2019年山东省潍坊市中考数学二模试卷(含答案解析)

- 1 - 2019年山东省潍坊市中考数学二模试卷

姓名： 得分： 日期：

一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）

1、(3分) 当a ＞0时，下列关于幂的运算正确的是（ ）

A.a 0=1

B.a -1=-a

C.（-a ）2=-a 2

D.a 【formula error 】=1

a 2

2、(3分) 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

3、(3分) 下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）

A.①

B.②

C.③

D.④

4、(3分) 下列运算正确的是（ ）

A.a-（b+c ）=a-b+c

B.2a 2?3a 3=6a 5

C.a 3+a 3=2a 6

D.（x+1）2=x 2+1

5、(3分) 如图，⊙O 的直径AB=4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC=5，则AD

的长为

- 2 - （ ）

A.65

B.85

C.√75

D.2√35

6、(3分) 若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ ）

A.-1或2

B.1或-2

C.-2

D.1 7、(3分) 如图，在直角坐标系中，点A 在函数

y=4

x （x ＞0）的图象上，AB⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y=4

x （x ＞0）的图象交于点D ，连结AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于（ ）

A.2

B.2√3

C.4

D.4√3

8、(3分) 从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（ ）

A.14

B.12

C.34

D.1

9、(3分) 如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE⊥AB ，AF=2AE ，FC 交BD 于O ，则∠DOC

- 3 - 的度数为（ ）

A.60°

B.67.5°

C.75°

D.54°

10、(3分) 已知抛物线

y=1

4x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（√3，3），P 是抛物线y=1

4x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

11、(3分) 如图，在Rt△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC 绕A 点顺时针旋转90°得到Rt△ADE ，则BC 扫过的面积为（ ）

A.π2

B.（2-√3）π

C.2?√32π

D.π

12、(3分) 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=√33x ?√33与x 轴交于点B 1，以OB 1为边作等

边三边形A 1OB 1，过点A 1作A 1B 2平行于x 轴，交直线l 于点B 2，以A 1B 2为边长作等边三角形A 2A 1B 2，过点A 2作A 2B 3平行于x 轴，交直线l 于点B 3，以A 2B 3为边长作等边三角形A 3A 2B 3，…，则点A 2017的横坐标是（ ）

- 4 - A.

22017?14 B.22017-1 C.22017 D.22017?12

二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）

13、(3分) 已知x+y=√3，xy=√6，则x 2y+xy 2的值为______．

14

、(3分) 两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则∠AOB 等于______度． 15、(3分) 如图，正三棱柱的底面周长为9，截去一个底面周长为3的正三棱柱，所得几何体的

俯视图的周长是______．

16、(3分) 一般地，当α、β为任意角时，tan （α+β）与tan （α-β）的值可以用下面的公式求

得：tan （α±β）=tanα±tanβ1?tanα?tanβ．例如：tan15°=tan （45°-30°）

=tan45°?tan30°1+tan45°?tan30°=

1?√331+1×√33=√33+√3=√3)2(3+√3)(3?√3)=2-√3．请根据以上材料，求得tan75°的值为______． 17、(3分) 若数a 使关于x 的分式方程2x?1+a 1?x =4的解为正数，且使关于y ，不等式组{y+2

3?y 2＞13(y ?a)≤0

的解集为y ＜-2，则符合条件的所有整数a 的和为______ ． 18、(3分) 观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)

解：设S=1+2+22+…+210，①

①×2得2S=2+22+23+…+211，②

②-①得S=211-1．

所以，1+2+22+…+210=211-1

运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32018=______．

三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分）

19、(7分) 小明在某次作业中得到如下结果：

sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.9945，

sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.0018，

- 5 - sin 229°+sin 261°≈0.482+0.872=0.9873，

sin 237°+sin 253°≈0.602+0.802=1.0000，

sin 245°+sin 245°=（√22）2+（√22）2=1． 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin 2α+sin 2（90°-α）=1．

（Ⅰ）当α=30°时，验证sin 2α+sin 2（90°-α）=1是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

20、(8分) 小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t （单位：分），将获得的数据分成四组，绘制如下统计图（A ：0＜t≤10，B ：10＜t≤20，C ：20＜t≤30，D ：t ＞30），

根据图中信息，解答下列问题：

（1）这项被调查的总人数是多少人？ （2）试求表示A 组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；

（3）如果小明想从D 组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．

21、(8分) 如图，已知在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD ，DE ．

（1）若AD AB =13，求sinC ；

（2）求证：DE是⊙O的切线．

22、(9分) 如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角

∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高7cm．

（1）求单摆的长度；

（2）求从点A摆动到点B经过的路径长．

23、(10分) 自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．

（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．

- 6 -

24、(11分) 如图，对称轴为直线x=

7

2

的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

25、(13分) 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．

（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；

（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；

（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC?CF的值．

- 7 -

2019年山东省潍坊市中考数学二模试卷

【第 1 题】

【答案】

A

【解析】

解：A、a0=1（a＞0），正确；

B、a-1=1

a ，故此选项错误；

C、（-a）2=a2，故此选项错误；

D、a【formula error】=√a（a＞0），故此选项错误．

故选：A．

分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即可．

此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．

【第 2 题】

【答案】

D

【解析】

解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．

故选：D．

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

【第 3 题】

【答案】

C

【解析】

- 8 -

解：①作一个角等于已知角的方法正确；

②作一个角的平分线的作法正确；

③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；

④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．

故选：C．

利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．

此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．

【第 4 题】

【答案】

B

【解析】

解：A、原式=a-b-c，故本选项错误；

B、原式=6a5，故本选项正确；

C、原式=2a3，故本选项错误；

D、原式=x2+2x+1，故本选项错误；

故选：B．

根据去括号，单项式的乘法，合并同类项以及完全平方公式进行解答．

本题考查了单项式乘单项式，整式的加减，完全平方公式，熟记计算法则和完全平方公式即可解题．

【第 5 题】

【答案】

B

【解析】

解：连接BD．

∵AB是直径，∴∠ADB=90°．

- 9 -

∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，

∴cos∠BOC=OB

OC =2 5

，

∴cos∠A=cos∠BOC=2

5

．

又∵cos∠A=AD

AB

，AB=4，

∴AD=8

5

．

故选：B．

首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直

径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则c os∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．

本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．此题是一个综合题，难度中等．

【第 6 题】

【答案】

D

【解析】

解：∵x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根，

∴x1+x2=2m，x1?x2=m2-m-1．

∵x1+x2=1-x1x2，

∴2m=1-（m2-m-1），即m2+m-2=0，

解得：m1=-2，m2=1．

∵方程x2-2mx+m2-m-1=0有实数根，

∴△=（-2m）2-4（m2-m-1）=4m+4≥0，

解得：m≥-1．

∴m=1．

故选：D．

根据根与系数的关系结合x1+x2=1-x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出

m的取值范围，从而可确定m的值．

本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系以及x1+x2=1-x1x2，找出关

于m的一元二次方程是解题的关键．

【第 7 题】

【答案】

C

- 10 -

- 11 - 【 解析 】

解：设A （a ，4a ），可求出D （2a ，2a ），

∵AB⊥CD ， ∴S 四边形ACBD =12AB?CD=12×2a×4a =4， 故选：C ．

设A （a ，4a ），可求出D （2a ，2a ），由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可．

本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A 和点B 的坐标．

【 第 8 题 】

【 答 案 】

B

【 解析 】

解：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，

其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，

则P （能构成三角形）=24=12，

故选：B ．

列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．

此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，其中概率=所求情况数与总情况数之比．

【 第 9 题 】

【 答 案 】

A

【 解析 】

解：如图，连接DF 、BF ．

- 12 - ∵FE⊥AB ，AE=EB ，

∴FA=FB ，

∵AF=2AE ，

∴AF=AB=FB ，

∴△AFB 是等边三角形，

∵AF=AD=AB ，

∴点A 是△DBF 的外接圆的圆心， ∴∠FDB=12∠FAB=30°，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=BC ，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，

∴∠FAD=∠FBC ，

∴△FAD≌△FBC ，

∴∠ADF=∠FCB=15°，

∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．

故选A ．

解法二：连接BF ．易知∠FCB=15°，∠DOC=∠OBC+∠FCB=45°+15°=60°

如图，连接DF 、BF ．如图，连接DF 、BF ．首先证明∠FDB=12∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC ，

推出∠ADF=∠FCB =15°，由此即可解决问题．

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

【 第 10 题 】

【 答 案 】

C

【 解析 】

解：过点M 作ME⊥x 轴于点E ，交抛物线y=14x 2+1于点P ，此时△PMF 周长最小值， ∵F （0，2）、M （√3，3），

∴ME=3，FM=√(√3?0)2+(3?2)2=2，

∴△PMF 周长的最小值=ME+FM=3+2=5．

故选：C ．

过点M 作ME⊥x 轴于点E ，交抛物线y=14x 2+1于点P ，由PF=PE 结合三角形三边关系，即可

得出此时△PMF 周长取最小值，再由点F 、M 的坐标即可得出MF 、ME 的长度，进而得出△PMF 周长的最小值．

本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P的位置是解题的关键．

【第 11 题】

【答案】

D

【解析】

解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，

∴AC=2√3，AB=4，

∵将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到Rt△ADE，

∴△ABC的面积等于△ADE的面积，∠CAB=∠DAE，AE=AC=2√3，AD=AB=4，

∴∠CAE=∠DAB=90°，

∴阴影部分的面积S=S扇形BAD+S△ABC-S扇形CAE-S△ADE

=90π×42

360+1

2

×2×2√3-90π×(2√3)2

360

-1

2

×2×2√3=π．

故选：D．

解直角三角形得到AC，AB，根据旋转推出△ABC的面积等于△ADE的面积，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

本题考查了三角形、扇形的面积，旋转的性质，勾股定理等知识点的应用，解此题的关键是把求不规则图形的面积转化成求规则图形（如三角形、扇形）的面积．

【第 12 题】

【答案】

D

【解析】

- 13 -

- 14 - 解：由直线l ：y=√33x ?√33与x 轴交于点B 1，可得B 1（1，0），D （0，-√33）， ∴OB 1=1，∠OB 1D=30°， 如图所示，过A 1作A 1A⊥OB 1于A ，则OA=12OB 1=12，

即A 1的横坐标为12=21?12，

由题可得∠A 1B 2B 1=∠OB 1D=30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O=60°，

∴∠A 1B 1B 2=90°，

∴A 1B 2=2A 1B 1=2， 过A 2作A 2B⊥A 1B 2于B ，则A 1B=12A 1B 2=1，

即A 2的横坐标为12+1=32=22?1

2，

过A 3作A 3C⊥A 2B 3于C ，

同理可得，A 2B 3=2A 2B 2=4，A 2C=12A 2B 3=2，

即A 3的横坐标为12+1+2=72=

23?12，

同理可得，A 4的横坐标为12+1+2+4=15

4=

24?12， 由此可得，A n 的横坐标为

2n ?12， ∴点A 2017的横坐标是

22017?12， 故选：D ．

先根据直直线l ：y=√33x ?√33与x 轴交于点B 1，可得B 1（1，0），OB 1=1，∠OB 1D=30°，再过

A 1作A 1A⊥O

B 1于A ，过A 2作A 2B⊥A 1B 2于B ，过A 3作A 3C⊥A 2B 3于

C ，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A 1的横坐标为

21?1

2，A 2的横坐标为22?12，A 3的横坐标为23?12，进而得到A n 的横坐标为2n ?12，据此可得点A 2017的横坐标．

本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得A n 的横坐标为

2n ?12．

【 第 13 题 】

【 答 案 】

3√2

【 解析 】

解：∵x+y=√3，xy=√6，

∴x2y+xy2

=xy（x+y）

=√6×√3

=√18

=3√2，

故答案为：3√2．

根据x+y=√3，xy=√6，可以求得x2y+xy2的值．

本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确因式分解的方法，利用题目中的已知条件解答．

【第 14 题】

【答案】

108

【解析】

解：如图，

由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，

∠5=∠6=180°-108°=72°，

∠7=180°-72°-72°=36°．

∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°，

故答案为：108．

根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的

和差，可得答案．

本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．

【第 15 题】

【答案】

8

【解析】

解：从上边看是一个梯形：上底是1，下底是3，两腰是2，

周长是1+2+2+3=8，

故答案为：8．

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从上边看是一个等腰梯形是解题关键．

- 15 -

- 16 -

【 第 16 题 】

【 答 案 】

2+√3

【 解析 】

解：tan75°=tan （45°+30°）=tan45°+tan30°1?tan45°?tan30°=

1+√331?1×√33=√33?√3=√3)2(3?√3)(3+√3)=2+√3．

故答案为：2+√3．

根据给定的公式，将tan45°=1，tan30°=√33代入tan75°=tan45°+tan30

°1?tan45°?tan30°中即可求出结论．

本题考查了解直角三角形以及平方差公式，根据给定公式找出tan75°=tan45°+tan30°1?tan45°?tan30°是解题的关键．

【 第 17 题 】

【 答 案 】

10 【 解析 】

解：分式方程2x?1+a 1?x =4的解为x =6?a 4且x≠1，

∵关于x 的分式方程2x?1+a 1?x =4的解为正数，

∴6?a

4＞0且6?a

4≠1，

∴a ＜6且a≠2．

{y +2?y ＞1①3(y ?a)≤0②

解不等式①得：y ＜-2； 解不等式②得：y≤a ．

∵关于y 的不等式组{y+2

3?y

2＞13(y ?a)≤0的解集为y ＜-2， ∴a≥-2．

∴-2≤a ＜6且a≠2．

∵a 为整数，

∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，

（-2）+（-1）+0+1+3+4+5=10．

故答案为：10．

根据分式方程的解为正数即可得出a ＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y ＜-2，即可得出a≥-2，

- 17 - 找出-2≤a ＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．

本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y ＜-2，找出-2≤a ＜6且a≠2是解题的关键．

【 第 18 题 】

【 答 案 】

32019?12

【 解析 】

解：令s=1+3+32+33+ (32018)

等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+ (32019)

两式相减得：2s=32019-1，

∴s=32019?12，

故答案为：32019?12．

令s=1+3+32+33+…+32018，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．

本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．

【 第 19 题 】

【 答 案 】

解：（1）当α=30°时，

sin 2α+sin 2（90°-α）

=sin 230°+sin 260°

=（12）2+（√3

2）2

=14+34 =1；

（2）小明的猜想成立，证明如下：

如图，在△ABC 中，∠C=90°，

设∠A=α，则∠B=90°-α，

∴sin 2α+sin 2（90°-α）

- 18 - =（BC AB ）2+（AC AB ）2

=BC 2+AC 2

AB 2

=AB 2AB 2

=1．

【 解析 】

（1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；

（2）设∠A=α，则∠B=90°-α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．

本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．

【 第 20 题 】

【 答 案 】

解：（1）调查的总人数是：19÷38%=50（人）；

（2）A 组所占圆心角的度数是：360°×

15

50=108°；

C 组的人数有：50-15-19-4=12（人），

补全条形图如图所示：

（3）

画树状图，共有12个可能的结果，

恰好选中甲的结果有6个，

∴P （恰好选中甲）=612=12．

【 解析 】 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；（2）用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；

（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．

【第 21 题】

【答案】

（1）解：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠BAC=90°，

∴∠C=∠ABD，

∵AD AB =1 3

，

∴sin∠ABD=1

3

，

∴sinC=1

3

；

（2）证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDC=90°，

∵E为BC的中点，

∴DE=BE=CE，

∴∠EDB=∠EBD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ABC=90°，

∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

【解析】

（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再利用同角的余角相等证明∠C=∠ABD，进而可得答案．（2）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出

DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．

- 19 -

- 20 - 本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理的应用和三角函数，解此题的关键是求出∠ODE=90°，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【 第 22 题 】

【 答 案 】

解：（1）如图，过点A 作AP⊥OC 于点P ，过点B 作BQ⊥OC 于点Q ，

∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF ，

∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°，

设OA=OB=x ，

则在Rt△AOP 中，OP=OAcos∠AOP=12x ， 在Rt△BOQ 中，OQ=OBcos∠BOQ=√32x ，

由PQ=OQ-OP 可得√32x-12x=7，

解得：x=7+7√3cm ，

答：单摆的长度为7+7√3cm ；

（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB=7+7√3，

∴∠AOB=90°，

则从点A 摆动到点B 经过的路径长为

90?π?(7+7√3)180=7+7√32

π， 答：从点A 摆动到点B

经过的路径长为7+7√32πcm ． 【 解析 】

（1）作AP⊥OC 、BQ⊥OC ，由题意得∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x ，根据三角函数得OP=OAcos∠AOP=12x 、OQ=OBcos∠BOQ=√32x ，由PQ=OQ-OP 可得关于x 的方程，解之可得； （2）由（1）知∠AOB=90°、OA=OB=7+7√3，利用弧长公式求解可得．

本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意构建直角三角形，利用三角函数的定义表示出所需线段的长度及掌握弧长公式是解题的关键．

【 第 23 题 】

【 答 案 】

- 21 - 解：（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x+10）元．

由题意：16000x+10=7500x ×2，

解得x=150，

经检验x=150是分式方程的解，

答：一件B 型商品的进价为150元，则一件A 型商品的进价为160元．

（2）因为客商购进A 型商品m 件，所以客商购进B 型商品（250-m ）件．

由题意：v=80m+70（250-m ）=10m+17500，

∵80≤m≤250-m ，

∴80≤m≤125，

（3）设利润为w 元．则w=（80-a ）m+70（250-m ）=（10-a ）m+17500，

①当10-a ＞0时，即0＜a ＜10时，w 随m 的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750-125a ）元．

②当10-a=0时，最大利润为17500元．

③当10-a ＜0时，即10＜a≤80时，w 随m 的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300-80a ）元．

【 解析 】

（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；

（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；

（3）设利润为w 元．则w=（80-a ）m+70（250-m ）=（10-a ）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题．

本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．

【 第 24 题 】

【 答 案 】

解：（1）因为抛物线的对称轴是x=72，

设解析式为y=a （x-72）2+k ．

把A ，B 两点坐标代入上式，得{a(6?72)2+k =0a(0?72)2+k =4

， 解得a=23，k=-256． 故抛物线解析式为y=23（x-72）2-256，顶点为（72，-256）．

（2）∵点E （x ，y ）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=23（x-72）2-256，

∴y ＜0，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q74e.html