2013届高考数学知识点总结 2

集合与简易逻辑

（一） 集合

1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

3 ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2) (x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

x

（自右向左正负相间） 则不等式a0x a1x

n

n 1

a2xn 2 an 0( 0)(a0 0)的解可以根据各区间的符号

确定.

3.含绝对值不等式的解法

（1）公式法：ax b c,与ax b c(c 0)型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

2

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论.

2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为

f(x)f(x)f(x)f(x)

>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式， g(x)g(x)g(x)g(x)

（2）转化为整式不等式f(x)f(x)f(x)g(x) 0

0 f(x)g(x) 0; 0 g(x) 0

g(x)g(x)

4.一元二次方程根的分布

2

一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断

互逆原命题逆命题

（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； 若p则q若q则p

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，

互

其他情况时为假；

否否逆

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为逆否命题否命题假，其他情况时为真．

若┐q则┐p若┐p则┐q互4、四种命题的形式：

原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；

否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。

6、如果已知p q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p q且q p,则称p是q的充要条件，记为p q.

函数

（一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数

（二）函数的性质 ⒈函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数； 若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

y轴对称 y f（ x）3. 对称变换：①y = f（x）

x轴对称

y f（x）②y =f（x）

y f（ x）③y =f（x） 原点对称

4. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

（x1 x2）(x1 x2) 222

f(x1) f(x2) x2 b x b 12

22 xx b2 x1 b2

在进行讨论.

5. 熟悉常用函数图象：

1

例：y 2→|x|关于y轴对称. y

2

|x|

|x 2|

1 1 →y →y

2 2

|x||x 2|

y |2x2 2x 1|→|y|关于x轴对称.

熟悉分式图象：

例：y

2x 17

2 定义域{x|x 3,x R}， x 3x 3

值域{y|y 2,y R}→值域 x前的系数之比. （三）指数函数与对数函数 指数函数y ax(a 0且a 1)的图象和性质

对数运算：

loga(M N) logaM logaN(1)loga

M

logaM logaNN

1

logaMn

logaMn nloga M 12)logaM aloga

N

N

logbNlogba

换底公式：logaN

推论：logab logbc logca 1

loga1a2 loga2a3 ... logan 1an loga1an

数列

看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an an 1 d(n 2,d为常数) ②2an an 1 an 1(n 2) ③an kn b(n,k为常数).

看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an an 1q(n 2,q为常数,且 0)

2②an an 1 an 1(n 2，anan 1an 1 0)

①

an Pan 1 r（P、r为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an 2 Pan 1 qan的形式，再用特征根方法求an；④an c1 c2Pn 1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：an 1 x P(an x) an 1 Pan Px x x ②选代法：an Pan 1 r P(Pan 2 r) r an (a1

r

. P 1

rr)Pn 1 (a1 x)Pn 1 x P 1P 1

am 0

在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足 的项数m

a 0 m 1

使得sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时，满足

am 0

的项数m使得sm取最小值。在解含绝

a 0 m 1

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于

c

其中{ an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部

anan 1

分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于 anbn 其中{ an}是等差数列， bn 是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论 4） 12 22 32 n2

5）

1

n(n 1)(2n 1) 6

1111111

( )

n(n 1)nn 1n(n 2)2nn 2

三角函数

cos

2

2、同角三角函数的基本关系式：sin tan sin co2s 1

3、诱导公式：

把

k “奇变偶不变，符号看象限” 的三角函数化为 的三角函数，概括为：

2

三角函数的公式：（一）基本关系

sin( x) sinxsin2 ( x) sinxcos( x) cosxcos2 ( x) cosx

tan( x) tanxtan2 ( x) tanxcot( x) cotxcot2 ( x) coxt

sin ( x) sinxcos ( x) cosxtan ( x) tanxco t( x) coxt

cos( ) cos cos sin sin sin2 2sin co s

22

cos( ) cos cos sin sin co2s co2s sin 2co2s 1 1 2sin

2 sin( ) sin cos cos sin tan

sin( ) sin cos cos sin si

2tan( )

2ta n

2

1 tan

co s

2

tan tan cos

cos

1 tan tan 22

tan tan

tan cos sin 1 cos

1 tan tan 21 cos 1 cos sin

2,sin75 cos15

4

tan( )

sin15 cos75

4

, ,.

4. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

反.一般地，若y f(x)在[a,b]上递增（减），则y f(x)在[a,b]上递减（增）.

②y sinx与y cosx的周期是 .

③y sin( x )或y cos( x )（ 0）的周期T

2

.

x

y tan的周期为2 （T T 2 ，如图，翻折无效）.

2④y sin( x )的对称轴方程是x k

2

（k Z），对称中心（k ,0）；y (osc x )的

对称轴方程是x k （k Z），对称中心（k 1 ,0）；y atn( x )的对称中心

2

（

k

,0）.y cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x 2

2

⑤当tan ·tan 1, k tan 1, k (k Z)；tan ·

2

(k Z).

⑥y cosx与y sin x 2k 是同一函数,

2

⑦函数y tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

y tanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x)，奇函数：f( x) f(x)）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y tanx是奇函数，y tan(x 1 )是非奇非偶.（定

3

义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0 x的定义域，则f(x)一定有f(0) 0.（0 x的定义域，则无此性质）

⑨y sinx不是周期函数；y sinx为周期函数（T ）

；y cosx为周期函数（T y cosx是周期函数（如图）

1，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y cos2x 的周期为 （如图）

2

y=|cos2x+1/2|图象

y f(x) 5 f(x k),k R.

⑩y acos bsin a2 b2sin( ) cos

b

有a2 b2 y. a

三角函数图象的作法：

1）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. 2）、利用图象变换作三角函数图象．

向量

平面向量

向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a； 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O ｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量 ｜aO｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

x1 x2

y y2 1

(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.

(1)平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，

λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b a²b＝O x1x2＋y1y2＝O.

x1 x2 x , 1 2

中点公式OP＝（OP1＋OP2）或

2 y y1 y2.

2

1图

2012年高考数学（理科）基础知识归纳

正、余弦定理

正弦定理：

abc

2R. sinAsinBsinC

2

2

2

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA， 222

b＝c＋a－2cacosB， 222

c＝a＋b－2abcosC. 三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R

④S△=1/2sinC²ab=1/2ac²sinB=1/2cb²sinA ⑤S△=PP aP bP c [海伦公式] ⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图： A

Acb

acDB

Fb E

DBrFCIrCr aEI

a

a

a

B

图2

图3 图4

图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr

图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

空间向量

1．空间向量的概念：

2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

OB OA AB a b

BA OA OB a b

OP a( R)

运算律： 加法交换律：a b b a

加法结合律：(a b) c a (b c)

数乘分配律： (a b) a b

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平

行向量．a平行于b记作a//b．

当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是

同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，

使a＝λb.

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

OP OA ta．

其中向量a叫做直线l的方向向量. 5．向量与平面平行：

已知平面 和向量a，作OA a，如果直线OA平行于 或在 内，那么我们说向量

a平行于平面 ，记作：a// ．

6．共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使

p xa yb推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使

MP xMA yMB或对空间任一点O，有OP OM xMA yMB ① ①式叫做平面MAB

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组

x,y,z，使p xa yb zc推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个

有序实数x,y,z，使OP xOA yOB zOC

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA a,OB b，则 AOB叫做向量a与

b的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,b ，显然有 a,b b,a ；若

a,b ，则称a与b互相垂直，记作：a b.

2

9．向量的模：

设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.

10．向量的数量积： a b |a| |b| cos a,b ．

已知向量AB a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A ，

作点B在l上的射影B ，则A B 叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.

可以证明A B 的长度|A B | |AB|cos a,e |a e|．

11．空间向量数量积的性质：

2

（1）a e |a|cos a,e ．（2）a b a b 0．（3）|a| a a．

12．空间向量数量积运算律：

（1）( a) b (a b) a ( b)．（2）a b b a（交换律）（3）a (b c) a b a c

（分配律）．

空间向量的坐标运算

一．知识回顾：

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)，则

a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)

a ( a1, a2, a3)( R)a b a1b1 a2b2 a3b3

a∥b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)

a1a2a3

a b a1b1 a2b2 a3b3 0

b1b2b3

a12 a22 a3

a b

cos a,b

|a| |b|

2

(

)

a1b1 a2b2 a3b3

2a12 a22 a3

b122 b22 b3

②空间两点的距离公式：d (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作a ，如果a 那么向量a叫做平面 的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面 的法向量，AB是平面 的一条射线，其中A ，则点B到平面 .

②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角 l 中平面 , 的法向量，

n1,n2则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线a 平面 ，A B a,C D ，且CDE三点不共线，则a∥ 的充要条件是存在有序实数对 使 .（常设 求解 , 若 , 存在即证毕，若 , 不存在，则直线AB与平面相交）.

不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念

不等（等）号的定义：a b 0 a b;a b 0 a b;a b 0 a b. 2.不等式的基本性质

（1）a b b a（对称性）

（2）a b,b c a c（传递性）

（3）a b a c b c（加法单调性）

（4）a b,c d a c b d（同向不等式相加） （5）a b,c d a c b d（异向不等式相减） （6）a. b,c 0 ac bc

（7）a b,c 0 ac bc（乘法单调性）

（8）a b 0,c d 0 ac bd（同向不等式相乘）

(9)a b 0,0 c d

ab（异向不等式相除） cd

(10)a b,ab 0

11（倒数关系） ab

（11）a b 0 an bn(n Z,且n 1)（平方法则）

（12）a b 0 (n Z,且n 1)（开方法则） 3.几个重要不等式

（1）若a R,则|a| 0,a2 0

（2）若a、b R ,则a2 b2 2ab(或a2 b2 2|ab| 2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b

都是正数，那么 a b.（当仅当a=b时取等号）

2

极值定理：若x,y R ,x y S,xy P,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.

(4)若a、b、c R ,则

a b ca=b=c时取等号） 3

ba

(5)若ab 0,则 2（当仅当a=b时取等号）

ab

(6)a 0时，|x| a x2 a2 x a或x a;

|x| a x2 a2 a x a

（7）若a、b R,则||a| |b|| |a b| |a| |b|

1111111常用不等式的放缩法：① 2 (n 2)

nn 1n(n 1)nn(n 1)n 1n

2

2

(a1

n 1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3, ,an R,b1,b2,b3 ,bn R;则

2a2

（a1b1 a2b2 a3b3 anbn)

aaaa

当且仅当1 2 3 n时取等号

b1b2b3bn

2

a3

2an)(b122

b22 b32

bn)

不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

不等式的解法

直线和圆的方程

一、直线方程.

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是

0 180 (0 ).

注：①当 90 或x2 x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. 两条直线平行：

l1∥l2 k1 k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2 k1 k2，且b1 b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2 B1A2是平行的必要不充分条件，且C1 C2） 推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为 1, 2则l1∥l2 1 2. 两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1 l2 k1k2 1这

里的前提是l1,l2的斜率都存在. ②l1 l2 k1 0，且l2的斜率不存在或k2 0，且l1的斜率不存在. （即A1B2 A2B1 0是垂直的充要条件）

. 点到直线的距离：

点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax By C 0,P到l的距离为d，则有

d

Ax0 By0 CA B

2

2

.

注：

1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2| (x2 x1)2 (y2 y1)2.

特例：点P(x,y)到原点O

的距离：|OP|

2. 直线的倾斜角（0°≤ ＜180°）、斜率:k tan 3. 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k

当x1

y2 y1

.

x2 x1

(x1 x2)

x2,y1 y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角 ＝90 ，没有斜率

两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax By C1 0,l2:Ax By C2 0(C1 C2)，它们之间的距离为d，则有d

C1 C2A B

2

2

.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 二、圆的方程.

如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x a)2 (y b)2 r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2 y2 r2. 3. 圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 .

DE

当D E 4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心C , ，半径r

2 2

2

2

D2 E2 4F

.

2

当D2 E2 4F 0时，方程表示一个点

DE

, . 22

当D2 E2 4F 0时，方程无图形（称虚圆）.

注：①圆的参数方程：

x a rcos

（ 为参数）.

y b rsin

③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2) (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0（用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x a)2 (y b)2 r2.

①M在圆C内 (x0 a)2 (y0 b)2 r2 ②M在圆C上 （x0 a)2 (y0 b)2 r2 ③M在圆C外 (x0 a)2 (y0 b)2 r2 5. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(x a)2 (y b)2 r2(r 0)； 直线l：Ax By C 0(A2 B2 0)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d ①d r时，l与C相切；

22 x y D1x E1y F1 0

相减为公切线方程. 附：若两圆相切，则 22

x y D2x E2y F2 0

Aa Bb CA B

2

2

.

②d r时，l与C相交；

附：公共弦方程：设 C1:x2 y2 D1x E1y F1 0 C2:x2 y2 D2x E2y F2 0

有两个交点，则其公共弦方程为(D1 D2)x (E1 E2)y (F1 F2) 0. ③d r时，l与C相离.

(x a)2 (y b)2 r2

由代数特征判断：方程组 用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，

Ax Bx C 0

其判别式为 ，则：

0 l与C相切； 0 l与C相交； 0 l与C相离.

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2 y2 r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x y0y r2.

圆锥曲线方程

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：

PF1 PF2 2a F1F2方程为椭圆,PF1 PF2 2a F1F2无轨迹,

PF1 PF2 2a F1F2F1,F2为端点的线段

①椭圆的标准方程：

i. ii.

中心在原点，焦点在x轴上：x

a

22

y2b

22

1(a b 0). x2b2

1(a b 0).

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：y

2

2

a2

y2b

2

②一般方程：Ax By 1(A 0,B 0).③椭圆的标准参数方程：

x2a

2

1的参数方程为

x acos

（一象限 应是属于0 ）.

2 y bsin

①顶点：( a,0)(0, b)或(0, a)( b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③

焦点：( c,0)(c,0)或(0, c)(0,c).④焦距：F1F2 2c,c a b

a2c

.⑥离心率：e (0 e 1). y ca

22

a2

.⑤准线：x 或

c

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d 二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

PF1 PF2 2a F1F2方程为双曲线PF1 PF2 2a F1F2无轨迹

2b2a2

b2b2( c,)和(c,)

aa

PF1 PF2 2a F1F2F1,F2的一个端点的一条射线

①双曲线标准方程：

Ax2 Cy2 1(AC 0).

x2a2

y2b2

1(a,b 0),

y2a2

x2b2

1(a,b 0). 一般方程：

①i. 焦点在x轴上：

a2xy

顶点：(a,0),( a,0) 焦点：(c,0),( c,0) 准线方程x 渐近线方程： 0或

cabx2a2

y2b2

0

c2a2

②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e . ④准线距

ca

2b2c

（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系c2 a2 b2,e . ⑥焦点半径公式：对于双曲

aa

线方程

x2a2

y2b2

1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

等轴双曲线：双曲线x2 y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x，离心率e 2. 共渐近线的双曲线系方程：

x2a

2

y2b

2

( 0)的渐近线方程为

x2a

2

y22

0如果双曲线的

x2y2xy

渐近线为 0时，它的双曲线方程可设为2 2 ( 0).

abab

例如：若双曲线一条渐近线为y

11

x且过p(3, )，求双曲线的方程？ 22

1x2x2y22

解：令双曲线的方程为： y ( 0)，代入(3, )得 1.

8242

直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐“ ”近线求交和两根之和与两根之积同号. 三、抛物线方程.

3. 设p 0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

2

②y2 2px(p 0)则焦点半径PF x P;x2 2py(p 0)则焦点半径为PF y P.

2

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

x 2pt2 x 2pt

④y 2px（或x 2py）的参数方程为 （或 ）（t为参数）. 2

y 2pty 2pt

2

2

四、圆锥曲线的统一定义..

：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

立体几何

平面.

1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.

注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

2. 两个平面可将平面分成.（①两个平面平行，②两个平面相交）

3. 过三条互相平行的直线可以确定个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行） 一、 空间直线.

1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内

[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（³）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）

②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面 ，b与 的关系是相交、平行、在平面 内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（³）（并非是从平面外一点向这个平面所引．．的垂线段和斜线段）

⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若a b，则a,b的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

4. 相等. （二面角的取值范围 0 ,180 ）

12 1 （直线与直线所成角 0 ,90 ）

2 （斜线与平面成角 0 ,90 ） 方向相同 方向不相同 （直线与平面所成角 0 ,90 ）

（向量与向量所成角 [0 ,180 ])

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.

二、 直线与平面平行、直线与平面垂直.

1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.

2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）

[注]：①直线a与平面 内一条直线平行，则a∥ . （³）（平面外一条直线） ②直线a与平面 内一条直线相交，则a与平面 相交. （³）（平面外一条直线） ③若直线a与平面 平行，则 内必存在无数条直线与a平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）

④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （³）（可能在此平面内）

⑤平行于同一直线的两个平面平行.（³）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（³）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l与平面 、 所成角相等，则 ∥ .（³）（ 、 可能相交） 3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（³）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面．．．．．．．．．平行）

②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）

③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 三、 平面平行与平面垂直.

1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.

2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.

3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）

4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）

注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.

5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线

P也垂直于另一个平面.

推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面

证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l1,l2，

O因为PM ,OA ,PM ,OB 则PM OA,PM OB. 五、 空间几何体

.异面直线所成角的求法：

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

.直线与平面所成的角（立体几何中的计算可参考空间向量计算） .二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 .空间距离的求法

（ ）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；

求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解； 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.

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