高中新课程数学（苏教）二轮复习必考问题《必考问题20 排列组合

必考问题20 排列组合、概率、随机变量及其分布列

【真题体验】

(2012·江苏，22)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.

(1)求概率P(ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．

[审题视点] (1)点P的坐标满足的条件a－b＝3，可知1≤b＝a－3≤n－3，从而确定点P的个数．

(2)由题意知a－b是3的倍数，记a－b＝3k，由1≤b＝a－3k≤n－3k，再对n分类讨论． 解 (1)点P的坐标满足条件1≤b＝a－3≤n－3，所以An＝n－3.

(2)设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及a－b＝3k的点P的个数，只要讨论fn(k)≥1的情形．

n－1*由1≤b＝a－3k≤n－3k知fn(k)＝n－3k，且k≤，设n－1＝3m＋r，其中m∈N，r

33m?m＋1?m?2n－3m－3?

∈{0,1,2}，则k≤m，所以Bn＝∑f(k)＝∑(n－3k)＝mn－＝， n

k＝1k＝122

将m＝

n－1－r?n－1??n－2?r?r－1?

代入上式，化简得Bn＝－，所以Bn＝366

m

m

－3?n

，是整数，?n?n6

3

??n－1??n－2?n

?6，3不是整数.

【高考定位】

高考对本内容的考查主要有：

(1)分类加法计算原理、分步乘法计数原理，B级要求． (2)排列与组合，B级要求．

(3)离散型随机变量及其分布列、超几何分布、条件概率及相互独立事件，A级要求． (4)n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B级要求． 【应对策略】

(1)准确分类与分步是解决排列组合问题的基础，选准方法是关键，备考中要强化常用方法的训练，反复理解体会解题中的数学思想与方法，但不要做太复杂的题目．

(2)离散型随机变量的概率分布与数学期望是建立在传统的概率问题的基础之上的内容，常以实际应用题的形式出现，与数学建模能力的考查结合在一起，考查学生的数学应用意识以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．解决这一类问题，一定要注意认真审题，不仅要能在弄清题意的基础上，迅速地寻找出正确的解题思路，还要能够规范的表述解题的

过程．这些，需要在复习中引起足够的重视，注意做好针对性的训练，力求做到求解这一类问题时能够得心应手、准确无误.

必备知识

1．两种计数原理

分类计数原理和分步计数原理． 2．排列

n！

(1)排列的定义；(2)排列数公式：Am＝n(n－1)(n－2)?(n－m＋1)＝(m≤n，m，n

?n－m?！n∈N)．

3．组合 (1)组合的定义； (2)组合数公式：Cn＝mm

*

n?n－1??n－2???n－m＋1?n！*

＝(m≤n，m，n∈N)．

m！m！?n－m?！

n－m

m

m－1

(3)组合数性质：Cn＝Cn；Cn＋Cn4．概率、随机变量及其分布

＝Cn＋1.

m

(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：

①离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量； ②离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表； 性质：1°pi≥0(i＝1,2,3，?，n)；2°p1＋p2＋p3＋?＋pn＝1；

(2)特殊的概率分布列：①0－1分布(两点分布)符号表示：X～0－1分布； ②超几何分布：1°符号表示：X～H(n，M，N)；

n－r

CrMCN－M

2概率分布列：X～H(r；n，M，N)＝P(X＝r)＝；

CMN°

③二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：1符号表示：X～B(n，p)；2概率分布

kn－k

列：P(X＝k)＝Ck. np(1－p)

°°

注意：P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋?＋P(X＝r)＋?＋P(X＝n)＝1.

必备方法

1．解排列、组合问题时注意以下几点：(1)审题分析是排列问题，还是组合问题，按照元素的性质分类，按照事件发生的过程分步；(2)分清运算的性质，只要是分类计数，就是加法运算，只要是分步计数，就是乘法运算，在综合问题中，常常在分类中有分步，在分步中有分类；(3)要掌握定位排列的处理方法，掌握分类组合处理的思想方法；(4)排列、组合问题的答案较大时，不易直接验证，因此在检查结果是否正确时，应该着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可以通过一题多解验证结论．

2．概率、随机变量及其分布

(1)求随机变量的概率分布的基础是求随机变量取各个可能值的概率，其中要注意随机变量取各个可能值的概率满足的性质．对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要熟练掌握．

n

(2)随机变量的均值(期望)：E(X)＝∑xipi； ＝

i1

命题角度一 与计数原理有关的问题

[命题要点] 此类问题较为综合，涉及的知识面较广，思考的难度和广度较大，应加强训练．

【例1】? (2011·江苏，23)设整数n≥4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b∈{1,2,3，?，n}，a＞b.

(1)记An为满足a－b＝3的点P的个数，求An； 1

(2)记Bn为满足(a－b)是整数的点P的个数，求Bn.

3[审题视点] [听课记录]

[审题视点] (1)点P的坐标满足的条件a－b＝3，可知1≤b＝a－3≤n－3，从而确定点P的个数．

(2)由题意知a－b是3的倍数，记a－b＝3k，由1≤b＝a－3k≤n－3k，再对n分类讨论． 解 (1)点P的坐标满足条件1≤b＝a－3≤n－3，所以An＝n－3.

(2)设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及a－b＝3k的点P的个数，只要讨论fn(k)≥1的情形．

n－1由1≤b＝a－3k≤n－3k知fn(k)＝n－3k，且k≤，设n－1＝3m＋r，其中m∈N*，r

33m?m＋1?m?2n－3m－3?

∈{0,1,2}，则k≤m，所以Bn＝∑f(k)＝∑(n－3k)＝mn－＝， n

k＝1k＝122

将m＝

n－1－r?n－1??n－2?r?r－1?

代入上式，化简得Bn＝－，所以Bn＝366

m

m

－3?n

，是整数，?n?n6

3

??n－1??n－2?n

?6，3不是整数.

此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分

类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算．

【突破训练1】 (2012·江苏，23)设集合Pn＝{1,2，?，n}，n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A?Pn；②若x∈A，则2x?A；③若x∈?PnA，则2x??PnA.

(1)求f(4)；

(2)求f(n)的解析式(用n表示)．

解 (1)当n＝4时，符合条件的集合A为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)＝4. (2)任取偶数x∈Pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，?，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x＝m·2，其中m为奇数，k∈N.

由条件知，若m∈A，则x∈A?k为偶数； 若m?A，则x∈A?k为奇数．

于是x是否属于A由m是否属于A确定．设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于nn＋1?Qn的子集个数．当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是?或，

2?2?

，n为偶数，?2n

2

所以f(n)＝?n＋1

2?2，n为奇数.

命题角度二 概率、相互独立事件和独立重复实验

[命题要点] (1)等可能事件的概率(2)互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率 【例2】? (2012·南通模拟)某品牌设计了编号依次为1,2,3，?，n(n≥4，且n∈N)的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j(0≤i，j≤n，且i，j∈N)种款式用来拍摄广告．

(1)若i＝j＝2，且甲在1到m(m为给定的正整数，且2≤m≤n－2)号中选择，乙在(m＋1)到n号中选择．记Pst(1≤s≤m，m＋1≤t≤n)为款式(编号)s和t同时被选中的概率，求所有的Pst的和；

(2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率． [审题视点] [听课记录]

[审题视点] 首先求出两款的所有等可能基本事件的种数，再确定款式s和t(1≤s≤m，m＋1≤t≤n)同时被选中包含的基本事件的种数，以及至少有一个款式为甲和乙共同认可的所有可能种数，从而求相应的概率．

解 (1)甲从1到m(m为给定的正整数，且2≤m≤n－2)号中任选两款，乙从(m＋1)到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为CmCn－m，

记“款式s和t(1≤s≤m，m＋1≤t≤n)同时被选中”为事件A，则事件A包含的基本事

11

件的种数为C1C11Cm－1·1Cn－?m＋1?，

11

C1C141Cm－1·1Cn－?m＋1?

所以P(A)＝Pst＝＝， 22CmCn－mm?n－m?

2

2

*

k

*

41

则所有的Pst的和为：C1＝4； mCn－m·m?n－m?

12nn

(2)甲从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：C0 n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝2，

同理得，乙从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2n， 据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：2·2＝4，

记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件B，则事件B的对应事件B为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”，而事件B包含的基本事件种数为：

12n112n－1n－11C0(C0(C0·(C0n·n＋Cn＋Cn＋?＋Cn)＋Cn·n－1＋Cn－1＋Cn－1＋?＋Cn－1)＋?＋Cn1＋C1)＋

n

n

n

Cn·(C0)

＝Cn·2＋Cn·2

0

n

1

n－1

n0

＋?＋Cn·2＋Cn·2

n－1n0

＝(1＋2)n＝3n，

3?n所以P(B)＝1－P(B)＝1－??4?.

对于求较复杂事件的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的

和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．

23

【突破训练2】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是

34否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．求乙恰好射击5次后被中止射击的概率．

解 (1)甲至少一次未击中目标的概率P1是 P1＝P4(1)＋P4(2)＋P4(3)＋P4(4) 2?4?1?065

＝1－P4(0)＝1－??3??3?＝81. (2)甲射击4次恰击中2次的概率为

?2?2?1?2＝8， P2＝C24

?3??3?27

127333

乙射击4次恰击中3次的概率为P3＝C4??×＝，

?4?4648271

由乘法公式得，所求概率为P＝P2P3＝×＝.

27648

(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一

31?3?2?1?3＝45. 次击中，第三次必击中，故所求概率为P＝??3??2＋C12?4??4??4??4?1 024

命题角度三 离散型随机变量分布列及其数学期望

[命题要点] (1)离散型随机变量分布列；(2)求数学期望．

【例3】? (2012·南师附中模拟)甲、乙、丙三个 同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5 ,0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6,0.75.

(1) 求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

(2)设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E(ξ)． [审题视点] [听课记录]

[审题视点] (1)由题意可得，甲、乙、丙三个同学笔试合格这三个事件是相互独立的，再结合互斥事件的概率可得到结果．

(2)先得到ξ的取值为0,1,2,3，再确定各概率值，求期望．

解 (1)甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种情况，这三种情况是互斥的，分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3；

E表示事件“恰有一人通过笔试”．

由互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到P(E)＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38.

(2)分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C， 则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3.

由题意知变量ξ可能的取值是0,1,2,3， 结合变量对应的事件写出分布列， ∴P(ξ＝0)＝0.73＝0.343，

P(ξ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441， P(ξ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189， P(ξ＝3)＝0.33＝0.027.

∴E(ξ)＝1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9.

求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，

确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．

【突破训练3】 在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随

机地分配承担H、I、J、K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担．

(1)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；

(2)设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)． A41

解 (1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件B，那么P(B)＝244＝，

C5A4109

所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(B)＝1－P(B)＝.

10(2)随机变量ξ可能取的值为1,2.

事件“ξ＝2”是指有两人同时承担H任务，

3C215A3

则P(ξ＝2)＝24＝，

C5A44

3

P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝.

4所以，ξ的分布列是

ξ P 315

所以E(ξ)＝1×＋2×＝. 444

19．概率问题中必须突破的两个关键点

一、分拆事件时一定要做到“不重不漏”．

【例1】? 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题. 规定每位考生必须且只须1

在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为.求其中甲 、乙二名学生选做同一

2道题的概率．

解 设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋A B”，且事件A，B相互独立，

111??1?1

∴P(AB＋A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋?1－×1－＝. 22?2??2?2

老师叮咛：甲、乙二名学生选做同一道题是指同时选第21题或22题，因此设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋A B.

二、搞清随机变量每个取值对应的随机事件并准确计算

【例2】? 某校要举行一次演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，已知211

某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．设该选

334

1 3 42 1 4手在比赛中比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

解 (1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过211

决赛”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

334

ξ可能取值为1,2,3.

21

P(ξ＝1)＝P(A)＝1－＝，

33

21?4

P(ξ＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×?1－＝，

3?3?9212

P(ξ＝3)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

339ξ的分布列为：

ξ P 1 1 32 4 93 2 914217ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 3999

老师叮咛：搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件包含的各种情况，对概率类型的准确判定与转化是解题的基础和关键，准确计算是解题的根本，因此在备考中要多下功夫，养成思维严密、转换灵活、计算无误的好习惯.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q5wg.html