随动系统的二阶参考模型

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

重庆邮电大学移通学院

毕业设计任务书（简明）技术资料

一、设计题目：

题目18 随动系统的二阶参考模型串联校正设计及仿真研究

二、系统说明：

设二阶系统结构框图如所示

C2 R0 A R2 r R0 Rc Rf A R0 C1 y A 二阶系统结构框图

定义Gp?s?y?s???s?为原二阶系统开环传递函数。

其中：??s?r?s??y?s?

三、系统参量：

系统输入信号：r?t?；系统输出信号：y?t?；

四、设计指标：

1.设定：在输入为r?t??a?bt ，（其中：a?5 b?1/sec.）；

2.在保证静态指标的ess?0.8 的前提下，要求动态期望指标：ts?2s（?%?5%）。

五、设计要求：

基于频率特性法，试用二阶参考模型法（即??22）设计串联校正装置，以使系统满

足设计指标的要求。

重庆邮电大学移通学院：自动化系 指导教师：汪纪锋

- I -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

日期：2014.12

- II -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

摘 要

在科技高速发展的今天，自动控制技术不仅在工业控制中有广泛的应用，而且在军事、农业、航空、航海、核能利用等领域也起着十分重要的作用。对于一个系统，首要的要求就是系统的稳定性。同时还要求系统的动态性能和稳态性能要满足实际要求，这些都可以通过设计校正来实现，使其达到期望的性能指标。

在本文中将要讨论的系统是典型的Ⅰ型2阶线性系统，首先使用劳斯判据判断系统的稳定性，再研究它的静态性能，动态性能是否达到要求。从系统分析中可以看出，在同时满足静态性能指标和系统稳定的前提下，无法通过改变放大倍数来使系统的动态性能满足。只有通过串联一个校正装置，才能使系统可以实现给定的性能指标，从而达到系统的设计要求。

本文对原系统采用二阶参考模型串联校正的方法来改善系统的性能指标，主要有以下这些步骤。第一步，做出原系统的固有特性图。第二步，依照性能要求，确定截止频率?c，作二阶参考模型特性。第三步，两线相减，求得校正装置。第四步，设置校正装置，作校正后的波德图，判断校正后系统的性能指标。

最后使系统在输入为r(t)?5?t时的静态指标ess?0.8，同时使动态期望指标ts?2s。并且用MATLAB对原系统和校正后的系统分别进行仿真，对比它们的波德图以及在指定输入下的输出，分析其是否达到要求。

【关键词】二阶 校正 仿真 线性

- III -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

ABSTRACT

In the rapid development of technology today, automatic control technology is not only widely used in industrial control, but also in the fields of military, agriculture, aviation, marine, nuclear energy also plays an important role. For a system, the first requirement is that the system stability. At the same time also requires the system dynamic performance and steady-state performance to meet the practical requirements, all of these can be achieved through the design of correction, enables it to achieve the desired performance.

The system will be discussed in this paper is a type of typical 2 order linear system, firstly the Routh criterion to determine the stability of the system, and then study its static performance, dynamic performance and can meet the requirements. From the system analysis can be seen, in the premise of static performance and the system stability and meet the dynamic performance, to meet the system could not be amplified by multiple to change. Only through the series a correction device, in order to make the system can achieve the given performance index, so as to achieve the design requirements of the system.

Performance index of the system by using two order reference model series correction method to improve the system, mainly has the following these steps. First, make the inherent characteristics of the original system diagram. The second step, according to performance requirements, determine the cut-off frequency, the two order reference model. The third step, the two lines subtraction, and seek correction device. The fourth step is to set the correction means, as corrected Bode plot, determine performance after correction system.

Finally, make the system static index less than or equal to 0.8 while enabling dynamic expectations index less than or equal to 2 sec when the input for r(t)?5?t. And the original system using MATLAB and corrected system simulation respectively, compared to their Bode plots and output in the specified input, the analysis of whether to meet the requirements.

【Key words】Second order Correction Simulation Linear

- IV -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

目 录

前 言 .................................................................................................................................................. 1 第一章 自动控制系统概述 .............................................................................................................. 3 第一节 线性控制系统 .................................................................................................................. 3 第二节 自动控制系统的性能指标 .............................................................................................. 3 第三节 系统简述 .......................................................................................................................... 4 一、系统说明 ............................................................................................................................... 4 二、系统环节介绍 ....................................................................................................................... 4 第四节 设计指标 .......................................................................................................................... 5 第五节 本章小结 .......................................................................................................................... 5 第二章 系统建模 .............................................................................................................................. 6 第一节 各环节模型建立 .............................................................................................................. 6 一、比较器 ................................................................................................................................... 6 二、比例环节 ............................................................................................................................... 6 三、积分环节 ............................................................................................................................... 7 四、惯性环节 ............................................................................................................................... 7 五、反馈环节 ............................................................................................................................... 7 第二节 系统数学模型 .................................................................................................................. 8 一、系统结构框图 ....................................................................................................................... 8 二、系统传递函数 ....................................................................................................................... 8 三、系统等价框图 ....................................................................................................................... 8 第三章 系统分析 ............................................................................................................................ 10 第一节 稳定性分析 .................................................................................................................... 11 一、Nyquist稳定判据 ............................................................................................................... 11 二、劳斯稳定判据 ..................................................................................................................... 12 三、根轨迹的映证 ..................................................................................................................... 14 第二节 静态（精度）误差分析 ................................................................................................ 15

- V -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

一、系统的跟踪能力 ................................................................................................................. 15 二、稳态误差计算 ..................................................................................................................... 16 三、根轨迹映证 ......................................................................................................................... 17 第三节 动态性能分析 ................................................................................................................ 18 一、动态指标 ............................................................................................................................. 18 二、系统动态分析 ..................................................................................................................... 18 三、根轨迹映证 ......................................................................................................................... 19 第四节 本章小结 ........................................................................................................................ 20 第四章 系统综合 ............................................................................................................................ 21 第一节 校正方案的确定 ............................................................................................................ 21 一、分析 ..................................................................................................................................... 21 二、串联校正说明 ..................................................................................................................... 21 三、二阶参考模型校正说明 ..................................................................................................... 22 第二节 设计校正装置 ................................................................................................................ 25 一、作固有特性图 ..................................................................................................................... 25 二、确定截止频率 ..................................................................................................................... 26 三、确定校正装置 ..................................................................................................................... 26 第三节 校正后系统分析 ............................................................................................................ 27 一、校正后系统的传递函数 ..................................................................................................... 27 二、校正后系统的结构框图 ..................................................................................................... 27 三、结构框图的简化 ................................................................................................................. 28 四、校正后系统稳定性分析 ..................................................................................................... 28 五、校正后系统性能分析 ......................................................................................................... 29 六、校正后系统的伯德图 ......................................................................................................... 30 第五章 系统仿真验证 .................................................................................................................... 31 第一节 原系统的物理仿真 ........................................................................................................ 31 第二节 MATLAB仿真 ............................................................................................................... 32 一、单位阶跃响应 ..................................................................................................................... 33 二、系统波德图 ......................................................................................................................... 35 三、设定输入下的输出 ............................................................................................................. 36

- VI -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

结 论 ................................................................................................................................................ 39 致 谢 ................................................................................................................................................ 40 参考文献 ............................................................................................................................................ 41 附 录 ................................................................................................................................................ 42 一、英文原文 ................................................................................................................................ 42 二、英文翻译 ................................................................................................................................ 47

VII - -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

前 言

自动控制，即是指在没有人为的情况下，利用控制器或者是控制装置来控制机器和设备等物理器件。它的控制原理，主要是通过使各器件的受控物理量按照你所设定的规律变化，从而使得机器设备按照希望的规律而变化，以此达到控制的目的。自动控制技术不仅在工业控制中得到广泛的使用，而且在军事、农业、航空、航海、核能利用等领域也有着十分重要的地位。

各种自动控制系统，为完成一定的任务，要求被控量必须迅速而准确地随定量变化而变化，并且尽量不受任何扰动的影响。在工程中对自动控制系统性能要求可以简单的概括为以下三个方面：响应动作要快，动态过程要平稳，跟踪值要准确。而对于一个控制系统最重要的要求是系统的稳定性，因为系统没有绝对的稳定性的话，系统可能无法正常工作，甚至于可能会对设备造成损坏，造成重大的损失。

由于自动控制系统的内在特性不同，系统可以分为一阶，二阶，三阶，高阶等。此次设计主要研究的是二阶线性定常系统。二阶线性定常系统是可以用二阶线性常系数微分方程描述的系统。在控制系统中有许多的系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二阶系统来进行分析。因此，在自动控制系统分析中二阶系统的性能分析有其非常重要的地位。

控制系统校正方法是经典控制理论的一个主要组成部分。通常讨论仅限于单输入、单输出的线性定常控制系统。控制系统中所引入的附加装置称为校正装置。在控制工程中用得最广的是电气校正装置，它不但可应用于电的控制系统，而且通过将非电量信号转换成电量信号，还可应用于非电的控制系统。控制系统的设计问题常常可以归结为设计适当类型和适当参数值的校正装置。校正装置可以通过将系统不可变动部分（由控制对象、执行机构和量测部件组成的部分）在特性上的缺陷补偿，使校正后的控制系统的各项性能指标均能满足事先要求。常用的性能指标形式可以是时间域的指标，如上升时间、超调量、过渡过程时间等。

根据控制系统中校正装置的连接方式不同，校正方式可以分为两种类型，分别是串联校正和并联校正。串联校正装置常用的有超前校正、滞后校正、滞后-超前校正这三种类型。

- 1 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

不同类型的校正装置对信号产生不同的校正作用，以满足不同要求的控制系统在改善特性上的需要。设计控制器不仅要考虑技术要求保证其有良好的性能指标，还要考虑到经济学，工艺性，使用寿命，允许的体积和重量等方面的问题。在设计手段上，除了必要的理论计算外，还需要进行模拟实验仿真和数字仿真。因此，要达到比较满意的设计，需要多方面的知识和长期实践经验的积累。

系统的校正性问题，是一种原理性的局部设计。问题的提法是在系统的基本部分，一般都是对象，执行机构和测量元件等主要部件。在已经确定的条件下，设计校正装置的调整放大系数和传递函数，使得系统的动、静态性能指标满足设计的要求。这一原理性的局部设计问题通常称为系统的校正或动态补偿器的设计。由于校正方式加入系统的方式不同，所起的作用不同，名目众多的校正设计问题或动态补偿器设计问题，成了控制理论中一个较活跃的领域，而它也是最有实际应用意义的内容之一。

- 2 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

第一章 自动控制系统概述

第一节 线性控制系统

当系统的状态变量（或输出变量）与输入变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述时，那我们称这个系统为线性控制系统。线性控制系统的状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理，即当系统存在几个输入信号时，系统的输出信号等于各个输入信号分别作用于系统时系统输入信号之和。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：输入响应和状态响应，前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。实际的物理系统不可能是线性系统，但是通过近似处理和合理简化，大部分的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。线性系统的理论比较完整，也便于应用，所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理。

第二节 自动控制系统的性能指标

系统性能的描述，又以准确的定量方式来描述称为系统的性能指标。在分析一个控制系统的时候，评价系统性能好坏的标准，我们通常使用性能指标来表示。系统性能的描述，又可以分为动态性能和稳态性能两类描述。简单地说，系统的全部响应过程中，系统的动态性能表现在过渡过程完结之前的响应中，系统的稳态性能表现在过渡过程完结之后的响应中。一个自动控制系统要完成相应的控制任务，必须要满足一定的性能指标。在实际控制系统中，由于对象和控制任务的不同，系统的性能指标要求也会不同。但是对于各种控制系统的性能指标仍可以简单概括为三个方面，即响应动作要快，动态过程要平稳，跟踪值要准确。具体来说，对于一个随动系统，就要求系统它能快速，准确的跟随给定值输入

- 3 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

的变化而变化，且具有不受外部干扰影响的能力。

在本次设计中，主要研究的对象是二阶线性系统。主要研究的性能指标有静态性能指标和动态指标。静态指标即是误差系数，动态性能指标包括调节时间，超调量等。

第三节 系统简述

一、系统说明

给定的系统如图1.1所示是一个典型的Ⅰ型2阶线性系统。对于Ⅰ型系统而言，它有完全跟踪阶跃信号的能力，此时的稳态误差为零，同时它也能跟踪速度信号，但是会有一个恒定的误差。可以通过加大开环增益来减小误差，但不能消除它。

Rf A C2 R0 A R2 r R0 Rc R0 C1 y A 图1.1 给定二阶系统结构框图

其中R0?100K?,C1?C2?10?5F,R2?

R0?50K?,Rf可调范围：10?1R02104R0

二、系统环节介绍

（一）比例环节

输出量与输入量具有比例运算关系的元部件称为比例环节。比例环节的特点：输入与

- 4 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

输出信号是成正比例的关系，输出不会失真、不会延迟、而且能够成比例的复现输入信号的变化，即信号的传递没有惯性。

（二）积分环节

输出量与输入量成积分关系的环节，称为积分环节。其特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出保持不变，具有记忆功能；积分环节受到扰动自身无法达到稳定。

（三）一阶惯性环节

一阶惯性环节主要是指它的微分方程是一阶的，而且输出响应达到稳态值需要一定时间。其特点：输入信号阶跃加入后，输出信号不能突然变化，只能随时间增加逐渐变化（输出信号对输入信号的响应存在惯性）。

第四节 设计指标

①设定：在输入为r?t??a?bt ，（其中：a?5 b?1/sec.）；

②在保证静态指标的ess?0.8 的前提下，要求动态期望指标：ts?2s（?%?5%）。

第五节 本章小结

本文给定的系统是Ⅰ型2阶系统，它由一个比例环节，一个积分环节，一个惯性环节三个部分组成。比例积分环节的作用是放大，体现了系统的快速性、平稳性。对于二阶系统，K越大，快速性越好，平稳性越差。一阶惯性环节的作用是，体现了达到稳态值的快慢程度。各环节都在系统中起着各自的作用。对于系统的校正设计，要用二阶参考模型法（即??22）设计串联校正装置，以使系统满足设计静态和动态指标的要求。

- 5 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

第二章 系统建模

第一节 各环节模型建立

一、比较器

输入：R?s? 输出：Ua?s? 数学模型：

R?s? Ua?s?

Ua?s??R?s??Y?s?

Y?s? 图2.1 比较器

二、比例环节

输入：Ua?s? 输出：Ub?s? 结构框图: 数学模型： Rf Ua?s? ?RfR0 Ub?s? R0 A G1?s??RfUb?s????K Ua?s?R0图2.2 比例环节

- 6 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

三、积分环节

输入：Ub?s? 输出：Uc?s? 结构框图: Ub?s? Uc?s? ?1数学模型： C 1R0sG?2?s??Uc?sU?s??1C??1 b1R0ss

四、惯性环节

输入：Uc?s? 输出：Y?s? 结构框图: UC?s? ?1RY?s? RC 2 数学模型： 22sR0GY?s?1R213?s??Us???RR?? c?2C2s0?s?2?

五、反馈环节

输入：Y?s? 输出：Y?s? 结构框图: Y?s? 1 Y?s ? 数学模型：H?s??Y?s?Y?s??1

- 7 -

C1 R0 A 图2.3 积分环节

C2 R 2 R0 A 图2.4 惯性环节

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

第二节 系统数学模型

一、系统结构框图

系统结构框图如图2.5所示：

R?s?G1?s? G2?s?G3?s?Y?s?

图2.5 系统框图

二、系统传递函数

通过将各个环节的传递函数组合，可以得到控制系统开环传递函数如下： 令Rf?KR0?10?1?????4? 开环传递函数为

G0?s??G1?s?G2?s?G3?s??

R2Rf3C1R0s?R2C2s?1??K（2-1）

s?s?2?三、系统等价框图

通过得到的开环传递函数可以得到系统等价框图，如图2.6所示：

- 8 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

R?s?K s?s?2?Y?s?

图2.6 系统等价框图

由图2.6得到系统频域模型： 闭环传递函数为

Gc?s??闭环特征方程为

G0?s?K（2-2） ?21?G0?s?s?2s?KD?s??s2?2s?K?0（2-3）

- 9 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

第三章 系统分析

本文研究的系统是一个二阶系统，在自动控制系统分析中二阶系统的性能分析有很重要的地位。标准化的二阶系统的结构图如图3.1所示。为了研究讨论二阶系统的一般问题，一般将具体的系统等价为图示的标准形式。

二阶系统的开环传递函数为

R?s?2G0?s??闭环传递函数为

s?s?2??n??n （3-1）

C?s? ?n2s?s?2??n??n2 （3-2） 图3.1 标准化的二阶系统结构图 Gc?s??22s?2??ns??n闭环传递函数的分母多项式等于零的代数方程称为二阶系统的闭环特征方程，即

s2?2??ns??n2?0（3-3）

闭环特征方程的两个根称为二阶系统的特征根，即

s1,2????n??n?2?1（3-4）

上述的二阶系统中有两个特征参数?和?n，其中?代表二阶系统的阻尼比，?n二阶系统的无阻尼振荡频率（rad/s）。

二阶系统的系统分析和性能描述，基本上是以这两个特征参数来表示。在二阶系统中，随着阻尼比?的不同取值，特征根有不同的值，即特征根在s平面上位于不同的位置，他一共有五种情况。

??1时，系统的响应表现为过阻尼，特征根全部位于s平面的负实轴上，是一对不相等的负实根。

??1时，系统的响应表现为临界阻尼，特征根全部位于s平面的负实轴上，是一对相等的负实根。

0???1时，系统的响应表现为欠阻尼，特征根全部位于s平面的左半平面上，是一

- 10 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

对带有负实部的共轭复数根。

??0时，系统的响应表现为无阻尼，特征根均位于s平面的虚轴上，是一对纯虚根。

??0时，系统响应是发散的，特征根都位于s平面的右半平面上。

第一节 稳定性分析

系统的稳定性分析可以用代数稳定性判据和频域稳定性判据这两种判据，这两种判别方法不同。频域稳定判据又被称为Nyquist稳定性判据，它主要是通过系统的开环频率特性来获得闭环系统稳定的判别。它不仅可以确定系统的绝对稳定性，而且还可以提供相对稳定性的信息。而基于控制系统的闭环特征方程的判别方法，我们称之为代数稳定性判据。这种方法基本上提供的是控制系统绝对稳定性的信息，而对于系统相对稳定性信息提供较少。所以频域稳定性判据可以方便的用于控制系统的设计与综合。两种稳定性的判别方法虽然是在不同的域中进行的，但是对于控制系统的稳定性分析来说是等价的。

一、Nyquist稳定判据

闭环系统稳定的充分必要条件是，GH平面上的开环频率特性G?j??H?j??当?由??变化到??时，按逆时针方向包围??1,j0?点P周。

当开环极点没有在S平面右半部时，即当系统的开环传递函数的全部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，奈氏曲线?GH不包围GH平面的??1,j0?点即是闭环系统稳定的充分必要条件。

综上所述，应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：

①当系统开环传递函数G?s?H?s?的全部极点都位于S平面左半部时?P?0?，如果系统的奈氏曲线?GH不包围GH平面的??1,j0?点?N?0?，则闭环系统是稳定的

?Z?P?N?0?，否则是不稳定的；

②当系统开环传递函数G?s?H?s?有P个位于S平面右半部的极点时，如果?GH逆时针

- 11 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

包围??1,j0?点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数?N?P?，则闭环系统是稳定的

?Z?P?N?0?，否则是不稳定的；

③如果?GH顺时针包围??1,j0??N?0?，则闭环系统不稳定。?Z?P?N?0?。 从上面的分析可知，奈氏曲线?GH是否包围GH平面的??1,j0?点是判别系统是否稳定的重要依据（当然还需考虑系统是否存在开环极点和?GH曲线包围??1,j0?点的方向）。在有些情况下，?GH曲线恰好通过GH平面的??1,j0?点，此时如果系统无位于S平面的右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。

二、劳斯稳定判据

劳斯判据应用说明：已知线性定常系统的特征方程为

D?s??ansn?an?1sn?1??a1s?a0?0（3-5）

首先做劳斯表，将方程的各系数间隔填入前两行，如表3.1所示。

表3.1 劳斯表

sn sn?1 sn?2

an an?1 b1 c1 d1

an?2 an?3 b2 c2 d2

an?4 an?5 b3 c3 d3

an?6 an?7 b4 c4 d4

sn?3 sn?4

s2

e1 f1 g1

e2

s1 s0

- 12 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

依照下列各式计算出其余的项：

?b1?anan?2aan?4?nan?1an?3an?1an?5,b2?,an?1an?1（3-6）

an?1an?5an?1an?3??b1b3b1b2c1?,c2?,b1b1b1b3b1b2??c1c3c1c2d1?,d2?,c1c1（3-7）

（3-8）

将计算各项依照上述法则全部计算完毕，填入劳斯表。计算完毕的劳斯表呈上三角形，系统稳定的充分必要条件为：

劳斯表中，

①如果第一列元素全部大于零，系统就是稳定的；否则系统是不稳定的。 ②如果第一列元素有零值出现，可以用一个很小的正数?代替，继续完成计算。 ③如果第一列元素除了出现零值外，其余各项全部大于零，则说明系统有临界稳定的特征根，系统也是不稳定的。

④劳斯阵列的第一列系数改变符号的次数，即不稳定根的个数，也表示右极点的个数。 ⑤劳斯阵列出现零行，则存在大小相等、方向相反的根。计算时可由零行前一行做辅助多项式，然后由其导数的系数行代替零行，完成劳斯表计算。

研究的系统的闭环特征方程为

s2?2s?K?0

做劳斯表如下：

s2s1s012KK0

根据劳斯判据的，系统稳定的充分必要条件是第一列数据要全部大于零，所以K?0。 由系统参数可知，由于Rf??10?1R0由此可以得出?10?1?K?104?

- 13 -

104R0?，且Rf?KR0

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

三、根轨迹的映证

（一）绘制根轨迹

已知系统的开环传递函数为

G0?s??K（3-9）

s?s?2?①由开环传递函数得到零点与极点：

Zj?0,0Pi??2,0②实轴上的根轨迹为??2,0? ③求取根轨迹渐近线

由n?2,m?0得n?m?2，所以根轨迹有两条分支。 渐近线与实轴的交点：

??渐近线与实轴的夹角：

?P??Zii?1j?1nmjn?m??2??1 2?i?取q?0,q??1得：

?2q?1??

n?m?i??④分离点

?2

m11 ???d?Pd?Zi?1j?1ijn11??0 d?2dd??1

所以根轨迹的分离点为

- 14 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

s??1

⑤根轨迹为

图3.2系统根轨迹图

（二）映证系统的稳定

由图3.2得知，系统的极点全部位于s平面的左半平面，所以系统是稳定的，即使根轨迹增益K很大，系统也是稳定的。

第二节 静态（精度）误差分析

一、系统的跟踪能力

单位阶跃信号输入时，0型系统的静态位置误差系数Kp等于开环增益的大小K0，所以稳态误差为常数；Ⅰ型系统的静态位置误差系数Kp等于无穷大，所以稳态误差为零，也就是说Ⅰ型系统是一阶无差系统；Ⅱ型系统的静态位置误差系数Kp等于无穷大，所以稳态误

- 15 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

差为零。

单位斜坡信号输入时，当时间趋于无穷大，0型系统的稳态误差的值是趋于无穷大的，也就是说0型系统不能跟踪等速率信号；Ⅰ型系统的稳态误差趋于常数值，且大小等于系统的开环增益K0的倒数，也就是说Ⅰ型系统能对速率信号进行有差跟踪；Ⅱ型系统的稳态误差为零，所以可以进行无差跟踪，所以Ⅱ型系统又被称为二阶无差系统。

加速度信号输入时，0型系统、Ⅰ型系统的稳态误差都为无穷大，只有Ⅱ型系统为常数，且与K0成反比，对加速度信号进行有限的跟踪。

综上所述，对于控制系统的稳态误差分析结果有：对于定值误差，开环增益K0越大，定值误差就会越小；对于信号跟踪能力，系统的类型越高，即系统的无差度越大，能够跟踪信号的阶数就越高。

通过对系统的开环传递函数的分析，可知给定系统为Ⅰ型2阶系统。对于Ⅰ型系统而言，它有完全跟踪阶跃信号的能力，此时的稳态误差为零，同时它也能跟踪速度信号，但是会有一个恒定的误差。

二、稳态误差计算

由系统的开环传递函数得知，此系统是Ⅰ型系统，静态位置误差系数Kp，静态速度误差系数Kv，系统的误差为位置误差与速度误差之和。

开环传递函数为

G0?s??K

s?s?2?输入信号为

r?t??5?t

稳态误差为

ess?esp?esv?51?（3-10） 1?KpKv- 16 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

Kp?K0?limG0?s??lims?0s?0K??s?s?2?KKv?K0?limsG0?s??lims?0.5Ks?0s?0s?s?2?将Kp、Kv带入ess公式中得：

ess?esp?esv?0?22??0.8 KK

解得：

K?2.5

K?2.5，2.5?K?104说明：根据已知参数，在允许的设计参数范围内。所以，综上所述：

满足系统稳定及静态误差要求，也就是说可调电阻2.5R0?Rf?104R0。

稳态误差分析简表如下：

表3.2 稳态误差分析简表 Ki ess 0型系统 ??0 r?t??1?t? Kp?K0 r?t??t Kv?0 ess?? Kv?K0 r?t??12t 2ess? 1 1?Kp Ka?0 ess?? Ka?0 ess?? Ka?K0 Ⅰ型系统 ??1 Kp?? ess?0 Kp?? ess?1 Kv Ⅱ型系统 ??2 ess?0 Kv?? ess?0 ess?1 Ka 三、根轨迹映证

已知根轨迹条件方程

G0?s?s?s?1

g取K?2.5带入G0?s?

- 17 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

2.5?1

s(s?2)求得

s1??1?j1.87s2??1?j1.87

当根轨迹增益K?2.5时，根轨迹上的点s1、s2均在s平面的左半平面，所以系统是稳定的。并且由图3.2可以看出只要K?2.5，根轨迹始终位于s平面的左半平面，所以当在

2.5?K?104时系统是稳定的且满足精度要求。

第三节 动态性能分析

一、动态指标

研究系统的主要动态指标有超调量Mp、稳定时间ts，其中超调量Mp反应了系统的平稳性，稳定时间ts反应了系统的快速性。

二、系统动态分析

系统开环传递函数为

2?nK G0?s???s(s?2??n)s?s?2?闭环传递函数为

KG0?s?s?s?2?K Gc?s????2K1?G0?s?1?s?2s?Ks?s?2?计算系统特征参数?和?n，因为

- 18 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

?n2K Gc?s??2?s?2s?Ks2?2??ns??n2比较系数得到

2??n?2,?n2?K??1K?KK

?n?K?rad/s???n?1超调量为

?1??2K?K?11?K??Mp?e达到稳态时间计算为

?100??e?100?

ts?3??n?3sec??5%?

ts?3sec?2sec由此可知ts?3sec?2sec不满足动态期望指标。

由此看出，该系统的?n、同时可以看出超调量Mp?都和K值有关而且只和K值有关，也与K值有关。但是因为??n?1是一个定值，所以稳定时间ts?3sec也是一个定值与K值是无关的。

三、根轨迹映证

有根轨迹图3.2可以看出，根轨迹增益K?0???的所有特征根全部位于s平面的左半平面。所以2.5?K?104时，系统也是稳定的。

- 19 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

第四节 本章小结

本章通过对系统的分析，得出了以下这些结论。要满足静态指标ess?0.8，则K?2.5。但是要满足动态期望指标ts?2不能通过改变K的值来实现，因为??n?1是一个定值，稳定时间ts?3sec是一个定值与K值无关。所以不能在只改变K值的情况下，同时满足静态指标和动态指标。需要通过校正装置才能同时使系统的静态指标和动态指标都达到要求。

- 20 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

第四章 系统综合

第一节 校正方案的确定

一、分析

考虑到以下几点原因：

①K增大时所对应的?也会增大，同时超调量Mp也会增大, 而快速性ts?3sec却由于

??n?1是一个定值没有变化。

②系统的主要矛盾是快速性ts的问题，不能通过改变K值来使其达到期望指标。 ③未解决快速性ts的问题，使ts减小，采用二阶参考模型法校正。求得校正装置，再与原系统串联，改变原系统的整体结构来实现ts的减小。

二、串联校正说明

系统校正，是在原系统中增加校正装置，改变系统的整体结构来实现。根据校正装置在系统中的不同位置，校正结构的不同形式主要分为串联校正与并联校正。以串联关系相连接的称为串联校正如图4.1所示。

R?s?E?s?Gc?s? Go?s?C?s? 图4.1 串联校正

- 21 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

图中Go?s?表示受控对象，也称为固有特性，Gc?s?与GH?s?就是校正装置的校正特性。图4.1的固有特性Go?s?与校正特性Gc?s?以串联关系来构成等效开环传递函数为

GDo?s??Gc?s?Go?s?（4-1）

由于串联校正结构的校正装置位于低能源端，因此装置简单，调整灵活，成本低，在各种工业控制与国防控制设备中，都获得了广泛应用。

三、二阶参考模型校正说明

（一）二阶系统的最优模型

二阶系统的开环传递函数为

?n2 G0?s??s?s?2??n?闭环传递函数为

?n2 Gc?s??2s?2??ns??n2将s?j?代入，可以得到二阶系统的闭环频率特性为

?n2Gc?j??? 22?j???2??nj???n它的折线对数幅频特性如图4.2所示。

0dB0dB/dec

?b??n

?

?40dB/dec

图4.2 二阶系统的折线对数幅频特性

在图4.2中，如果我们假设系统的闭环频带宽度?b无穷大，也就是说，无论何种频谱分量的增益值都不衰减，即

- 22 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

Gc?j???:0???1

则有

?n22?j???2??nj???n2?1

?:0????解出

2n222 ??2??4?2?n???n11???2?????

24??n?2上述结论是在假设闭环频带宽度?b??，即?n??条件下的得到的。实际上，频带宽度是有限的，那么，在有限频带宽度内对于低频频谱分量有

?则有

?n

11????2????24??n?2???n1 2即

??0.707（4-2）

上式所得结果，可以看做是二阶系统的最优条件。

（二）二阶系统的开环参考模型

在上述二阶系统的最优条件下，即??0.707时，开环特性为

G0?s??n2?n2??s?s?2??n?2??n1?1?s?s?1??2??n?T?1

?n- 23 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

?12?T1?Ts?1??2??s????0.707?12T1T??s?1?s?2?（4-3） ???c?1s?1??2?c?s??其波德图如图4.3所示。从二阶参考模型的波德图我们可以看到，它非常简单，其特点为：低频段频率为?20dB/dec；高频段频率为?40dB/dec；开环截止频率为?c；一个转折率为2?c。

?1

0dB?c 2?c ?

?2

图4.3 二阶参考模型

（三）二阶参考模型的性能指标

由于阻尼比为

??0.707

二阶参考模型可以实现的性能指标如下。

①时域指标 包括以下几种。 动态性能指标：

系统阶跃响应的超调量Mp?4.3%； 阶跃响应的调节时间ts?稳态性能指标：

系统的静态速度误差系数Kv??c。 ②开环频域指标 包括以下几种。 开环截止频率?c?0.707?n；

- 24 -

3?c。

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

转折频率?1?2?c； 相位裕度?c?65.5； 幅值裕度Lg??。

③闭环频域指标 包括以下几种。 闭环频带宽度?b??n； 闭环谐振频率?r?0； 闭环谐振峰值Mr?1。

（四）校正计算步骤

①作固有特性Lo???。

②依照性能要求，作二阶模型特性L???。

③因为L????Lc????Lo???，所以Lc????L????Lo???。两特性相减，得校正装置特性Lc???，写出Gc?j??。

从上述二阶参考模型校正计算步骤可以看出，校正方法基本上是利用作图来完成的，模型简单，计算量小。

第二节 设计校正装置

一、作固有特性图

已知系统开环模型为

KK2 G0?s???s?s?2??1?s?s?1??2?作固有特性Lo???如图4.4所示。

- 25 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

二、确定截止频率

依照给定的稳态要求，ess?0.8，所以有

ess?esp?esv?0?11??0.8 KvKvKv??c

1?0.8

?c?c?1.25

依照给定的动态要求，ts?2s，有

ts?3?2

?c所以有

?c?1.5

综上所述，在?c?1.5的情况下，静态指标与动态指标都满足要求。 所以选取的开环截止频率为

?c?3

即开环特性为

Go?s??3?1?s?1?s??6?

所以在图4.4上过?c?3作斜率为?20dB/dec的斜线至?c?6，再转为?40dB/dec，参考模型特性如图4.4所示。

三、确定校正装置

两线相减，即Lc????L????Lo???，得到Lc???，如图4.4所示。

- 26 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

?1

20lgK2?1 20lg3?2

0dB 136 ?120lg6K

?2 图4.4 二阶参考模型校正的波德图

根据Lc???，求得校正装置的特性为

6??1s?1??GK2?c?s????

?1??6s?1??

第三节 校正后系统分析

一、校正后系统的传递函数

校正后系统的开环传递函数为

6?1s?1?KG?s??K??2??3co2??1????6s?1??s?1?2s?1???s???1?1?6s??二、校正后系统的结构框图

- 27 -

?

Lc???Lo???L???

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

R?s?6?1??s?1?K?2??1?s?1???6? Ks?s?2?C?s?

图4.4 校正后系统的结构框图

三、结构框图的简化

R?s? 3 ?1s?1?s??6? ?C?s? 图4.5 校正后系统结构简化框图

由图4.5得到校正后系统频域模型： 闭环传递函数为

Gc?s??闭环特征方程为

Gco?s?18 ?21?Gco?s?s?6s?18D?s??s2?6s?18?0

四、校正后系统稳定性分析

校正后系统的特征方程为

s2?6s?18?0

做劳斯表如下：

s2118s160 s018- 28 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

因为第一列数据全部大于零，满足劳斯判据系统稳定的充分必要条件，所以校正后系统是稳定的。

五、校正后系统性能分析

由于原系统使用的二阶参考模型法作校正，所以校正后的系统为一个二阶参考模型。二阶参考模型可以实现的性能指标如下。

动态性能指标：

系统阶跃响应的超调量Mp?4.3%； 阶跃响应的调节时间ts?稳态性能指标：

系统的静态速度误差系数Kv??c。 因为校正后系统的开环参考模型为

3?c。

3?1?s?1?s??6???c?1s?1??2?c?s? ??c?3所以校正后系统的动态性能指标： 系统阶跃响应的超调量Mp?4.3%； 阶跃响应的调节时间ts?3?1sec。

?c?3?c校正后系统的稳态性能指标： 系统的静态速度误差系数Kv??c?3 系统的稳态误差ess?esp?esv?0?11??0.33 Kv3综上所述，校正后系统的静态指标ess?0.33?0.8，动态期望指标ts?1s?2s均满足期望指标，所以校正装置满足系统设计指标的要求。

- 29 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

六、校正后系统的伯德图

从图4.6可以看出校正后系统仍是稳定的。

图4.6 校正后系统的波德图

- 30 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

第五章 系统仿真验证

第一节 原系统的物理仿真

物理仿真也称实体仿真，指的是研制某些硬件结构（实体模型），使之重现系统的各种状态，而不必采用原型，仿真直观形象，效果逼真，精度高。但是造价高，耗时长，修整结构，参数困难，受到环境的限制，易受干扰，一般在一些特殊场合下采用。控制系统由若干元器件组合而成的，从形式和结构上来看，有各种各样不同的部件，但是在数学模型上来看，却可以分为几个基本环节。这样划分为系统的分析和研究带来了很大的方便。

原系统物理模拟结构图如图5.1所示：

Rf A C2 R0 A R2 r R0 Rc R0 C1 y A 图5.1 原系统物理模拟结构图

经过二阶参考模型串联校正后的系统物理模拟结构图如图5.2所示： 其中R0?100K?,C1?C2?10?5F,C3?0.5?10?5F,C4?0.17?10?5F,R2?Rf?300K?

R0?50K? 2- 31 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

C4 r R0 R0 C3 R0 R0 Rf A R0 R0 C1 C2 R2 Rc A A y A R0 A 图5.2 校正后系统物理模拟结构图

如图5.2所示，校正后系统物理模拟结构图是在原系统前面串联上校正装置。根据求得的校正装置特性，校正后系统的校正装置从左到右分别是一个微分环节和一个一阶惯性环节。通过对校正后系统的分析，发现选取的K值会在校正过程中消去，所以根据二阶参考模型，校正后的系统中选取Rf?300K?，即可满足校正后系统的性能指标。

第二节 MATLAB仿真

MATLAB是美国Mathworks公司开发的当前国际上控制领域最流行的软件。MATLAB语言不仅方便学习和使用、扩展能力强而且编程效率高、运算功能强大。更重要的是它配备大量的配套工具箱。就控制系统而言，就有控制系统工具箱、系统辨识工具箱、多变量频域设计工具箱等。随着MATLAB功能的不断扩大，现在的MATLAB不只是局限于现代控制系统分析和综合的应用，而是一种包含有各种科学的功能强大的“技术计算机语言”，使得我们进行控制系统的设计和分析更为简便。

本设计运用MATLAB绘制校正前后系统的波德图，单位阶跃响应图，还有设定输入下系统的输出图像。通过这些图可以知道系统的一些性能指标，比如，系统超调量、稳定时间、上升时间等，可以方便直观的对比校正前后的系统的性能指标，检验校正后系统是否满足期望的设计指标。

- 32 -

重庆邮电大学移通学院本科毕业设计（论文）

一、单位阶跃响应

单位阶跃响应是指在单位阶跃信号的作用下，系统的输出随时间的变化，最终趋于平稳的过程。它可以用来确定系统的位置跟踪能力，还可以间接地确定系统其他响应的特性。

单位阶跃信号为：

r?t??1?t?

①原系统的单位阶跃响应 MATLAB程序： num=[100]; den=[1,2,0]; G=tf(num,den); G0=feedback(G,1); step(G0)

原系统的单位阶跃响应如图5.3所示：

图5.3 K取100时原系统的单位阶跃响应

- 33 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q693.html