真空中静电场场强的计算

真空中静电场场强的几种计算方法

及若干典型场强

河海大学工程力学

摘要：电荷在空间会激发一个电场，电场的计算有很多种方法，这论文介绍常见的几种方法及10种常见电场强度的计算。

关键字：静电场 典型电场 场强 计算

任何带电体都要在空间激发电场，静止带电体激发的电场称为静电场，静电场的空间分布通过物理量电场强度来描述，静电场的有源无旋性通过与电场强度相关联的高斯定理和场强环路定理来体现。所以电场强度是静电学部分最重要、最基本的一个概念，对于给定的任一带电体，了解和掌握其电场强度的计算方法具有重要的实际意义。场强的计算是静电学的重点和难点，本文对电场强度的计算方法进行了归纳、总结，并就若干典型电场强度给出计算过程及结果。

1静电场场强的几种计算方法 1.1、迭加法

电场强度的基本特性之一就是可迭加性，该特性提供了计算任意带电体场强的基本方

法——迭加法，该方法的基本思想是：以熟知的点电荷场强公式E

q4 0r3

r为基础，当

带电体系由若干个分离的点电荷组成时，直接应用点电荷场强公式，进行矢量迭加，即得空间场强的分布；当带电体电荷连续分布时，将带电体视为由无数个电荷元组成，电荷元激发的场强由点电荷场强公式描述，无数个电荷元场强的迭加，即整个带电体激发的电场强度。

例1．1、一带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为 0sin ，式中 0为

一常数， 为半径R与X轴所成的夹角，如图1所示。 试求环心O处的电场强度。 解：在Φ 处取电荷元，如图2， 其电量为 dq dl 0Rsin d

它在O点产生的场强为

dE

0sin d dq 2

4 0R4 0R

dEy dEsin

在x、y轴上的二个分量 dEx dEcos

对各分量分别求和 Ex

0

sin cos d 0 04 0R

0 02sin d Ey

4 0R 08 0R

E Exi Eyj 0j

8 0R

迭加法求场强的一般步骤是：首先在带电体上选取适当的电荷元，写出电荷元在场点激发的电场强度，若各电荷元在场点激发的电场强度方向相同，将电荷元在场点激发的场强直接积分即得带电体在场点激发的电场强度；反之，需将电荷元在场点激发的场强沿选取的正交方向进行分解，对场强分量积分得总场强的分量，进而获得待求点的电场强度。原则上，利用迭加法，可计算任何带电体激发的电场分布，主要困难是积分的运算。 1.2、高斯定理法

场源电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性，当电荷分布具有特殊对称性时利用高斯定理可方便地求出场强。

例1.1.均匀带电球面内外的场强分布。设球面半径为 R，所带总电量为 Q。 解：由题意知，电荷分布具有球对称性，所以场强的分布亦具有球对称性，场强的方向沿着径向，且在以球心为圆心的各球面上的场强处处相等。可选同心球面为高斯面。 如图3所示，当r R 时，高斯面内电荷为Q，通过高斯面的电通量

e E dS E dS 4 r2E

s

s

根据高斯定理： e 4 rE Q/ 0

2

图3

E 0

r R

E

Q4 0r

2

rr R

当r R时，高斯面内电荷为0

该例题代表着一类对称性电荷分布激发场强的计算方法，只要带电体电荷分布具有球对称性（均匀带电球体、均匀带电球壳等），则场强的分布亦具有球对称性。可选取同心球面形状高斯面求场强分布。利用高斯定理求场强的一般步骤是：首先根据电荷分布的对称性分析场强分布的对称性，然后根据场强对称性分布的特征选取适当的高斯面，最后利用高斯定理求出电场强度。利用高斯定理求场强分布，通常电荷分布呈现的对称性包括：球对称性（均匀带电球体、均匀带电球壳等）、柱对称性（无限长均匀带电圆柱体、无限长均匀带电圆柱面等）、面对称性（无限大均匀带电平面）。 1.3、场势关系法

电势是标量，迭加法计算电场中电势的分布比计算场强的分布简便的多。对给定的电荷分布，若电势分布比较易于计算或电势分布已知时，可先计算电势的空间分布，然后利用

E U求出场强分布。

例1.3、计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势。已知圆环带电量为 解：在带电圆环上取电荷元dq，如图4所示，

dU

dq4 0r

电荷元在P点激发电势： 整个带电圆环在P点激发电势：

图4

U

L

dq4 0r

q4 0rq

即：U(z)

4 0(z2 R2)

所以P点电场强度：

U qz

E U k k222

z4 0(R z)

1．4、补缺法

有些带电体具有一定的规则缺陷，求解该类带电体的场强分布，行之有效的方法是补缺法，该方法的基本思想是：先将原带电体的规则缺陷补全，使之成为一个完整的规则带电体，再在原带电体的规则缺陷处叠加一个与原带电体缺陷形状相同但带异号电荷的规则带电体，也就是说，将原带电体视为由两个带异号电荷的规则带电体叠加而成，原带电体激发的电场与两个规则带电体分别激发的电场叠加等同。而对两个规则带电体，其激发电场的场强分布已知或易于求解，这样可简化原场强的求解。

例1．4、在半径为R1，电荷体密度为 的均匀带电球体内，挖去一个半径为R2的球体空腔，空腔中心O2与带电球体中心O1间的距离为b，且R1>b>R2，如图5所示。求空腔内任一点p的电场强度E。 解：这是一个电荷非对称分布的问题，不能直接用高斯定理求解。但半径为R1的球和半径为R2的空腔是球对称的，利用这一特点，把带电体看成半径为R1 的均匀带电+ 的球体与半径为R2的均匀带

电- 的球体迭加，这相当于空腔处补上电荷体密度分别为 和 的两个球体，这时空腔内任一点p的场强：

E E1 E2

其中E1.E2分别是带电 的大球和带电 的小球在P点的场强, E1.E2都可用高斯定理求得：

图5

R2

E1

r13 0 r23 0

(o1p r1)

E2 (o2p r2)

E E1 E2

(o1o2 b)

(r1 r2) b3 03 0

由结果可知，空腔内的场是均匀场，方向由o1指向o2 。 2．若干典型静电场电场强度 2.1点电荷及点电荷系的电场强度

以熟知的点电荷场强公式E

q4 0r3

r为基础，当带电体系由若干个分离的点电荷

组成时，直接应用点电荷场强公式，进行矢量迭加，即得空间场强的分布； 2.2电偶极子两电荷连线中垂线上某点的电场强度

例2．1：一对相距为l的等量异种电荷+q和—q组成一个点电荷系统，求两个点电荷连线中垂线上某点p的电场强度.

解：以两个点电荷的中心为坐标原点O，建立直角坐标系Oxy.设p点到电偶极子轴线的距离为r,正、负电荷在P点激发的电场强度

E+=

q

4πε +

+ =

3 4πε

q

由于r l,因此 += =+ 2/4)≈ ,

E= ++ =

q4πε 3(

+ )

令 l为从-q到+q得矢量，其大小为l，则 + = 从而 E= 4πε 2.3、带电直线的电场强度及无限长均匀带电细棒 例2．2：一长为L的均匀带电细棒，电荷线密度为δ,设棒外一点P到细棒的距离为a,且与棒两端的连线分别和棒成夹角为 1， 2，求P 解：建立如图示空间直角坐标系 取电荷元 dq=δdx,则dq在p dE=4πε =4 将dE沿x和y轴方向 分解为 D = cos =

cos 4 2

ql

D = sin =

sin 4 2

1 x dx 2

又有：r=a/sinθ x= acot 故分别对场强在想x,y轴上积分

=∫ =∫ =∫ =∫

cos 4 cos 4 ==

2

cos =(sin 2 sin 1) ∫ 4 4

1

2

∫sin =4 (cos 2 cos 1) 4

1

当带电细棒为无线长（即a l）时 ，可得 =0 ; =

2

2.4、带电圆环轴线上任意点的电场强度

例2．3：如图示，电荷q(q>0)

轴线上任意点P的电场强度解：在圆环轴线上任取一点平，距离圆环环心O将圆环分割成许多电荷元dq=δdl=2πR则任意电荷元在P点激发的电场强度为： dE=4 上相互加强，则和场强为： E=∮ =∮ cos =∮

cos 4 dq

qdl

=

cos 4 Cos =式中r=√ 则电场强度可化为：

E=qx/4πε( + ) 2.5、均匀带电圆盘轴线上的电场强度

例2．4：有一表面均匀的带电薄圆盘，半径为R，电荷面密度为σ，如图示，计算圆盘轴线上任意一点P的电场强度.

同心圆环组成，任取一圆环，其电荷量为： dq=σ2πrdr (见例2.3)，则此圆环在P点： 激发的电场强度 dE=σx2πrdr/4πε( + ) dE沿x轴正向，则带电圆盘在P2

2

32

22

3

E=

xσ

∫2ε0

( 2+ 2)=2 [1

( 2+ 2)]

2．6、(1)无限大的带电平面的电场强度

已知无限大均匀带正电平面内电荷面密度为σ，求空间场强分布。

由（例2.4）知 E=2 [1 则 E=

2

( 2+ 2)] ,则当x R时，即为无限大带电平面

(2)无限大大带电平板的电场强度

例2．5、。若为已知厚度为a的无限大均匀带正电平板内电荷体密度为ρ，求空间场强分布。 解：当空间内一点为带电平板外一点P

E=

ρ2ε

当P点为平板内一点时，记P = 左+ 右 则其电场强度大小为： E=

dρεa

2.7、均匀带电球面的电场强度

例2．6：已知半径为R，带电荷量为q(q>0)，的均匀带电球面。求其空间的电场强度分布。 解： 根据电场的球对称性，以相同球心做一半径为r的高斯面，则 高斯面上场强处处相等，且与面积元的法线方向一致，则通过

此高斯面的E通量为

=∮ = ∮ = .4 2

又由高斯定理，有 .4 2=ε 解得，P点电场强度为：E=

q4πε q

0 ,r<0

则电场强度分布为：E={

q/4πε 2,r≥R2.8、均匀带电球体的电场强度

例2．7：已知半径为R，带电荷量为q(q>0)，的均匀带电球体。求其空间的电场强度分布。 解：根据电场强度的对称性分析，做高斯面，记半径为r 由高斯定理得：

E=

qr4πε

则空间电场强度分布为：

qr/4πε 3,r<R

E={

q/4πε 2,r≥R

2.9、无限长的圆柱体的电场强度

例2．8、一半径为R的无限长均匀带电的圆柱体，电荷体密度为ρ，求柱体空间任意一点的

电场强度分布。

解：根据电场的对称性分析，做高斯面，如图蓝色柱体，记半径为

高斯面圆柱体高为h,则根据高斯定理有：

=∮ = ( 1+ 2+ 3)= 3= 2 3 又有 =

2 rρ

解得 E=2ε (r<R) 同理 当r≥R时 E=

2 2

E=2ε,r<R

rρ

则空间电场强度分布为：E={ 2

E=2 ,r≥R

2.10、无限长的空心圆柱体的电场强度

例2．9、一半径为R1的无限长均匀带电圆柱体内，有一半径为 2的同轴无限长圆柱体空腔，已知电荷体密度为ρ，求空腔吗、内外任意一点的电场强度的分布。 解：根据电场的对称性分析，做高斯面，记半径为r,高为h 根据高斯定理，有 当r< 2 时，E=0 当 2<r< 1时， E= 当 1<r时， E=结论

静电场的计算方法有很多种，常见的就有以上的四种方法，( 2 22)

2

( 12 22)

2

情况而选取不同的方法来求解，选择适当的方法会给计算带来很大的方便；熟练计算静电场场强并掌握以上典型电场强度的计算方法与公式，提高学习效率及掌握程度。 参考文献 :

[ 1 ] 毛骏键，顾牡. 大学物理学[M].高等教育出版社，2006

[ 2 ] 陈秉乾, 王稼军. 大学物理通用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2003 [ 3 ] 程守沫, 江之永普通物理学第五版第册[ M ] 北京高等教育出版社.1996.6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q63n.html