北京大学量子力学期末试题

量子力学习题（三年级用）

北京大学物理学院

二O O三年

第一章 绪论

1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理：

（1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-?=μ.n ；被铀吸收；

（2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a

； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。

第二章 波函数与波动力学

1、设()()为常数a Ae x x a 2

221-=?

（1）求归一化常数

（2）.?p ?,x x ==

2、求ikr ikr e r

e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若(),Be e A kx kx -+=?求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）

4、一维运动的粒子处于

()?

??<>=?λ-000x x Axe x x

的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证

0=υ?? 其中ρ=υ/j

6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为

()()x ,x δ=?0 求：?)t ,x (=?2

第三章 一维定态问题

1、粒子处于位场

()000000

????≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）

2、一粒子在一维势场 ?????>∞≤≤<∞=0

000x a x x V )

x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数；

（2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/

a x 2=

()

.n a x x ??

? ??π-=-22226112

3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为

如 D S A S B D

S A S C 22211211+=+=

这即“出射”波和“入射”波之间的关系，

证明：0

1

122

2112112

22

2

21

212211

=+=+=+**S S S S S S S S

这表明S 是么正矩阵

4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数

()?????>≤≤<∞=a

x V a x x V X 0

00

0 5、求粒子在下列位场中运动的能级

()???

??>μω≤∞=0

2

102

2x x x V X

6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用

()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0

求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

7、质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)(1x V 的基态，

02

121>=k kx V )

x (

（1）若弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为

22kx V )X (=

随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场2V 基态几率；

（2）势场1V 突然变成2V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成1V ，问τ取什么值时，粒子仍恢复到原来1V 场的基态。

8、设一维谐振子处于基态，求它的22x p ,x

??，并验证测不准关系。

第四章 量子力学中的力学量

1、 若())z ,y ,x (z y x V p p p H +++μ

=22221 证明：,x V i ]P ,H [x ??=

,p i ]x ,H [x μ-=

2、设[]q )q (f ,i p ,q 是 =的可微函数，证明

（1）[],ihpf )q (f p ,q 22=

（2）[];f p i )q (f p ,p '=2

2 3、证明

0≡++]]B ?,A ?[,C ?[]]A ?,C ?[,B ?[]]C ?,B ?[,A

?[ 4、如果，B A

?,?是厄密算符 （1）证明()[]

B ?,A ?i ,B ?A ?n +是厄密算符； （2）求出B ?A

?是厄密算符的条件。 5、证明：

[]

[][][]][[] ++++=-A ?,L ?,L ?,L ?!

,A ?,L ?,L ?!A ?,L ?A e A ?e L ?L 3121 6、如果B ,A 与它们的对易子[]

B ?,A ?都对易，证明 []B ?,A ?B A ?B ?A e e e 21++=? （提示，考虑(),e e e )(f B ?A ?B ?A ?+λ-λλ??=λ证明[]f B ,A d df

λ=λ然后积分）

7、设λ是一小量，算符1-A ?A ?和存在，求证

+λ+λ+λ+=λ---------1112121111A ?B ?A ?B ?A ?A ?A ?B ?A ?A ?)B ?A

?( 8、如ni u 是能量n E 的本征函数（为简并指标i ），证明

()?=+*0dx u x p xp u nj x x ni 从而证明：?δ=τ

ij nj x ni d xu p u i 2

9、一维谐振子处在基态 ()22122/x a /e a

x -π=?

求： （1）势能的平均值;X m A

2221ω=

（2）动能的平均值;m /P T x 22= （3）动量的几率分布函数 其中

ω=m a 10、若证明,iL L L y x ±=±

(1) ±

±±=L ?]L ?,L ?[z 022==-

+]L ?,L ?[]L ?,L ?[ (2) 11++=lm lm Y C Y L ?

12--=lm lm Y C Y L ? (3) ()--+++=-L ?L ?L ?L ?L ?L ?y x 2122

11、设粒子处于),(Y lm ?θ状态，利用上题结果求22y x l ,l ??

12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的2

随时间的变

X

化为：

()()()()()()2220000221212t P p x X p XP X X x t x X X t ?μ+??????-+μ+

?=? （注：自由粒子2x x P ,P 与时间无关）。

第五章 变量可分离型的波动方程

1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。

2、对于球方位势

(){000><=r V a r r

V 试给出有0=l n 个的束缚态条件。

3、设氢原子处于状态

()()()()()?θ-?θ=?θ

?-,Y r R ,Y r R ,,r 112110212

321 求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。

4、证明

[]r

r r ,??+=?1212 []?=?r ,22

1 5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域

()0?=-T V E 的几率。

6、设()022>+=B ,A ,r /A Br r V 其中，求粒子的能量本征值。

7、设粒子在半径为a ，高为h 的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位

能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。

8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示：

()2r

A r e Z r +'=φ 其中，e Z '表示原子实的电荷，0>A ，证明，电子在原子实电场中的能量为

()222

412l nl n z e E δ+'μ-=

而l δ为l 的函数，讨论l δ何时较小，求出l δ小时，nl E 公式，并讨论能级的简并度。

9、粒子作一维运动，其哈密顿量

()x x V m

p H +=22

0 的能级为)

(n E 0，试用Hellmann Feynmen -定理，求 m

P H H x λ+=0

的能级n E 。

10、设有两个一维势阱 ()()x V x V 21≤

若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为() 2121,n E ,E n

n = （1）证明n n

E E 21≤ （提示：令()()211V V x ,V λ+λ-=λ

（2）若粒子的势场

?????=<>b x KX b x Kb )X (V 222121

中运动，试估计其束缚能总数的上、下限

11、证明在规范变换下

?*?=ρ

()?*?μ-??-?*?μ=* A ?c

q P ?P ?j 21 ??? ?

?-=υμA ?c q P ?? 不变。

12、计算氢原子中P D 23→的三条塞曼线的波长。 13．带电粒子在外磁场()B ,,B 00= 中运动，如选

??

? ??-=02121,xB ,yB A ?或),xB ,(A 00= 试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。

14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E 及均匀磁场B 中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z 轴方向，电场方向为X 轴方向）。

第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论

1、列出下列波函数在动量表象中的表示

（1）一维谐振子基态：()t i x a e a t ,x ω--π=

ψ222122 （2）氢原子基态：()t E i a r n e a t ,r 2031

--π=ψ

2、求一维无限深位阱（0≤x ≤a ）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。

3、求在动量表象中角动量x L

?的矩阵表示。 4、在（z l ,l 2）表象中，求1=l 的空间中的x L

?的可能值及相应几率。 5、设)r (V p H +μ

=22

，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则 ()∑μ

=-n nm m n x E E 222 （提示：求[][][]X ,X ,H ,X ,H 然后求矩阵元

[][]>m X ,X ,H m ） 6、若矩阵A ，B ，C 满足iA CB BC ,I C B A

2222=-=== （1）证明：0=+=+CA AC BA AB ；

（2）在A 表象中，求B 和C 矩阵表示。

7、设),x (V p H x +=μ

22分别写出x 表象和x P 表象中x p ,x 及H 的矩阵表示。

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