数学培优之圆（九年级）-第5讲 - 圆中比例线段

第5讲 圆中比例线段

知识点归纳

角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。 相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。 1、相交弦定理

如图①，若圆内两条弦AB、CD交于点P，则PA?PB?PC?PD。 2、切割线定理

如图②，若从圆外一点P引圆的切线TP，和割线PAB，则PT?PA?PB。 3、割线定理

如图③，若从圆外一点P引圆的两条割线PAB、PCD，则PA?PB?PC?PD。

A

T

C

D O P B P A O B C P A O B 2D 例题精讲

【例1】如图，已知AB是?o的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，若DE?3CE，AC?85,D点为EF的中点，则AB?_______. 4(全国初中数学联赛题)

思路点拨 设法求出AE，BE的长，可考虑应用相交弦定理、勾股定理等。

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB?4,BE?5,则DE的长为（ ）。

1

A.3 B.4 C.

1516 D. 45（全国初中数学联赛题）

思路点拨 连AC、CE,由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创造条件。

【例3】如图，已知?o是?ABC的外接圆，BC是?o的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E。

（1）求证：AD?DE?DB;

2（2）若BC?55,CD?,求DE的长。 22（泸州市中考题）

思路点拨 对于（1），只需证明?ADE ∽ ?BDA。

图，已知AC为?o的直径且PA?AC，BC是?o的【例4】如一条弦，

直线PB交直线AC于点D，

DBDC2??. DPDO3（1）求证：直线PB是?o的切线； （2）求cos?BCA的值。

（呼和浩特市中考题）

思路点拨 对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2）将问题转化求线段的比值。

【例5】如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E。

（1）求证：AC?BC?2BD?CD；

2

（2）若AE?3,CD?25,求弦AB和直径BC的长。 （天津市竞赛题）

分析 由条件?ABD??DBC,?BDC?90?,延长BA、CD交于一点，向形外作辅助线，为构造相似三角形、切割线定理的运用创造条件。

寻找不变性

【例6】如图，AB是半圆O的直径，AB?2,射线AM、BN为半圆O的切线。在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC。过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F,过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q。 （1）求证：?ABC ∽ ?OFB；

（2）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。

（潍坊市中考题）

思路点拨 对于（2），即要证明BQ?FQ?对相似三角形是证题的关键。

1BF,不妨从比例线段入手，能发现图中多2基础练习

1、如图，已知A、B、C、D是?o上的四个点，AC?AB,AD交BC于点E，

AE?3,DE?4,则AB的长为____________. (黑龙江省中考题)

,则2、如图，PAB、PCD为?o的两条割线，若PA?5,AB?7,CD?11AC:BD?____________.

3

3、如图，AB、CD是?o的两条线，它们相交于点P，连接AD、BD，已知

AD?BD?4,PC?6,那么CD的长是___________.

4、如图，在?ABC中，?C?90?,AB?10,AC?6,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为（ ）。

A.6.4 B.3.2 C.3.6 D.8

5、如图，已知AB为?o的直径，CB切?o于B，CD切?o于D，交BA的延长线于E。若AB?3,ED?2,则BC的长为（ ）。 A.2 B.3 C.3.5 D.4

6、如图，?o与Rt?ABC的斜边AB切于点D，与直角边AC交于点E，且DE//BC。已知AE?22,AC?32,BC?6,则?o的半径是（ ）。 A.3 B.4 C.43 D.23

7、如图，在锐角?ABC中，AC是最短边，以AC中点O为

4

圆心，AC长为半径作?o，交BC于E，过O作OD//BC交?o于D点，连接AE、AD、

12DC。

（1）求证：D是弧AE的中点；

（2）求证：?DAO??B??BAD； （3）若

S?CEF1?，且AC?4,求CF的长。 S?OCD2（桂林市中考题）

8、如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为?BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，

BC?AF,延长DF与BA的延长线交于E。

（1）求证：?ABD为等腰三角形； （2）求证：AC?AF?DF?EF.

(黄冈市中考题)

9、如图，已知AC是?o的直径，PA?PC,连接OP，

弦CB//OP，直线PB交直线AC于D,BD?2PA.. （1）求证：直线PB是?o的切线；

（2）探究线段PO与BC之间的数量关系，并加以证明； （3）求sin?OPA的值。

（襄阳市中考题）

能力拓展

10、如图，已知?ABC中，?C?90?,AC?11,BC?5,以C为圆心，BC为半径作圆交

BA的延长线于点D，则AD的长为___________.

（太原市竞赛题）

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