1,m?10；又，所以， b??nn?2?2,n?2?an?an?1,11?n?20 则当11?n?20时，bn?an?an?1?22n?3；当1?n?10时，bn?b20?n?1?239?2n，

（2）因为a?2，所以an???239?2n,1?n?10,即bn??2n?3， ………6分

2,11?n?20?373539?2n ①[1]当1?n?10时，Tn?b1?b2?????bn?2?2?????2

237(1?4?n)239(1?2?2n)??； ………8分

1?4?13[2]当11?k?20时，Tn?T10?b11?b12?????bn

239(1?2?20)19239(1?2?20)219(1?4n?10)212n?3?2?2?????2?? ?

331?4220(219?1)?22n?1?.

3?239(1?2?2n),1?n?10,??3综上所述，Tn??2019 ………10分 2n?1?2(2?1)?2,11?n?20.?3?·7·

?n?4,1?n?m,??2,1?n?m,?24m?2n?1②因为bn??2n?3，所以cn??，

n?42,m?1?n?2m??,m?1?n?2m??22n?3n?3n?43n?8[1]当1?n?m?1时，因为cn?1?cn?4m?2n?3?4m?2n?1?4m?2n?1，所以

222（Ⅰ）若1?m?3，则cn?1?cn?0，此时c1?c2?????cm；

（Ⅱ）若m?4，则当n?1,2时，cn?1?cn?0；当3?n?m?1时，cn?1?cn?0，

4m?2n?1此时c1?c2?c3?c4?????cm； ………12分

(m?1)?4m?41???0，所以cm?1?cm；

22m?122m?122m?1n?3n?413?3n[3]当m?1?n?2m?1时，因为cn?1?cn?2n?1?2n?3?2n?1，所以

222（Ⅰ）若1?m?3，则当m?1?n?4时，cn?1?cn?0；当5?n?2m?1时，cn?1?cn?0，此时c4?c5?c6?????c2m；

[2]当n?m时，因为cn?1?cn?（Ⅱ）若m?4，则cn?1?cn?0，此时cm?1?cm?2?????c2m. ………14分 从而：[A]当m?1时，因为c1?c2，所以?cn?的最大项为c2??1；

[B]当m?2时，因为c1?c2?c3?c4，且c1?0?c4，所以?cn?的最大项为c4?0； [C]当m?3时，因为c1?c2?c3?c4?c5?c6，而c1??31?c?5117，所以此时的最大项为221； 27[D]当m?4时，因为c1?c2?c3?c4?????cm?cm?1?cm?2?????c2m，

3m?3m?3而c1??4m?3?cm?1?2m?1，所以此时?cn?的最大项为cm?1?2m?1. ………16分

222c5?（说明：本题的结论也可以叙述为：

（A）当m?1或m?4时，?cn?的最大项为cm?1?（B）当m?2或m?3时，?cn?的最大项为cm?2

m?3； 22m?1m?2?2m?1.） 2112111x2?4x?1?20．解：（1）当k?时，f(x)?x?2x?lnx，则f?(x)?x?2?，

24222x2x·8·

由f?(x)?0，得x?2?3或x?2?3（舍）， ………2分

列表如下： x f?(x) f(x) 1 2 1(,2?3) 2－ 2?3 0 (2?3,4) ＋ 4 115?ln2? 递减 取极小值 递增 ln2?4 2161115349?0， 因为f(4)?f()?ln2?4?(?ln2?)?ln2?221621611151所以函数f(x)在[,4]上的最大值为f()??ln2?. ………4分

2216211（2）先考虑问题的反面，即若f(x)在区间(,4)上单调，则f?(x)?0对x?(,4)恒成立或

221f?(x)?0对x?(,4)恒成立. ………6分

21kkx2?2x?k22因为f?(x)?kx?2??，则kx?2x?k?0对x?(,4)恒成立或kx?2x?k?02xx1对x?(,4)恒成立. ………8分

22x12x1即k?2对x?(,4)恒成立或k?2对x?(,4)恒成立，

x?12x?1288所以k?1或k?，从而所求的k的取值范围是(,1). ………10分

171722（3）当k?2时，f(x)?x?2x?2lnx，则f?(x)?2x?2?，

x2f(b)?f(a)22)?2?2，所以?(x)?2x?2??，则??(x因为1?x?2，所以??(x)?2?2?0，

xb?axx故?(x)在区间[a,b]上单调递增，从而原命题等价于：要证明?(a)?0??(b)……12分

2f(b)?f(a)2?2b?2?， 即证2a?2??ab?ab2(b2?2b?2lnb)?(a2?2a?2lna)2?2b?2?， 只要证2a?2??ab?ab2lnb?lna2?b?a? ①， 只要证a?b??2?ab?ablnb?lna2?b?a? ②，令t?b?a，则b?t?a， [1]先证：2?b?abt2t2所以1?a?t?a?2，只需证：2ln(1?)?t? ③，

aa?t2tt2?2ln(1?)，令h(t)?t?（0?t?1）， a?ta·9·

2a22t[(t?a)2?1]则h?(t)?2t????0，所以h(t)在（0，1）上单调递增，于是

(a?t)2a?t(a?t)2h(t)?h(0)?0，所以③式与②式成立. ………14分

2lnb?lna[2]再证：a?b??2? ④，令t?b?a，则b?t?a，

ab?a2tt2?2ln(1?) ⑤， 所以1?a?t?a?2，只需证：?t?aat2t2t[a(t?a)?1]2?0，所以m(t)在（0，1）令m(t)?2ln(1?)?t?，（0?t?1），则m?(t)?aaa(a?t)上单调递增，于是m(t)?m(0)?0，所以⑤式成立，从而④式也成立.

综上所述，不等式①成立，故原命题成立. ………16分

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