高等光学6章 - 图文

第六章 光学成像系统的传递函数

由衍射理论知道，即使一个没有像差的完善的透镜或光学系统，也得不到理想的几何像，而是一个由孔径决定的衍射光斑。衍射斑的存在影响光学系统分辨物体细节的能力。对于有像差存在的实际光学系统，还因为像差的存在而影响衍射斑中光能的分布，从而降低了光学系统的成像质量。在常用的评价成像质量的方法中，如星点法是通过研究一个点物的衍射图形来判断像差的大小；分辨率法是用一个具有一定空间分布的鉴别率板作为物体来判断成像的好坏。这些方法都存在一定的局限性。

实际的物体是有复杂的光强分布或振幅分布的，可以看作一个包含有各种空间频率的复杂光栅。按照阿贝成像理论，一个只受衍射限制而无像差的理想光学系统，因为物体的频谱中的高频部分受到孔径的限制而不能参与成像，致使像面的复振幅分布不同于物面，即表示细节的高频部分丢失而使分辨率下降。对于有像差存在的实际光学系统，不仅反映细节的高频部分由于孔径的限制而丢失，其它较低频率成分的光波也由于像差的存在而使得其振幅降低或位相改变，从而影响成像质量。为了全面评价一个光学系统的成像质量的优劣，必须全面考察物面上的各种频率成分经过光学系统的传播情况，用来衡量这个传播状况的函数就是传递函数。

现在，光学传递函数的概念和理论已经较普遍地应用于光学设计结果的评价、控制光学元件的自动设计过程、光学镜头质量检验、光学系统总体设计的考虑及光学信息处理等方面。特别是光学传递函数为光学仪器的设计、制造和使用提供了统一的评价标准，成为一个更全面更客观的质量评价方法。

本章主要讲授在频率域中描写衍射受限系统的成像特性。所谓衍射受限系统即成像只受到有限大小孔经衍射的影响，无几何光学像差的理想系统。对于有像差存在的实际光学系统对传递函数的影响也将作原理性的介绍。

§6-1 透镜、衍射受限系统的点扩展函数

一、透镜的点扩展函数

在§2-4中我们在学习脉冲响应和叠加积分时，引入了线性系统的点扩展函数（脉冲响应）的概念。把δ函数作为分解输入函数g1的基元函数，系统对输入的响应即输出函数g2：

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g2?x2,y2????g1(?,?)S[?(x1??,y1??)]d?d?????

???g1??,??h?x2,y2;?,??d?d???其中h(x2,y2;?,?)?S[?(x1??,y1??)]称为系统的脉冲响应（点扩展）函数，其表示系统在输出平面(x2, y2)的点处对输入平面坐标(ξ，η)上的δ函数的输入响应。

现在我们研究的系统是透镜。这里g1即物平面上光场分布U0?x0,y0?；g2即像平面上光场分布Ui?xi,yi?，所以

Ui?xi,yi????U0?x0,y0?h?x0,y0;xi,yi?dx0dy0

???在§5-2里，我们知道，对于下图所示的光路，与光源共轭的观察面上的复振幅分布为

U?xi,yi??C??[??t?x1,y1?e????????jk?2dx1dy1]dxdy

其中

C?a0，

?2?d1?d0???d1?dixxyy111111?)(x12?y12)?(??)(x2?y2)?(xi2?yi2)?2(i?1)x?2(i?1)y d1?d0d1did1fdidid1did1??( 102

如果我们用单位振幅的平面波照明透明片，即?d0??，

1， 2???d1?dia0?1，则

d1?d0C???(?xyxy11111)(x12?y12)?(??)(x2?y2)?(xi2?yi2)?2(i?1)x?2(i?1)y d1did1fdidid1did1按照下图的符号标示，即物到透镜的距离?d1用?d0表示，x1,y1用x0,y0表示，则

C?1， 2???d0?di??(?xxyy11112122)(x0?y0)?(??)(x?y2)?(xi2?yi2)?2(i?0)x?2(i?0)y d0did0fdidid0did0

用平面波照明透明片，透明片的透过率函数也就是物平面上光场分布，即

t(x1,y1)?U0(x0,y0)

考虑到透镜的孔径函数P(x，y)，并将以上各量代入观察面上的复振幅分布表达式，则

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1U(xi,yi)?2?(?d0)di?(???????[??U0(x0,y0)P(x,y)exp{??jk122[(?)(x0?y0)2d0xxyy11121??)(x?y2)?(xi2?yi2)?2(i?0)x?2(i?0)y]}dx0dy0]dxdydid0fdidid0did022?xi2?yi2x0?y01???U0(x0,y0){2exp(jk)exp(?jk)??P(x,y)2di2d0???(?d0)di???exp{?xxyyjk1112[(??)(x?y2)?2(i?0)x?2(i?0)y]}dxdy}dx0dy02did0fdid0did0(x0,y0)h(x0,y0;xi,yi)dx0dy0?????U0与系统的脉冲响应（点扩展）函数的定义比较，得

22?xi2?yi2x0?y01h(x0,y0;xi,yi)?2exp(jk)exp(?jk)??P(x,y)2di2d0???(?d0)di?exp{xxyyjk1112[(??)(x?y2)?2(i?0)x?2(i?0)y]}dxdy2did0fdid0did0

这个式子便是透镜的点扩展函数。

当像面是物面的共轭，即

111??时，透镜的点扩展函数为 did0f22?xi2?yi2x0?y01h(x0,y0;xi,yi)?2exp(jk)exp(?jk)??P(x,y)2di2d0???(?d0)di?exp{?jk[(xix0yy?)x?(i?0)y]}dxdydid0did0

又因为像面是物面的共轭面，若透镜孔径比较大，衍射效应不明显，在近轴近似下，则

x0?d0dd11xi?xi，y0?0yi?yi，其中M?i是横向放大率。 diMdiMd0所以

22x0?y0xi2?yi2exp(?jk)?exp(?jk) 22d02d0M此时

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xi2?yi2xi2?yi2?1U(xi,yi)???U0(x0,y0){2exp(jk)exp(?jk)P(x,y)2??2di?(?d0)di2d0M?????exp{?jk[(?exp(jk2i?xix0yy?)x?(i?0)y]}dxdy}dx0dy0did0did02i2i2i2??x?yx?y1?jk)??U0(x0,y0){22di2d0M???(?d0)dixix0yy?)x?(i?0)y]}dxdy}dx0dy0did0did0

????P(x,y)?exp{?jk[(xi2?yi2xi2?yi2若我们研究的是像面的光强度分布，显然exp(jk?jk)的存在并不影22di2d0M响像面的光强度分布，此时透镜的点扩展函数可以写为

1h(x0,y0;xi,yi)?2?(?d0)di?1?2(?d0)di??????P(x,y)exp{?jk[(??P(x,y)exp{?jxix0yy?)x?(i?0)y]}dxdydid0did0??2?[(xi?Mx0)x?(yi?My0)y]}dxdy?di

因为h(x0,y0;xi,yi)的变量间存在固定的线性关系，所以h(x0,y0;xi,yi)可以记为

h(xi?Mx0,yi?My0)。

如果令~x0?Mx0，~y0?My0，则透镜的点扩展函数为

h(xi?~x0,yi?~y0)?1?2(?d0)di?????P(x,y)exp{?j2?[(xi?~x0)x?(yi?~y0)y]}dxdy ?di我们知道，透镜孔径的衍射作用明显与否，是由孔径线度相对于波长?和像距di的比例决定的。为了便于比较，我们对x,y作变量替换如下

xy~ x?, ~y??di?di将其代入点扩展函数表达式，得

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