2016年高考试题（数学文）新课标卷 解析

绝密★启封并使用完毕前

2016普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）

文科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

（1）设集合A?{0,2,4,6,8,10},B?{4,8}，则eAB＝（ ）

8} （A）{4,2,6} （B）{0，2，6,10} （C）{0，2，4，6，810}, （D）{0，【答案】C 【解析】

试题分析：由补集的概念，得CAB?{0,2,6,10}，故选C．考点：集合的补集运算．

【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化． （2）若z?4?3i，则

（A）1 【答案】D

z＝（ ） |z|[来源:gkstk.Com]

（B）?1

43（C）?i

5543（D）?i

55

考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模．

【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把i换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．

2uuv13uuuv31（3）已知向量BA?(,) ,BC?(,), 则?ABC?（ ）

2222(A)30 (B) 45 (C) 60 (D)120 【答案】A

0

0

0

0

考点：向量夹角公式．

????????b＝abcos?，其中?是a与b的夹角，要注意夹角的定义【思维拓展】（1）平面向量a与b的数量积为a·???????a·b??|a|=a·a0????180?和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质有，cos????，a·b＝0?a?b，

ab因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图

中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C．下面叙述不正确的是（ ）

0

0

(A) 各月的平均最低气温都在0C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于20C的月份有5个 【答案】D 【解析】

试题分析：由图可知0?C均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可在七月的平均温差大于7.5?C，而一月的平均温差小于7.5?C，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5?C，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以不正确．故选D．

0

0

考点：1、平均数；2、统计图．

【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．

（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是

1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） （A）【答案】C 【解析】

试题分析：开机密码的可能有(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5)，

8111 （B） （C） （D） 1581530(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

选C．

考点：古典概型．

1，故15【解题反思】对古典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)?（6）若tan??m得出的结果才是正确的． n1 ，则cos2??（ ） 34114?（A）5 （B）5 （C）5 （D）5

?【答案】D

考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．

【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （7）已知a?2,b?3,c?25，则（ ）

(A) b?a?c (B)a?b?c 【答案】A

(C) b?c?a

(D) c?a?b

432313【解析】

试题分析：因为a?2?4，c?25?5，又函数y?x在[0,??)上是增函数，所以3?4?5，即

4323132323232323b?a?c，故选A．

[来源:学优高考网]

考点：幂函数的单调性．

【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．

（8）执行下图的程序框图，如果输入的a?4，b?6，那么输出的n?（ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】B

考点：程序框图．

【注意提示】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． （9）在△ABC中，B=π1，BC边上的高等于BC,则sinA=（ ） 43（A）【答案】D【解析】

5103103 （B） （C） （D） 5101010[来源:学优高考网]

试题分析：设BC边上的高线为AD，则BC?3AD,DC正弦定理，知

?2AD，所以AC?AD2?DC2?5AD．由

ACBC3105AD3AD?，即，解得sinA?，故选D． ?sinBsinA10sinA22考点：正弦定理．

【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解． (10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（ ）

（A）18?365 （B）54?185 （C）90 （D）81 【答案】B

考点：空间几何体的三视图及表面积．

【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．

V的球，若AB?BC，AB?6，BC?8， (11) 在封闭的直三棱柱ABC?A1B1C1内有一个体积为

AA1?3，则V的最大值是（ ）

（I）证明MN?平面PAB； （II）求四面体N?BCM的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

45． 3试题解析：（Ⅰ）由已知得AM?2AD?2，取BP的中点T，连接AT,TN，由N为PC中点知TN//BC，3TN?1BC?2. ......3分 2又AD//BC，故TN?AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT. 因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN//平面PAB. ........6分

（Ⅱ）因为PA?平面ABCD，N为PC的中点， 所以N到平面ABCD的距离为

1PA. ....9分 2取BC的中点E，连结AE.由AB?AC?3得AE?BC，AE?由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S?BCM?所以四面体N?BCM的体积VN?BCM?AB2?BE2?5.

1?4?5?25， 21PA45?S?BCM??. .....12分 323考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．学优高考网 （20）（本小题满分12分）

已知抛物线C：y2?2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P，Q两点．

（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR?FQ；

（II）若?PQF的面积是?ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）y?x?1．

2试题解析：由题设F(,0).设l1:y?a,l2:y?b，则ab?0，且

12a2b2111a?bA(,0),B(,b),P(?,a),Q(?,b),R(?,). 222222记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x?(a?b)y?ab?0. .....3分 （Ⅰ）由于F在线段AB上，故1?ab?0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1?所以AR?FQ. ......5分 （Ⅱ）设l与x轴的交点为D(x1,0)， 则S?ABFa?ba?b1?ab?????b?k2， 221?aa?abaaa?b111. ?b?aFD?b?ax1?,S?PQF?222211a?b，所以x1?0（舍去），x1?1. b?ax1??222由题设可得

设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时，由kAB?kDE可得

2y?(x?1). a?bx?1而

a?b?y，所以y2?x?1(x?1). 2当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2?x?1. ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．

【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．

（21）（本小题满分12分）

设函数f(x)?lnx?x?1． （I）讨论f(x)的单调性； （II）证明当x?(1,??)时，1?x?1?x； lnx（III）设c?1，证明当x?(0,1)时，1?(c?1)x?cx.

【答案】（Ⅰ）当0?x?1时，f(x)单调递增；当x?1时，f(x)单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．

试题解析：（Ⅰ）由题设，f(x)的定义域为(0,??)，f(x)?'1?1，令f'(x)?0，解得x?1. x当0?x?1时，f'(x)?0，f(x)单调递增；当x?1时，f'(x)?0，f(x)单调递减. ???4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在x?1处取得最大值，最大值为f(1)?0， 所以当x?1时，lnx?x?1， 故当x?(1,??)时，lnx?x?1，ln11x?1??1，即1??x. ??????7分 xxlnxx'x（Ⅲ）由题设c?1，设g(x)?1?(c?1)x?c，则g(x)?c?1?clnc．

c?1'lnc. 令g(x)?0，解得x0?lncln当x?x0时，g(x)?0，g(x)单调递增；当x?x0时，g(x)?0，g(x)单调递减. ?????9分 由（Ⅱ）知，1?''c?1?c，故0?x0?1．又g(0)?g(1)?0，故当0?x?1时，g(x)?0， lnc所以当x?(0,1)时，1?(c?1)x?cx. ??????12分 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．

【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点． 如图，?O中?（I）若?PFB?2?PCD，求?PCD的大小；

（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG?CD．

【答案】（Ⅰ）60?；（Ⅱ）见解析．

（Ⅱ）因为?PCD??BFD，所以?PCD??EFD?180?，由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此OG?CD．

考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．

【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

??x?3cos?在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(?为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正

y?sin????半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?sin(??)?22．

4（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.

31x2?y2?1，C2的直角坐标方程为x?y?4?0；【答案】（Ⅰ）C1的普通方程为（Ⅱ）(,)．

223x2?y2?1，C2的直角坐标方程为x?y?4?0. ??5分 试题解析：（Ⅰ）C1的普通方程为3（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos?,sin?)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(?)的最小值，d(?)???????8分 当且仅当??2k??|3cos??sin??4|??2|sin(??)?2|.

32?6(k?Z)时，d(?)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为

31(,). ??????10分 22考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．

【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(acos?,bcos?)，将其转化为三角问题进行求解． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?|2x?a|?a．

（I）当a?2时，求不等式f(x)?6的解集；

（II）设函数g(x)?|2x?1|．当x?R时，f(x)?g(x)?3，求a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{x|?1?x?3}；（Ⅱ）[2,??)．

试题解析：（Ⅰ）当a?2时，f(x)?|2x?2|?2. 解不等式|2x?2|?2?6，得?1?x?3，

因此，f(x)?6的解集为{x|?1?x?3}. ??????5分 （Ⅱ）当x?R时，

f(x)?g(x)?|2x?a|?a?|1?2x|?|2x?a?1?2x|?a?|1?a|?a，

当x?1时等号成立， 2所以当x?R时，f(x)?g(x)?3等价于|1?a|?a?3. ① ??7分 当a?1时，①等价于1?a?a?3，无解； 当a?1时，①等价于a?1?a?3，解得a?2， 所以a的取值范围是[2,??). ??????10分

考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．

【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a＋b?a|－b，当且仅当a?－b?0时，等号成立，对a－b?|a－b?a|＋b，如果a?－b?0，当且仅当a?b且ab?0时左边等号成立，当且仅当ab?0时右边等号成立．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q62f.html