2014年辽宁省高考数学试卷（文科）答案与解析

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分） 1．（5分）（2014?辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合?U（A∪B）=（ ） {x|x≥0} {x|x≤1} {x|0≤x≤1} A．B． C． D． {x|0＜x＜1} 考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合． 分析： 先求A∪B，再根据补集的定义求CU（A∪B）． 解答： 解：A∪B={x|x≥1或x≤0}， ∴CU（A∪B）={x|0＜x＜1}， 故选：D． 点评： 本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法． 2．（5分）（2014?辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（ ） 2+3i 3+2i A．B． 2﹣3i C． D． 3﹣2i 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求． 解答： 解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得： ， ∴z=2+3i． 故选：A． 点评： 本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题． 3．（5分）（2014?辽宁）已知a=

，b=log2，c=log

，则（ ）

A．a＞b＞c B． a＞c＞b C． c＞b＞a D． c＞a＞b 考点： 对数的运算性质． 专题： 计算题；综合题． 分析： 利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求． 解答： 0解：∵0＜a=＜2=1， b=log2＜log21=0， 1

c=log=log23＞log22=1， ∴c＞a＞b． 故选：D． 点评： 本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题． 4．（5分）（2014?辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B． 若m⊥α，n?α，则m⊥n 若m⊥C．α，m⊥n，则n∥α D． 若m∥α，m⊥n，则n⊥α 考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B．运用线面垂直的性质，即可判断； C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断； D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断． 解答： 解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确； C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错； D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n?α或n⊥α，故D错． 故选B． 点评： 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型． 5．（5分）（2014?辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若?=0，?=0，则?=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（ ）

p∨q p∧q A．B． C． （￢p）∧（￢q） D． p∨（￢q） 考点： 复合命题的真假；平行向量与共线向量． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论． 解答： 解：若?=0，?=0，则?=?，即（﹣）?=0，则?=0不一定成立，故命题p为假命题， 若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题， 则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题， 故选：A． 点评： 本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真

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假是解决本题的关键． 6．（5分）（2014?辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）

A． B． C． D． 考点： 几何概型． 专题： 概率与统计． 分析： 利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论． 解答： 解：∵AB=2，BC=1， ∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2， 圆的半径r=1，半圆的面积S=， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是， 故选：B． 点评： 本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础． 7．（5分）（2014?辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．8﹣ B． 8﹣ C． 8﹣π D． 8﹣2π 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面 3

半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 解答： 解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=2﹣2××π×1×2=8﹣π． 故选：C． 点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 8．（5分）（2014?辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ） A．B． ﹣1 C． D． ﹣ ﹣ ﹣ 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 2分析： 利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率． 2解答： 解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y=2px的准线上， 322

∴﹣=﹣2， ∴F（2，0）， ∴直线AF的斜率为=﹣． 故选：C． 点评： 本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题． 9．（5分）（2014?辽宁）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2

}为递减数列，则（ ）

A．d＞0 B． d＜0 C． D． a1d＞0 a1d＜0 考点： 等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由数列递减可得＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得． 解答： 解：∵数列{2∴＜1，即}为递减数列， ＜1， ∴＜1， 4

∴a1（an+1﹣an）=a1d＜0 故选：D 点评： 本题考查等差数列的性质和指数函数的性质，属中档题． 10．（5分）（2014?辽宁）已知（fx）为偶函数，当x≥0时，（fx）=，

则不等式f（x﹣1）≤的解集为（ ） A．[，]∪[，] C．[，]∪[，] B． [﹣，﹣]∪[，] D． [﹣，﹣]∪[，] 考点： 分段函数的应用． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 先求出当x≥0时，不等式f（x）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤的解，即可得到结论． 解答： 解：当x∈[0，]，由f（x）=，即cosπx=， 则πx=，即x=， 当x＞时，由f（x）=，得2x﹣1=， 解得x=， 则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图） 则由f（x）为偶函数， ∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣， 即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤则由﹣≤x﹣1≤或≤x﹣1≤， 解得≤x≤或≤x≤， 即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}， 故选：A． ， 5

（Ⅱ）当x∈[，π]时， +﹣1 化简可得g（x）=（x﹣π）=（π﹣x）+﹣1， 令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣求导数可得u′（t）=， ﹣t+1，t∈[0，]， 由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，∴函数u（t）在（x0，由u（）上为增函数， ）时，u（t）＜0， ）时，u′（t）＞0， ）=0知，当t∈[x0，∴函数u（t）在[x0，）上无零点； 函数u（t）在（0，x0）上为减函数， 由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0， 于是存在唯一t0∈（0，设x1=π﹣t0∈（∴存在唯一x1∈（），使u（t0）=0， ，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0， ，π），使g（x1）=0， ∵x1=π﹣t0，t0＜x0， ∴x0+x1＞π 点评： 本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题． 四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）（2014?辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F． （Ⅰ）求证：AB为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．

考点： 圆周角定理；与圆有关的比例线段． 16

专题： 选作题；立体几何． 分析： （Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°； （Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED． 解答： 证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD， ∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA， ∵∠PGD=∠EGA， ∴∠DBA=∠EGA， ∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA， ∴∠NDA=∠PFA， ∵AF⊥EP， ∴∠PFA=90°． ∴∠BDA=90°， ∴AB为圆的直径； （Ⅱ）连接BC，DC，则 ∵AB为圆的直径， ∴∠BDA=∠ACB=90°， 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD， ∴Rt△BDA≌Rt△ACB， ∴∠DAB=∠CBA， ∵∠DCB=∠DAB， ∴∠DCB=∠CBA， ∴DC∥AB， ∵AB⊥EP， ∴DC⊥EP， ∴∠DCE为直角， ∴ED为圆的直径， ∵AB为圆的直径， ∴AB=ED． 点评： 本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题． 选修4-4：坐标系与参数方程

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23．（2014?辽宁）将圆x+y=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C． （Ⅰ）写出C的参数方程； （Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

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考点： 参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 直线与圆；坐标系和参数方程． 分析： 22（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x+y=1上，求出C的方程，化为参数方程． （Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程． 解答： 22解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x+y=1上， 22∴x+=1，即曲线C的方程为 x+=1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）． （Ⅱ）由，可得 ，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2）， 则线段P1P2的中点坐标为（，1）， 再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0． 再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0， 即 ρ=． 点评： 本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． 选修4-5：不等式选讲

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24．（2014?辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：xf（x）+x[f（x）]≤． 考点： 其他不等式的解法；交集及其运算． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： （Ⅰ）由所给的不等式可得 ①，或 22

②，分别求得①、②的解集， 18

再取并集，即得所求． （Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证． 解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①，或 ②． 解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1． 综上，原不等式的解集为[0，]． （Ⅱ）证明： 由g（x）=16x﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤， ∴N=[﹣，]， ∴M∩N=[0，]． ∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x， ∴xf（x）+x[f（x）]=xf（x）[x+f（x）]=﹣22 2≤， 故要证的不等式成立． 点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题． 19

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