第25课时：第三章 数列 - 数列的实际应用

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 一．课题：数列的实际应用

二．教学目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法； 2．能够把实际问题转化成数列问题． 三．教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．解应用问题的核心是建立数学模型；

2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型； 3．注意问题是求什么（n,an,Sn）．

（二）主要方法：

1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答； 2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确； 3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；

4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求．

（三）例题分析：

例1．某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材的存量， （1）求an的表达式；

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a，

97如果b?19a72，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参

考数据：lg2?0.3）

解：（1）设第一年的森林的木材存量为a1，第n年后的森林的木材存量为an，则

a1?a(1?a2?a3?5514)?b?54a?b，

，

525a1?b?()a?(?1)b44453525a2?b?()a?[()??1]b， 4444???

5n5n?15n?25n5n*an?()a?[()?()???1]?()a?4[()?1]b(n?N)．

44444（2）当b?1972a时，有an?79a得()na?4[()n?1]?44551972a?79a即()n?5，

45

所以，n?lg5lg5?2lg2?1?lg21?3lg2?7.2．

答：经过8年后该地区就开始水土流失．

例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？ 解：第一个月月底余

a1?(1?20%)?10000?(1?20%)?10000?10%?300?10500元，

设第n个月月底余an，第n?1个月月底余an?1，

则an?1?an(1?20%)?an(1?20%)?10%?300?1.08an?300(n?1)， 从而有an?1?3750?1.08(an?3750)，

设bn?an?3750,b1?6750，∴{bn}是等比数列bn?b1?1.08n?1， ∴an?6750?1.08n?1?3750，a12?6750?1.0811?3750?19488.6， 还贷后纯收入为a12?10000(1?5%)?8988.60元．

例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：

甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；

乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．

两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：1.110?2.594,1.310?13.796）

解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：

1?(1?30%)?(1?30%)???(1?30%)?291.310?11.3?1?42.62（万元）

到期时银行的本息和为10?(1?10%)10?10?2.594?25.94（万元） ∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.62?25.94?16.7（万元）

乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：

1?(1?0.5)?(1?2?0.5)???(1?9?0.5)?10(1?5.5)29?32.50（万元）

贷款的本利和为：1.1[1?(1?10%)???(1?10%)]?1.1?1.1?11.1?110?17.53（万元）

∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.50?17.53?15.0（万元） 所以，甲方案的获利较多．

例4．某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，

32该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为an元， （1）求{an}的通项公式； （2）当b?（3）当b?8a273a8时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？

时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前

2332的年收入？

解：（1）由题意得，当n?1时，a1?a，当n?2时，an?a()n?1?b()n?2，

?a?∴an??2n?13n?2a()?b()?2?3(n?1)(n?2)．

（2）由已知b?8a27，

23n?1当n?2时，an?a()23?8a()2723n?22n?18a3n?228a?2[a()?()]?要使得上式等号

327291成立，当且仅当a()n?1?三年收入最少为

8a98a3n?222n?224()，即()?()27233，解得n?3，因此这个人第

元．

（3）当n?2时，

2n?13n?22n?13a3n?22n?13a3n?2an?a()?b()?a()?()?2a()?()?a，上述等号成

32382382

立，须b?当b?

3a83a8且n?1?log2312?1?log2323?2因此等号不能取到，

时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．

（四）巩固练习：某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为（ ）

(A)p (B)12p (C)(1?p)12 (D)(1?p)12?1

五．课后作业：《高考A计划》考点23，智能训练2，11，13，14，15，16

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