高二数学(人教版)选修4-5教案:第08课时 不等式的证明方法之 -
更新时间:2024-03-18 19:03:01 阅读量: 综合文库 文档下载
就像是特别的云彩课 题: 第08课时 不等式的证明方法之一:比较法 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入:
要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质:
a?b?a?b?0
a?b?a?b?0 a?b?a?b?0
二、典型例题:
例1、设a?b,求证:a2?3b2?2b(a?b)。
2422例2、若实数x?1,求证:3(1?x?x)?(1?x?x).
证明:采用差值比较法:
3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2
=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x =2(x?x?x?1) =2(x?1)(x?x?1) =2(x?1)[(x?22424234322123)?]. 2413?x?1,从而(x?1)2?0,且(x?)2??0,
241232∴ 2(x?1)[(x?)?]?0,
24∴ 3(1?x?x)?(1?x?x).
讨论:若题设中去掉x?1这一限制条件,要求证的结论如何变换?
?例3、已知a,b?R,求证ab?ab.
abba2422本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于a,b对称,不妨设a?b?0.
就像是特别的云彩?a?b?0?ab?ab?ab(aabbabba?b?ba?b)?0,从而原不等式得证。
2)商值比较法:设a?b?0,
aaabba??1,a?b?0, ?ba?()a?b?1.故原不等式得证。 bbab注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走,
另一半时间以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走。如果m?n,问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析:设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题,只要比较t1,t2的大小就可以了。
解:设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2,根据题意有
t1t2SSSS(m?n)??t2,可得t1?m?1n?S,,t2?,
m?n2m2n2mn222SS(m?n)S[4mn?(m?n)2]S(m?n)2?从而t1?t2?, ???m?n2mn2(m?n)mn2(m?n)mn其中S,m,n都是正数,且m?n。于是t1?t2?0,即t1?t2。 从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论:如果m?n,甲、乙两人谁先到达指定地点?
例5、设f(x)?2x?1,pq?0,p?q?1.求证;对任意实数a,b,恒有 pf(a)?qf(b)?f(pa?qb). (1) 证明 考虑(1)式两边的差。 pf(a)?qf(b)?f(pa?qb).
=p(2a?1)?q(2b?1)?[2(pa?qb)?1]
=2p(1?p)a?2q(1?q)b?4pqab?p?q?1. (2)
222222
?p?q?1,pq?0,
?(2)?2pqa2?2pqb2?4pqab
就像是特别的云彩?2pq(a?b)2?0.
即(1)成立。
三、小结:
四、练习:
五、作业:
1.比较下面各题中两个代数式值的大小:
(1)x与x?x?1;(2)x?x?1与(x?1)2.
22.已知a?1. 求证:(1)a?2a?1; (2)
a?b?c32222a?1.
1?a23.若a?b?c?0,求证abc?(abc)abc.
4.比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.
解: a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)
= (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
2???b2b2?2
= - (a-b)????3a???3??0 (当且仅当d=b时取等号)
3?????? ∴a4-b4?4a3(a-b)。
5.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.
6.已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
?x?1?与?x?1?的大小.
8.已知a≠0,比较?a?2a?1??a?2a?1?与?a7.如果x>0,比较
22222?a?1??a2?a?1?的大小.
9.设x?1,比较x3与x2-x+1的大小. 说明:“变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
阅读材料:琴生不等式
例5中的不等式pf(a)?qf(b)?f(pa?qb)有着重要的数学背景,它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系,也是琴生(Jensen)不等式的特例。
琴生在1905年给出了一个定义:
设函数f(x)的定义域为[a,b],如果对于[a,b]内任意两数x1,x2,都有
就像是特别的云彩当且仅当x1?x2???xn时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。
更为一般的情况是:设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,如果对于[a,b]上的任意两点
x1,x2,有pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),
其中p,q?R?,p?q?1,则称f(x)是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向,即有
pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),则称f(x)是[a,b]上的凹函数。
其推广形式 ,设q1,q2,?,qn?R?,q1?q2???qn?1,f(x)是[a,b]上的凸函数,则
对
任
意
x1,x2,?,xn?[a,b],有
f(q1x1?q2x2???qnxn)?q1f(x1)?q2f(x2)???qnf(xn),
当且仅当x1?x2???xn时等号成立。
若f(x)是凹函数,则上述不等式反向。该不等式称为琴生(Jensen)不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数,可以推出许多著名不等式。
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