2022届四川省成都石室中学一诊数学(文)试题Word版含解析

2021届四川省成都石室中学一诊数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合{}1A x N x =∈>，{}5B x x =<，则A

B =（ ） A ．{}15x x <<

B ．{}

1x x > C ．{}2,3,4

D ．{}1,2,3,4,5 【答案】C

【解析】由交集的定义求解即可,注意x ∈N

【详解】 {}{}152,3,4A B x N x ?=∈<<=

故选:C

【点睛】

本题考查集合的交集运算,属于基础题

2．设i 为虚数单位，若复数z 满足1iz i =+，则z 的共轭复数为（ ）

A ．1i -

B ．1i --

C ．1i -+

D ．1i +

【答案】D

【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【详解】 由z ?i ＝1+i ，得z ()()2

111i i i i i

i +-+===--， ∴1z i =+，

故选：D ．

【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

3．若等边ABC 的边长为4，则AB AC ?=（ ）

A ．8

B ．8-

C ．

D ．- 【答案】A

【解析】可画出图形，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出AB BC ?的值．

【详解】

如图，

根据条件，1

604482AB AC AB AC cos ?=?=??=．

故选：A ．

【点睛】

本题考查等边三角形的概念，以及向量夹角的概念，向量数量积的计算公式．

4．由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中，比2019大的数的个数为（ ）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

【答案】B

【解析】分别讨论首位为3,2的情况,进而汇总即可

【详解】

当首位为3时,都满足,共6个；

当首位为2,百位为1或3时,都满足,此时4个；

当首位为2,百位为0时,只有2031满足,

综上,共11个

故选:B

【点睛】

本题考查分类讨论思想的应用,考查分类加法计数原理

5．若等比数列{}n a 满足：11a =，534a a =，1237a a a ++=，则该数列的公比为（

） A ．2- B ．2 C ．2± D ．1

2

【答案】B

【解析】直接由534a a =得到q =2或﹣2，再依据条件进行取舍.

【详解】

设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q

∵534a a =，∴q =2或﹣2，

又当q =2时，满足1237a a a ++=，

当q =﹣2时，1231243a a a ++=-+=，不满足1237a a a ++=，

∴q =2．

故选：B

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式的基本运算，考查了分类讨论思想，属于基础题.

6．若实数a ，b 满足||||a b >，则（ ）

A ．a b e e >

B ．sin sin a b >

C ．11a b a b e e e e

+>+ D ．))a b > 【答案】C

【解析】利用反例判断A 、B 、D 不正确，函数的单调性以及函数的奇偶性判断C 的正误即可．

【详解】

对于A ，∵e ﹣2＜e 1，∴A 错误；

对于B ：26sin sin ππ??- ???

＜，∴B 错误； 对于C ：()1x x f x e e =+

为偶函数，且当x ∈（0，+∞）时，单调递增，当||||a b >时，()()f a f b >，即1111a b a b a b a b e e e e e e e e

+=+>+=+，故C 正确；

对于D ，反例a ＝2，b ＝﹣1，可得))2ln a ln =＜0，))1ln b ln =＞0，))

ln a ln b ＜．所以D 不正确， 故选：C ．

【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，考查指数函数，三角函数，以及函数奇偶性、单调性的应用，是基本知识的考查．

7．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且

114BE BB =，112

CF CC =，则（ ） A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交

C ．1

D

E A

F =，且直线1D E ，AF 异面

D ．1D

E A

F =，且直线1D E ，AF 相交 【答案】A

【解析】作图，通过计算可知D 1E ≠AF ，取点M 为BC 的中点，则AMFD 1共面，显然点E 不在面AMFD 1内，由此直线D 1E ，AF 异面．

【详解】

∵2222111111712D E D B B E AF AC CF D E =+==+=≠，，

如图，取点M 为BC 的中点，则AD 1∥MF ，

故AMFD 1共面，点E 在面AMFD 1面外，

故直线D 1E ，AF 异面．

故选：A ．

【点睛】

本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题．

8．设函数()2192

f x x alnx =-，若f （x ）在点（3，f （3））的切线与x 轴平行，且在区间[m ﹣1，m +1]上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2m ≤

B ．4m ≥

C ．12m <≤

D ．03m <≤ 【答案】C

【解析】求出导函数，利用切线的斜率，求出a ，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可．

【详解】

()()9''30a f x x f x =-=，，∴a ＝1， 因为x ＞0，所以当0＜x ＜3时，f ′（x ）＜0，即f （x ）在（0，3]上递减，

所以0113m m -??+≤?

＜，∴1＜m ≤2． 故选：C ．

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

9．已知1sin 23α=

，则2cos 4πα??+= ???（ ） A ．13-

B ．13

C ．23-

D ．23

【答案】B 【解析】利用降幂公式可得21cos 22cos 42παπα??++ ?????+= ??

?,再利用诱导公式求解即可 【详解】

211cos 211sin 2123cos 42223παπαα??++- ?-????+==== ??

? 故选:B

【点睛】

本题考查降幂公式的应用,考查诱导公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值

10．函数()11x f x e x

-=-的图象大致为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可．

【详解】

函数f （x ）11x e x

-=

-的定义域为：x ≠1，均满足， 当x ＝﹣1时，f （﹣1）211

e -=+＞0，排除A 、 C ． 当x ＝2时，

f （2）12e =-＞0，排除B ； 故选：D ．

【点睛】

本题考查函数的图象的判断，利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．

11．设圆22:230C x y x +--=，若等边PAB △的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为（ ）

A 10

B ．23

C ．4

D ．6【答案】C

【解析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，设∠CAB ＝θ（0＜θ2π＜

），连接PC 与AB 交于点D ，把|PD |、|CD |用含有θ的代数式表示，再由三角函数求最值．

【详解】

化圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0为（x ﹣1）2+y 2＝4，

连接AC ，BC ，设∠CAB ＝θ（0＜θ2π

＜），连接PC 与AB 交于点D ，

∵AC ＝BC ，△PAB 是等边三角形，∴D 是AB 的中点，得PC ⊥AB ，

在圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4中，圆C 的半径为2，|AB |＝4cos θ，|CD |＝2sin θ，

∴在等边△PAB 中，|PD |3=AB |23cos θ=，

∴|PC |＝|CD |+|PD |22343sin cos sin πθθθ??=+=+

≤ ???

4． 故选：C ．

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．

12．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论：

①()f x 是偶函数；

②()f x 的最小正周期为π；

③()f x 的最小值为0；

④()f x 在[]0,2π上有3个零点

其中所有正确结论的编号是（ ）

A ．①②

B ．①②③

C ．①③④

D ．②③④

【答案】B

【解析】根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假．

【详解】

因为函数f （x ）定义域为R ，而且f （﹣x ）＝cos|2x |+|sin x |＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，①正确； 因为函数y ＝cos|2x |的最小正周期为π，y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以f （x ）的最小正周期为π，②正确； f （x ）＝cos|2x |+|sin x |＝cos2x +|sin x |＝1﹣2sin 2x +|sin x |＝﹣2（|sin x |14-

）298+，而|sin x |∈[0，1]，所以当|sin x |＝1时，f （x ）的最小值为0，③正确；

由上可知f （x ）＝0可得1﹣2sin 2x +|sin x |＝0，解得|sin x |＝1或|sin x |12

=-（舍去） 因此在[0，2π]上只有x 2π=

或x 32

π=，所以④不正确． 故选：B ．

【点睛】 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题．

二、填空题

13．若等差数列{}n a 满足：11a =，235a a +=，则n a =______.

【答案】n

【解析】【详解】

设等差数列{a n }的公差为d

∵a 1＝1，a 2+a 3＝5，即1235a d +=

∴d ＝1，

∴a n ＝n ，

故答案为：n

【点睛】

本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．

14．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.

【答案】0.4

【解析】将买猪肉的人组成的集合设为A ，买其它肉的人组成的集合设为B ，

由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.

【详解】

由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A ，买其它肉的人组成的集合设为B ，

则韦恩图如下：A B ?中有30人，()U C A B 中有10人，又不买猪肉的人有30位，

∴U B C A ?中有20人，∴只买猪肉的人数为：10010203040---=，

∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为

40

100

=0.4，

故答案为；0.4

【点睛】

本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.

15．已知双曲线

2

2

:1

3

y

C x-=的左，右焦点分别为1F，2F，过1F的直线l分别与两条渐近线交于A、B

两点，若

12

F B F B =，

1

F A AB

λ

=，则λ=______.

【答案】1

【解析】由题意画出图形，结合已知

12

F B F B

?=可得B（13，写出F1B的方程，与3

y x

=-联立求得A点坐标，得到A为B、F1的中点，可得结论．

【详解】

如图，因为B在渐近线上，

∴设B（t3t）, 且120

F-

（，），

2

(2,0)

F，

∵

12

(3)(3)0

F B F B t t t t

?=+?-=，

∴1

t=，则B（13）

∴F1B：y

3

=（x+2），

联立

3

2

3

y x

y x

?

=+

?

?

?=

?

（）

，解得A（

1

2

-3，即A为B、F1的中点

∴1

λ=．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．

16．若函数f （x ）()()

21

21

x e a x x a x a x ?-?=?--≥??，＜，，恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】[12，1）∪{2}∪[e ，+∞） 【解析】分四种情况讨论当a ≤0时，当0＜a ＜2时，当a ＝2时，当a ＞2时，图象使得符合函数f （x ）有两个零点．

【详解】

当a ≤0时，不满足题意，

当0＜a ＜2时，要使函数函数f （x ）恰有2个零点，即2012e a a a -??≤?＞＜?112

a ≤＜， 当a ＝2时，e x ﹣2=0，得到x =ln 2满足x ＜1，此时()()220x a x a

--=，

得到x =4，共有2个零点，满足题意， 当a ＞2时，a 2＞2a ＞4，要使函数f （x ）恰有2个零点，即e ﹣a ≤0．所以a ≥e ，

综上所述：实数a 的取值范围是[

12，1）∪{2}∪[e ，+∞）． 故答案为：[

12，1）∪{2}∪[e ，+∞）． 【点睛】

本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．

三、解答题

17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据 如下：

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， 设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元，求X 大于40的概率.

【答案】（1）45；（2）0.8

【解析】（1）分别求得第一次、第二次消费的公司的利润,再求出平均数即可；

（2）由第一个表格数据求得消费次数与公司平均利润的关系,由第二个表格得到消费次数与概率的关系,进而得到公司平均利润与概率的关系,求解即可

【详解】

（1）由题,∵第一次消费为200元,利润为20015050-=元；

第二次消费2000.95190?=元,利润为19015040-=元,

∴两次消费的平均利润为()15040452

?+=元 （2）若该会员消费1次,则50X =,所以()60500.6100P X ==

=； 若该会员消费2次,则5040452X

+==,所以()20450.2100P X ===； 若该会员消费3次,则504030402X

++==,所以()10400.1100P X ===； 若该会员消费4次,则50403020352X

+++==,所以()5350.05100P X ===； 若该会员消费5次,则5040302010302

X ++++==,所以()5300.05100P X === 故X 大于40的概率为0.60.20.8+=

【点睛】

本题考查平均数,考查古典概型,考查数据处理能力

18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c

，设

2sin()cos 22B A C +=. （1）求sin B ；

（2）若ABC 的周长为8，求ABC 的面积的取值范围.

【答案】

? ?

? 【解析】（1）利用三角形内角和定理即二倍角公式化简已知等式，结合B 的范围即可得到结果．

（2）利用三角形的面积求出ac ，利用余弦定理结合基本不等式求出ac 的范围，即可得面积的范围．

【详解】

（1）23sin()cos 2

B A

C +=且sin()

sin A C B +=

2sin 2sin cos cos 22222B B B B =?=， 又022B

π<<，sin 0cos 222

B B

B ∴>=

tan sin 232632

B B B B ππ∴==∴=∴= （2）由题意知：8()b a c =-+

2226416()21cos 222

a c

b a

c ac B ac ac +--+

+-∴=== 36416()64ac a c ∴=

-++≥-

+

，36408)0ac ∴

-≥∴≥

83≤8≥

（舍）649ac ∴

≤1sin 249

ABC S ac B ac ?∴==≤（当a c =时取“=

”） 综上，ABC 的面积的取值范围为0,9? ?

? 【点睛】

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．

19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ADC ∠=?，115AA CD ==，17AD =.

（1）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ；

（2）求棱锥111D AAC C -的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）433

【解析】（1）设CD 的中点为O ,连接1,,OA OD AC ,利用等腰三角形的性质证明1D O DC ⊥,再利用勾股定理可得1AOD 是直角三角形,即证得1D O OA ⊥,进而求证即可；

（2）由线面平行的关系可得11111D AA C C D AA C C V V --=,再利用平行四边形的性质可得111122D AA C C D AA C A ADC V V V ---==,进而求解即可

【详解】

（1）证明:由题,设CD 的中点为O ,连接1,,OA OD AC , 115AA CD ==2DC =,

115DD AA ∴==112DO DC =

=, ∴1D O DC ⊥,22112D O DD DO =-=,

又∵底面ABCD 为边长为2的菱形,且60ADC ∠=?, ADC ∴是等边三角形,

∴3AO =

又1AD =∴22211AD D O AO =+,

∴1D O OA ⊥,

又∵,OA DC ?平面ABCD ,OA

DC O =, ∴1D O ⊥平面ABCD ,

又∵1D O ?平面1CDD ,

∴平面1CDD ⊥平面ABCD

（2）∵11//D D A A ,

∴1//D D 平面11AAC C ,且11AA C C ,

∴111111122D AA C C D AA C C D AA C A ADC V V V V ----===,

∴1211112sin 602332A ADC ADC V S D O -??=??=?????= ???,

1113

D AA C C V -∴=

【点睛】 本题考查面面垂直的证明,考查棱锥的体积,考查转化思想

20．设椭圆22:182

x y C +=，过点()21A ，的直线,AP AQ 分别交C 于相异的两点,P Q ，直线PQ 恒过点()4,0B ．

（1）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为1-；

（2）设直线,AP AQ 分别与x 轴交于,M N 两点，点()3,0G ，求GM GN ?.

【答案】（1）证明见解析；（2）1

【解析】（1）设直线PQ 为()4y k x =-,与椭圆方程联立可得()222214326480k x k x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 的关系,由斜率公式可得

()()12121212124141112222

k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++,将21223214k x x k +=+,212264814k x x k

-=+代入,进而即可得证； （2）设直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,可求得112,0M k ??- ???,同理212,0N k ??- ??

?,进而求解即可 【详解】

（1）证明:设直线PQ 为()4y k x =-,

联立()22418

2y k x x y ?=-??+=??,得()222214326480k x k x k +-+-=, 且>0?,可得;214

k <, 设()()1122,,,P x y Q x y , 由韦达定理可得21223214k x x k +=+,2122

64814k x x k -=+, 设直线AP 、AQ 的斜率分别为12,k k , 所以

()()12121212124141112222

k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++()22

22222222

648322611641641414164832164241414k k k k k k k k k k k k k -?-+?++-+++===----?+++, 所以直线,AP AQ 的斜率之和为1-

（2）设()()34,0,,0M x N x ,

因为直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,得3112x k =-,即112,0M k ??- ???, 同理4212x k =-,即212,0N k ??- ???,

因为()3,0G , 所以1212121111132321GM GN k k k k k k ?

????=--?--=+++ ? ????

? 12121211k k k k k k +=++1212

1111k k k k -==++= 【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆中的定值问题

21．设函数()2

sin f x x x π=-，0,2x π??∈????，()()22cos 22x m g x x x m R π??=++-∈ ?π??，． （1）求()f x 的最大值；

（2）当0,02x m π≤≤≥时，求证：()4

g x π≥. 【答案】（1）0；（2）证明见解析 【解析】（1）先求导得()2

cos f x x π'=-,显然()f x '在0,2x π??∈????上单调递增,则()221,f x ππ??'∈-????,因此存在唯一00,2x π?

?∈ ???,使得()00f x '=,可得()f x 在()00,x x ∈单调递减,在0,2x x π??∈ ???单调递增,则()()max 0,2f x max f f π????=?? ????

?； （2）由题,要证明()4g x π

≥,由0m ≥可证明2

cos 4x x π

π+≥,构造函数()2

cos 4x h x x π

π=+-,求导,利用

（1）判断()h x 的单调性,进而证明即可

【详解】

（1）由题,()2

cos f x x π'=-,

所以()f x '在0,2x π??∈????

上单调递增, 因为()2010f π'=-<,202f ππ??'=> ???,

所以()221,f x π

π??'∈-????, 所以存在唯一00,

2x π?

?∈ ???,使得()00f x '=, 当()00,x x ∈,()0f x '<,()f x 单调递减； 当0,2x x π??∈ ???

,()0f x '>,()f x 单调递增, 因为()00sin00f =-=,2sin 110222f ππππ??=?-=-= ???

, 所以()()max 0,02f x max f f π?

???==?? ????

? （2）证明:因为0m ≥,

所以()222

cos cos 22x m x g x x x x πππ??=++-≥+ ???, 构造函数()2

cos 4x h x x π

π=+-,

所以()2sin x h x x π'=-,由（1）得()0h x '≤在0,2π??????

上恒成立, 所以函数()2cos 4x h x x π

π=+-在0,2π??????上单调递减, 所以()min 02h x h π??== ???

, 所以()0h x ≥在0,2π??????恒成立,即2cos 4x x ππ+≥在0,2π??????

恒成立, 所以02x π≤≤

,0m ≥时,()4g x π≥

【点睛】 本题考查利用导函数求函数最值,考查不等式恒成立的证明,考查利用导函数判断函数单调性

22．在直角坐标系xOy

中，直线cos :sin x t l y t αα

?=??=??（t 为参数）与曲线22:2x m C y m ?=?=?（m 为参数）相交于不同的两点A ，B .

（1）当4

πα=时，求直线l 与曲线C 的普通方程； （2）若2MA MB MA MB =-

，其中)M

，求直线l 的倾斜角. 【答案】

(1) y x =22y x =；(2) 6π或56

π 【解析】（1）直接化曲线C 的参数方程为普通方程，将α4π

=代入l 的参数方程，再化为普通方程.

（2）将l 的参数方程代入C 的普通方程，利用此时t 的几何意义及根与系数的关系得|MA |?|MB |，MA MB -,然后求得tan α即可．

【详解】

（1）当4

πα=时直线l

的普通方程为：y x =C 的普通方程为22y x =； （2

）将直线cos :sin x t l y t αα

?=??=??代入22y x =

得22sin 2cos 0t t αα?-?-=

221212222cos 4cos 0,,sin sin t t t t ααααα

-?=+>+==

121222cos ||||2||22,|cos |sin 2

MA MB MA MB t t t t ααα=-?=+?

=∴=‖‖ 所以直线l 的倾斜角为

6π或56π 【点睛】 本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题．

23．已知函数()11f x x ax =++-

（1）当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集；

（2）当1x ≥时，不等式()3f x x b ≤+成立，证明：0a b +≥

【答案】(1) {}22x x -≤≤ (2)证明见解析

【解析】（1）将a ＝1代入f （x ）中，去绝对值，然后分别解不等式；

（2）由条件可得(2)2(2)a x b a b +≥-??-≤?

，对1x ≥恒成立，转化为最值问题建立不等式组，然后解出+a b 的范围即可证明．

【详解】

（1）解：当1a =时()|1||1|f x x x =++-

若1x ≥则()2412f x x x =≤∴≤≤

若11x -<<则()24f x =<成立

若1x ≤-则()242f x x x =-≤∴≥-21x ∴-≤≤- 综上，不等式的解集为{}

22x x -≤≤ （2）当1x ≥时1|1|3x ax x b ++-≤+|1|2121121ax x b x b ax x b ∴

-≤+-∴--+≤-≤+- (2)2(2)a x b a b +≥-?∴?-≤?202222220002022220a a a a b a b a b a b a a b a b a a b +≥??-≤≤-≤≤??+≥-???∴∴+≥∴+≥∴+≥???-≤???-≤+≥-???--≤?

【点睛】

本题考查解含绝对值不等式以及绝对值不等式恒成立问题，转化为求解函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题．

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