2019年中考数学试题分类汇编28：圆的基本性质

一、选择题

1. （2019山东滨州，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）

A．60° 【答案】B

【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．

B．50°

C．40°

D．20°

【知识点】圆周角定理及其推论

2. (2019山东聊城,8,3分) 如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接

OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为

A.35° B.38°

C.40°

D.42°

第8题图 【答案】C 【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.

【知识点】三角形内角和定理,圆周角定理

3. （2019山东省潍坊市，11，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，则BC的长为（ ）

35

A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C

【思路分析】连接BD，先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=，

35求得EF和AE的长度，再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=求得BC的长度．

【解题过程】连接BD．

35

∵AD=CD，

∴∠DAC=∠ACD． ∵AB为直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°． ∴∠DAB+∠ABD=90°． ∵DE⊥AB，

∴∠DAB+∠ADE=90°． ∴∠ADE=∠ABD． ∵∠ABD=∠ACD， ∴∠DAC=∠ADE． ∴AF=DF=5． 在Rt△AEF中， sin∠CAB=

EF3? AF5∴EF=3，AE=4． ∴DE=3+5=8．

DE282??16． 由DE=AE ?EB，得BE?AE42

∴AB=16+4=20．

在R t△ABC中，

sin∠CAB=

BC3? AB5∴BC=12．

【知识点】圆周角，锐角三角比

4. （2019四川省凉山市，7，4）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；

②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】A

【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A. 【知识点】点到直线的距离概念；线段基本事实；在同圆或等圆中圆心角与弧的关系；垂径定理的推论

5. （2019四川省眉山市，10，3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD． 垂足是点E，∠CAO=22．5°，

OC=6，则CD的长为

A．62 B． 32 C．6

D．12

【答案】A 【思路分析】 【解题过程】解：∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，

∵∠COE=45°，∴CE=OE=

2OC＝32，∴CD=2CE=62，故选：D. 2

【知识点】三角形的外角的性质，垂径定理，锐角三角形函数

6.（2019浙江省衢州市，8，3分） 一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB

于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）

A.6dm B.5dm C.4dm D.3dm 【答案】B 【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4 dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B。 【知识点】垂径定理 勾股定理

7. (2019山东泰安,9题,4分) 如图,△ABC是O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为

A.32 ° B.31° C.29° D.61°

第9题图 【答案】A 【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.

【知识点】圆的内接四边形,圆周角定理,直角三角形两锐角互余

8. （2019四川南充，6，4分）如图，四边形ABCD内接于O，若?A?40?，则?C?( )

A．110? 【答案】D

B．120? C．135? D．140?

【解析】解：四边形ABCD内接于O，??C??A?180?，??C?180??40??140?． 故选：D．

【知识点】圆内接四边形的性质

9.（2019甘肃天水，9，4分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（ ）

A．20° 【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°， ∴∠ACB

∠DCB

（180°﹣∠D）＝50°， B．25°

C．30°

D．35°

∵四边形AECD是圆内接四边形， ∴∠AEB＝∠D＝80°，

∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°， 故选：C．

【知识点】菱形的性质；圆周角定理

10. （2019甘肃武威，9，3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则?ASB的度数是( )

A．22.5? 【答案】C

【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图， ∵弦AB的长度等于圆半径的2倍， 即AB?2OA， ∴OA2?OB2?AB2，

B．30?

C．45?

D．60?

∴?OAB为等腰直角三角形，?AOB?90?，

1∴?ASB??AOB?45?，

2故选C．

【知识点】圆周角定理

11. （2019甘肃省，8，3分）如图，AB是O的直径，点C、D是圆上两点，且?AOC?126?，则?CDB?(

)

A．54? 【答案】C

B．64?

C．27?

D．37?

1【解析】解：∵?AOC?126?，∴?BOC?180???AOC?54?，∴?CDB??BOC?27?，故选C．

2【知识点】圆的有关概念及性质

12. （2019湖北宜昌，12，3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（ ）

A．50° 【答案】A

【解析】解：∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝40°，

∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠A

∠BOC＝50°．

B．55°

C．60°

D．65°

故选：A．

【知识点】圆周角定理

13. （2019江苏连云港，8，3分）如图，在矩形ABCD中，AD?22AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重

合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①?CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC?62MP；④BP?AB；⑤点F是?CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为( 22)

A．2个 B．3个

C．4个

【答案】B

【解析】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E， ∴?DMC??EMC，

∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，

??AMP??EMP，

?AMD?180?，

??PME??CME?12?180??90?，

??CMP是直角三角形；故①正确；

∵沿着CM折叠，点D的对应点为E， ??D??MEC?90?，

∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP， ??MEG??A?90?， ??GEC?180?，

∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误； AD?22AB，

∴设AB?x，则AD?22x，

D．5个

∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN； ?DM?1AD?2x， 2?CM?DM2?CD2?3x， ?PMC?90?，MN?PC，

?CM2?CNCP， ?CP?3x22x?32x， 2x， 26x， 2?PN?CP?CN??PM?MN2?PN2?3xPC2??3， ∴PM6x2?PC?3MP，故③错误；

PC?32x，

32x?2x， 2?PB?22x?∴

AB?PBx2x2，

?PB?2AB，故④， 2CD?CE，EG?AB，AB?CD， ?CE?EG，

?CEM??G?90?， ?FE//PG， ?CF?PF， ?PMC?90?，

∵CF?PF?MF，

∴点F是?CMP外接圆的圆心，故⑤正确； 故选B．

【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的外接圆与外心；矩形的性质；直角三角形的性质

14. （2019山东德州，9，4分）如图，点O为线段BC的中点，点A，若?ABC?40?，C，D到点O的距离相等，则?ADC的度数是( )

A．130? 【答案】B

【解析】解：由题意得到OA?OB?OC?OD，作出圆O，如图所示，

B．140?

C．150?

D．160?

?四边形ABCD为圆O的内接四边形，

??ABC??ADC?180?， ?ABC?40?，

??ADC?140?， 故选B．

【知识点】圆内接四边形的性质

15. （2019山东菏泽，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）

A．OC∥BD 【答案】C

【解析】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，

B．AD⊥OC

C．△CEF≌△BED D．AF＝FD

∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC， ∴AD⊥BD， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠DBC＝∠OCB， ∴OC∥BD，选项A成立； ∴AD⊥OC，选项B成立； ∴AF＝FD，选项D成立；

∵△CEF和△BED中，没有相等的边， ∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立， 故选C．

【知识点】圆周角定理

16.（2019台湾省，24，3分）如图表示A、B、C、D四点在O上的位置，其中AD?180?，且AB?BD，BC?CD．若阿超在AB上取一点P，在BD上取一点Q，使得?APQ?130?，则下列叙述何者正确？

A．Q点在BC上，且BQ?QC C．Q点在CD上，且CQ?QD 【答案】B

【解析】解：连接AD，OB，OC， AD?180?，且AB?BD，BC?CD，

B．Q点在BC上，且BQ?QC D．Q点在CD上，且CQ?QD

??BOC??DOC?45?，

在圆周上取一点E连接AE，CE， 1??E??AOC?67.5?，

2??ABC?122.5??130?，

取BC的中点F，连接OF， 则?AOF?67.5?，

??ABF?123.25??130?，

?Q点在BC上，且BQ?QC，

故选：B．

【知识点】圆心角，弧，弦的关系；圆内接四边形的性质；圆周角定理

二、填空题

1. （2019四川省凉山市，15，4）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A =30°， CD =23，则⊙O的半径是 ．

第15题图

【答案】2

【解析】连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°，∵OB⊥CD，CD=23，∴CH=3，∴OH=1，∴OC=2.

第15题答图

【知识点】等腰三角形性质；三角形外角性质；垂径定理；勾股定理

2. （2019天津市，18，3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A,B的圆的圆心在边AC上， （1）线段AB的长等于 ；

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）

【答案】（1）（2）如图，取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线

相交于点D，连接DO并延长，交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB

【解析】(1)如图，Rt△ABD中，AD=2，BD=

1,由勾股定理可得AB=2

（2）由于点A在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在AC上，所以取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，则点D为AB的中点，连接DO并延长，根据垂径定理可得则DO垂直平分AB，连接BO，则∠OAB=∠OBA=30°，因为∠ABC=50°，所以∠OBC=20°，DO的延长线交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB 【知识点】勾股定理，圆周角的性质，垂径定理

3. （2019浙江湖州，12，4）已知一条弧所对的圆周角的度数为15°，则它所对的圆心角的度数是 ．

【答案】30°．

【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍，可知答案为30°．

【知识点】圆周角定理．

4. (2019浙江台州,14题,5分)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC＝64°,则∠BAE的度数为________.

第14题图 【答案】52°

【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D＝180°,∵∠B＝64°,∴∠D＝116°,又∵点D关于AC的对称点是点E,∴∠D＝∠AEC＝116°,又∵∠AEC＝∠B+∠BAE,∴∠BAE＝52°. 【知识点】圆内接四边形,三角形外角定理,对称性

5. （2019安徽省，13，5分）如图，?ABC内接于O，?CAB?30?，?CBA?45?，CD?AB于点D，若O的半径为2，则CD的长为 ．

【答案】2

【解析】解：连接CO并延长交O于E，连接BE， 则?E??A?30?，?EBC?90?，

O的半径为2， ?CE?4， 1?BC?CE?2，

2CD?AB，?CBA?45?，

?CD?2BC?2. 2故答案为2．

【知识点】圆周角定理

6. （2019江苏连云港，13，3分）如图，点A、B、C在O上，BC?6，?BAC?30?，则O的半径为 ．

【答案】6

【解析】解：?BOC?2?BAC?60?，又OB?OC， ??BOC是等边三角形 ?OB?BC?6，

故答案为6．

【知识点】圆周角定理

7. （2019江苏泰州，16，3分）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 ．

【答案】y

x．

【解析】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD， 则∠C＝∠D，∠PBD＝90°， ∵PA⊥BC， ∴∠PAC＝90°， ∴∠PAC＝∠PBD，

∴△PAC∽△PBD， ∴

，

∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y， ∴

，

∴yx，

故答案为：yx．

【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定和性质

8. （2019江苏盐城，14，3分）如图，点A、B、C、D、E在O上，且AB为50?，则?E??C? °．

【答案】155

【解析】解：连接EA， AB为50?， ??BEA?25?，

四边形DCAE为O的内接四边形， ??DEA??C?180?，

??DEB??C?180??25??155?，

故答案为：155．

3. （2019四川攀枝花，24，12分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝3x的图3象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ。 （1）求线段AP长度的取值范围；

（2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。 （3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标.

yAPxOQ

【思路分析】（1）点P是y＝3x上的动点，求线段AP长度的取值范围，可考虑线段AP的最小值及最3大值；

（2）思路一（共圆法）：根据点P所在的不同位置，分情况讨论，证得∠PAQ＝30°; 思路二（相似法）：根据点P所在的不同位置，分情况讨论，证得∠PAQ＝30°． （3）设P（m，4m?233m），Q（a，0），根据勾股定理利用关系式OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2，求得a＝. 33，进而得点Q的坐标. 分情况OP＝OQ，PO＝PQ，QO＝QP时，讨论点Q的坐标即可.

【解题过程】解：（1）作AH⊥OP，则AP≥AH． ∵点P在y＝3x的图象上， 3∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°． ∵A（0，2），∴AH＝AO·sin60°＝3． ∴AP≥3．

yAHOQ

（2）∠QAP是定值． 法一：（共圆法）

①当点P在第一象限的线段OH的延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠APQ＋∠AOQ＝180°， ∴P、Q、O、A四点共圆 ∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．

Px②当点P在第一象限的线段OH上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得P、O、Q、A四点共圆 ∴∠PAQ＋∠POQ＝180°，又∵∠POQ＝150°， ∴∠PAQ ＝180°－∠POQ＝30°．

yAQPO

③当点P在第三象限时，特殊角的三角函数值； 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆 ∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．

yAxQPOHx

法二：（相似法）

①当点P在第三象限时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得△BPQ∽△BOA． ∴

PBQB? ∴△QBA∽△PBO． OBAB∴∠PAQ＝∠POQ＝30°，

yAQBPOx

②当点P在第一象限且点B在AP延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°， ∴△BPQ∽△BOA．∴

BPBQ? BOBA∴△BPO∽△BQA．∴∠PAQ＝∠POB＝30°．

yAPOQBx

③当点P在第一象限且点B在PA延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°， ∴△BPQ∽△BOA．∴

BPBQ? BOBA∴△BPO∽△BQA．∠PAQ＝∠POQ＝30°．

yPABOQx

（3）设P（m，3m），Q（a，0）， 3∵OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2 ∴22＋a2＝m2＋(

332m－2) 2＋(a－m) 2＋(m) 33整理，得a＝

4m?23. 3∴Q（4m?23，0）. 3yPAOMQx

∴OP2＝

442162163m＋. m，OQ2＝m－93393m＋

PQ2＝

424m－

994. 3①当OP＝OQ时，则

42162164m＝m－3m＋ 3993整理,得m2－43m＋3＝0，解得m＝23±3． ∴Q1 (23＋4,0)，Q2(23－4,0) ．

yPAOQx

②当PO＝PQ时，则

424244m＝m－3m＋ 3993整理得：2 m2＋3m－3＝0，

解得解得m＝3，或m＝－3. 2当m＝3时，Q点与O重合，舍去， 2∴m＝－3. ∴Q3 (－23,0).

yAQPOx

③当QO＝QP时， 则

1621644443m＋＝m2－3m＋ m－

993993整理，得m2－3m＝0. 解得m＝3 ∴Q4 (23,0). 3yAPOQx

综上，当△OPQ为等腰三角形时，点Q的坐标为Q1 (23＋4,0)，Q2(23－4,0)，Q3 (－23,0)，Q4 (23,0). 3【知识点】圆内接四边形；线段的最值；相似三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；分类讨论

4. （2019山东省济宁市，题号20，分值8）

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若DH＝9，tanC＝E C D H F A O B

3，求直径AB的长． 4

【思路分析】通过等弧得到相等的弦，接着得到相等的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，通过等量代换得到角度之间的关系，从而证明出切线；通过三角函数求得直角三角形的边，用勾股定理求出直径． 【解题过程】∵D是弧AC的中点，∴AD＝CD∴∠DAC＝∠C∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE＝2∠C，∴∠EAD＝∠C，∵∠C＝∠B，∴∠B＝∠EAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，

∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；

DH393?，∴?，∴AD＝12，在AD4BD43AD3?，∴BD＝16， ∵∠ADB△BAD中∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝ tan∠C＝，∴tan∠B ＝

4BD4在△ADH中∠ADH＝90°，DH＝9，∠DAH＝∠C，∴tan∠DAH＝＝90°，∴AB＝AD2?BD2?122?162?20．

【知识点】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦也相等，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周

角是直角，三角函数，勾股定理；

5. （2019江苏省无锡市，28，10）如图1，在矩形ABCD中，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作?PAB关于直线PA的对称?PAB，设点P的运动时间为t?s?.

'

（1）若AB=23，①如图2，当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值； ②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由；

'（2）当P点不与C点重合时，若直线PB与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠

'PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.

DCDB'B'PPCDCABABAB

图1 图2 备用

第28题图

【思路分析】本题考查了与矩形相关的轴对称问题，（1）①先利用勾股定理求AC，再证△CB?P∽△CBA得比例式求PB，最后用勾股定理列方程求t的值；

②先用t表示相关线段，再分三种情况讨论，借助勾股定理或直接计算方法求t；

（2）易得四边形ABCD为正方形，于是AB=AB?=AD，从而可证全等得∠DAM=∠B?AM，由轴对称得∠PAB=∠PAB?=2∠DAM+∠PAD，代入∠PAB+∠PAD=90°中得到结论. 【解题过程】

（1）①∵∠B=90°，∴AC=AB2?BC2?BCA，

∴△CB?P∽△CBA ，

'??232?32?21 ，∵∠CB?P= ∠CBA=90°，∠B?CP= ∠

21?23B?PCB?B?P?，故，解得B?P?27?4.由轴对称可得PB=27?4，?3CBBA23∴ t=27?4；

②由已知可得PB=B?P=t，PC=3-t，DA=BC=3，AB=AB?=23，

分三种情况：1°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=3，在△PCB?中， PC2+CB?2= PB?2，∴(3) 2+ (3 - t) 2 = t 2，解得 t=2.

③ ②

③ ④第28题答图

2°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=33，在△PCB?中PC2+CB?2= PB?2，(33)2+ (t -3) 2 = t 2，解得 t=6.

3°当∠CPB?=90 °时，易证四边形 ABPB?为正方形，PB?=AB=23，∴ t=23；

（1） 如图④，四边形ABCD为正方形，t>3时，∵AB=AB?=AD，AM=AM，Rt△MDA≌Rt△B?AM（HL），

∴∠DAM=∠B?AM，

由轴对称可得∠PAB=∠PAB?=2∠DAM+∠PAD，∴∠PAB+∠PAD=2∠DAM+2∠PAD=90°，∴∠PAM=∠DAM+∠PAD=45°.

【知识点】矩形的性质；正方形的性质；全等三角形判定与性质；轴对称；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想

6.（2019湖南怀化，23，12分） 如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH. （1）计算∠CAD的度数；

（2）连接AE，证明：AE=ME； （3）求证：ME2=BM·BE.

【思路分析】（1）根据A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点可得∠COD的度数，根据圆周角定理可得∠CAD的度数，同理可得∠EBD，∠ACE，∠BDA，∠CEB的度数；

（2）根据圆周角定理可得∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，根据（1）可得出∠MAE=∠AME，进而得出结论；

（3）连接AB，由（2）△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，进而得出即可得出答案. 【解题过程】（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点， ∴∠COD=

ABBE?，AN=BM，根据AE=MEANAE1360=72°，∴∠CAD=∠COD=36°. 52同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.

（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，

又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°， ∴∠MAE=72°，∠AEB=36°， ∴∠MAE=∠AME=72°， ∴AE=ME. （3）连接AB.

由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE ∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN， ∴

ABBE?，AN=BM， ANAE∴AB·AE=BE·AN， ∵AE=ME， ∴ME2=BM·BE.

.

【知识点】圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质

7. （2019甘肃武威，21，8分）已知：在?ABC中，AB?AC．

（1）求作：?ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若?ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC?6，则SO? ．

【思路分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作O，O即为所求．

（2）在Rt?OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题． 【解题过程】解：（1）如图，O即为所求．

（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE?4，BE?EC?3， 在Rt?OBE中，OB?32?42?5， ∴S圆O???52?25?． 故答案为25?．

【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心

8. （2019广东广州，23，12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．

（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

【思路分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求． （2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题． 【解题过程】解：（1）如图，线段CD即为所求．

（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC∵BC＝CD， ∴

，

6，

∴OC⊥BD于E． ∴BE＝DE，

∵BE＝BC﹣EC＝OB﹣OE， ∴6﹣（5﹣x）＝5﹣x， 解得x

，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∵BE＝DE，BO＝OA， ∴AD＝2OE

，

∴四边形ABCD的周长＝6+6+10．

【知识点】作图题； 圆周角定理；解直角三角形

9.（2019湖北荆门，21，10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．

（1）求证：2R；

（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC，求BC的长及sinC的值．

【思路分析】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）由

2R，同理可得：

2R，于是得到2R

2，即可得到BC＝2R?sinA

＝2sin45°，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．

【解题过程】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，

则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC， ∵sin∠ABC＝sin∠ADC

，

∴2R；

（2）∵2R，

同理可得：2R，

∴2R2，

∴BC＝2R?sinA＝2sin45°，

如图2，过C作CE⊥AB于E，

∴BE＝BC?cosB

cos60°

，AE＝AC?cos45°

，

∴AB＝AE+BE∵AB＝AR?sinC，

，

∴sinC．

【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形

10. （2019江苏南京，22，7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

【思路分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论． 【解题过程】解：连接AC， ∵AB＝CD， ∴∴

∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC．

，

，即

，

，进而得出

，根据等弧所对的圆

【知识点】圆的有关概念及性质

11. （2019四川绵阳，23，11分）如图，AB是⊙O的直径，点C为AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． （1）求证：△BFG≌△CDG； （2）若AD＝BE＝2，求BF的长．

的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥

【思路分析】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；

（2）如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长． 【解题过程】证明：（1）∵C是∴

，

的中点，

∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB， ∴∴

， ，

∴CD＝BF，

在△BFG和△CDG中， ∵

，

∴△BFG≌△CDG（AAS）；

（2）如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，

∵，

∴∠HAC＝∠BAC， ∵CE⊥AB， ∴CH＝CE， ∵AC＝AC，

∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL）， ∴AE＝AH，

∵CH＝CE，CD＝CB， ∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL）， ∴DH＝BE＝2， ∴AE＝AH＝2+2＝4， ∴AB＝4+2＝6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠BEC＝90°， ∵∠EBC＝∠ABC， ∴△BEC∽△BCA， ∴

2

，

∴BC＝AB?BE＝6×2＝12， ∴BF＝BC＝2

．

【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

12. （2019四川绵阳，25，14分）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH． （1）求证：△DEF是等腰直角三角形；

（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；

（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．

【思路分析】（1）由正方形的性质可得∠DAC＝∠CAB＝45°，根据圆周角定理得∠FDE＝∠DFE＝45°，则结论得证；

（2）设OE＝t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF

，证明△AEF∽△ADG可得AG

，

可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段，求出t的值，代入EG的表达式可求EH的值；

（3）由（2）知EG，过点F作FK⊥AC于点K，根据即可求解．

【解题过程】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC＝∠CAB＝45°，

∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，∴∠FDE＝∠DFE＝45°， ∴∠DEF＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形； （2）设OE＝t，连接OD， ∴∠DOE＝∠DAF＝90°， ∵∠OED＝∠DFA， ∴△DOE∽△DAF，

∴，

∴t，

又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，

∴△AEF∽△ADG， ∴

，

∴

又∵AE＝OA+OE＝2

， t，

∴，

∴EG＝AE﹣AG，

当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE+∠HFE＝45°+45°＝90°， ∴△ADF∽△BFH，

∴

∵AF∥CD，

，

∴，

∴，

∴，

解得：t1，t2

（舍去），

∴EG＝EH

（3）过点F作FK⊥AC于点K， 由（2）得EG

，

；

∵DE＝EF，∠DEF＝90°， ∴∠DEO＝∠EFK， ∴△DOE≌△EKF（AAS）， ∴FK＝OE＝t，

∴S．

【知识点】四边形综合题；圆周角定理；相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；三角形的面积

13. （2019浙江温州，22，10分）如图，在?ABC中，?BAC?90?，点E在BC边上，且CA?CE，过A，

C，E三点的O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形． 3（2）当BE?4，CD?AB时，求O的直径长．

8

【思路分析】（1）连接AE，由?BAC?90?，得到CF是O的直径，根据圆周角定理得到?AED?90?，即GD?AE，推出CF//DG，推出AB//CD，于是得到结论；

（2）设CD?3x，AB?8x，得到CD?FG?3x，于是得到AF?CD?3x，求得BG?8x?3x?3x?2x，求得BC?6?4?10，根据勾股定理得到AB?102?62?8?8x，求得x?1，在Rt?ACF中，根据勾股定理即可得到结论．

【解题过程】解：（1）证明：连接AE，

?BAC?90?， ?CF是O的直径， AC?EC， ?CF?AE， AD是O的直径，

??AED?90?，

即GD?AE，

?CF//DG， AD是O的直径，

??ACD?90?，

??ACD??BAC?180?， ?AB//CD，

?四边形DCFG是平行四边形；

3（2）解：由CD?AB，

8设CD?3x，AB?8x，

?CD?FG?3x， ?AOF??COD， ?AF?CD?3x， ?BG?8x?3x?3x?2x， GE//CF，

?

BEBG2??， ECGF3BE?4，

?AC?CE?6， ?BC?6?4?10，

?AB?102?62?8?8x，

?x?1，

在Rt?ACF中，AF?10，AC?6，

?CF?32?62?35， 即O的直径长为35．

【知识点】三角形的外接圆与外心；垂径定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理

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