复变函数复习资料

复变函数期末复习

一 知识点

1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。 2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。 3 第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。 4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。 5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。

6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。 二 例题选讲

1求3的值。 知识点：利用定义aib?ebLna。

=

解

3=eiiLn3=

ei(ln3?i2k?)_____e?2k??iln3?2k?e(cosln3?isinln3)。 =

__2__2

设|z|?1，试证：

bz?aaz?b____?1。知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。zz?|z|?|z|2

________________________________证明：由|z|?1得，zz?1，

bz?aaz?b?bz?azzaz?b=

(b?az)zaz?b=

(b?az)zaz?b?(b?az)zaz?b?1

3求

Arcsin2的值。知识点：初等函数的定义，函数值的计算，

Arcsinz??iLn(iz?1?z2)，

Arccosz??iLn(z?i1?z2)

解=2k?：

Asr2?ic?in(2Li?in3) =

?iLn(2?3)i=

?i[ln(2?3)??2i?2k?i

??2?iln(2?3)，k?0,?1,?2,...

4 证明|证明|z1?z2|2?|z1?z2|2?2(|z1|2?|z2|2)。

z1?z2|2?|z1?z2|2?2(|z1|2?|z2|2)。

z|?zz。

________________2__知识点：复数模的计算，复数模共轭复数的关系|证明：|22z1?z2|?|z1?z2|?(z1?z2)(z1?z2)?(z1?z2)(z1?z2)

z1?z1z2?z2z1?z2z2?z1z1?z1z2?z2z1?z2z21 =2(|z1|2?|z2|2)。

________________ =z15 设

z1,z2,z3三点适合条件z1?z2?z3?0,|z1|?|z2|?|z3|?1，试证明z1,z2,z3三点是一个内接于单位圆周

|z|?1的正三角形的顶点。

知识点：利用平行四边形公式|

z1?z2|2?|z1?z2|2?2(|z1|2?|z2|2)。

解：由 所以|z1?z2?z3?0得z1?z2??z3，|z2?z1|2?2(|z1|2?|z2|2)?|z1?z2|2=2(1?1)?1?3 z2?z1|?同理|z3?z1|?3，

3，|z3?z2|?3，所以z1,z2,z3三点是一个内接于单位圆周|z|?1的

正三角形的顶点。 6 求极限lim解

z?zcoszz?sinz。知识点：这是

z?000型，用洛必达法则。

limz?zcoszz?sinzz?0=limz?0(z?zcosz)?(1?cosz?zsinz)?1?cosz?zsinz2sinz?zcosz=lim=lim=limz?0z?0(1?cosz)?(z?sinz)?z?01?coszsinz=3。 7 试证明

f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy在z平面上解析，并求导其导数。

知识点：利用柯西—黎曼条件，利用双曲函数的定义。

coshy?ey?e?y2,sinhy?ey?e?y2

解：u(x,y)?cosxcoshy,v(x,y)??sinxsinhy，

?v?y?u?x??sinxcoshy，

?u?y?cosxsinhy

?v?x?u?x???cosxsinhy，

??sinxcoshy，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西—黎曼条件

?v?u?v，f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy在z平面上解析，其导数为 ,???y?y?x?u?x?i?v?y??sinxcoshy?icosxsinhy)。

f?(z)?8验证u(x,y)?x3?3xy2是z平面上的调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z)，使得f(0)?i。知识点：

调和函数的定义，调和函数和解析函数的关系。 解 由u(x,y)?x?3xy得

32?u?x?3x?3y22，

?u?y??6xy，

?2u?x2?6x，

?2u?y2??6x

所以

?2u?x2??2u?y232?0，所以u(x,y)?x?3xy是z平面上的调和函数.由柯西—黎曼条件

?u?x??v?u?v得,???y?y?xv(x,y)???x?vdx????u?ydx=

2?6xydx?3xy??(y)，

?v?y?3x2???(y)所以??(y)??3y2，

?(y)??y3?C，从而

f(z)?x3?3xy2?i(3x2y?y3?C)，由f(0)?i得C?1，所以

f(z)?x3?3xy2?i(3x2y?y3?1)。

9 设函数

f(z)在区域D内解析，试证：(?2?x2??2?y2)|f(z)|2?4|f?(z)|2

知识点：解析函数的导数的计算。 解：设函数

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则

|f(z)|2?u2(x,y)?v2(x,y)，

??x|f(z)|2?2u(x,y)?v?y，

?u?x?2v(x,y)?v?x，

??y?2|f(z)|2?2u(x,y)?2u?x2?u?y?2v(x,y)?u?x?x2|f(z)|?2u2?2()?2v2?2v?x2?2(?v?x)2??y2|f(z)|?2u?2u?x2?2u?y22?2u?y2?2(?u?y)?2v?2v?y22?2v?y2?2(?v?y)2

而解析函数的实部与虚部是调和函数，

??0，

?2v?x2??0所以有

(?2?x2??2?y22?)|f(z)|?4|f(z)|。 211试证

f(z)?ex(cosy?isiny)在复平面上解析，并求其导数。

知识点：利用柯西—黎曼条件判断函数的可导性与解析性。 证明：

u(x,y)?excoys,v(x,y)?exsiny，

?u?x?excosy，

?u?y??exsiny，

?u?x?v?x?exsiny，

?v?y?excosy，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西—黎曼条件

?u?x?v?y??v?u?v，所以,???y?y?xf(z)?ex(cosy?isiny)在复平面上解析，其导数为f?(z)??i?ex(cosy?isiny)。

12验证v(x,y)?arctanyx在右半平面内是调和函数，其中x?0。

知识点：调和函数的定义，解析函数和调和函数的关系。

解：

?v?x??1??2v?y2yx2??yy2x2?y2x2，

1?v?y?1?xx?y2x2?y2x2，

?2v?x2?2xy(x?y)222,?2v?y2??2xy(x?y)222，于是

?2v?x2??0，因此v(x,y)?arctanyx在右半平面内是调和函数。

13 设函数

f(z)在z0解析,并且它不恒为常数.证明：若z0为f(z)的m阶零点的充要条件是z0为

1f(z)的m阶极点. 知

识点；极点和零点的关系。 证明：若z0为

f(z)的m阶零点，则f(z)?(z?z0)mg?z?，其中g(z)在点z0的某个邻域内解析且g(z0)?0，所11，

以

1?1在点z0的某个邻域内解析且

1?0，所以z0为

1的m阶极点.

f(z)(z?zm0)g(z)g(z)g(z0)f(z)14将

f(z)?z(z?2)(z?1)2在

0?|z?1|?1内展开成罗朗级数。

知识点：利用

11?z?1?z?z2???zn??,|z|?1，以及逐项求导，将分式写成部分分式的和。 解 设

f(z)?z1z(z?2)(z?1)2=

(z?1)2z?2?1(z?1)2(1?2z?2)

=

11?? (z?1)2(1?21?(z?1))=

(z?1)2(1?2?(z?1)n

n?015 将

f(z)?1z2?2z?5按z?1的幂展开成幂级数。知识点：把函数展开成泰勒级数和洛朗级数。

解：

f(z)?1111??n(z?1)2nz2?2z?5=4?(z?1)2 =

4|?2

1?(z?1)2?14?(?1)n?04n，|z?1416将

f(z)?z(z?2)2(z?1)在0?|z|?1内展开成幂级数

知识点：利用

11?z?1?z?z2???zn??,|z|?1，以及逐项求导，将分式写成部分分式的和。 解 设

f(z)?z(z?2)2(z?1)=

ABCz?1?z?2?(z?2)2，

去分母得 z?A(z?2)2?B(z?2)(z?1)?C(z?1)， 取z?1，得A?1

取

z?2，

得C?2， 取z?0，

得

B??1，z=

11??f(z)?2nnzn?1(z?2)2(z?1)z?1?z?2?(z?2)2=???z?1(z2?)?12?n()

n?0n?02n?12zi17

?e|z|?21?z2dz 知识点：利用留数定理或柯西积分公式。

解；由1?z2?0得z??i，这些点都是函数的一阶极点，都在|z|?2内。

?eziezi?1|z|?21?z2dz=2?i(Rez?isf(z)?Rez??sif(z)) 而Rez?isf(z)?2z|z?i?e2i

所以

Resf(z)?z??iezi2z|z??i??e2i所以

?ezi1?z2|z|?2dz=

e?12i?e2i

18

?1zsinz|z|?1dz 知识点：利用留数定理或柯西积分公式。

解；由zsinz?0得z?0，这是函数的二阶极点，而且在|z|?1内。

2?1zsinz

|z|?1dz=2?iResz?0f(z)

而

Resf(z)?lim(zz?0z?01zsinz)??limsinz?zcoszsin2zz?0cosz?cosz?zsinz1?0，所以?dz=0. =lim|z|?1z?02sinzcoszzsinz19

?2?1a?cos?0____d?,a?1 知识点；令z?ei?，则sin??1(z?z),cos??1(z?z),

2i2d??解 令

1izdz,然后化成复变函数沿闭曲线的积分，用留数定理来计算。

z?ei?，则

?2?1a?cos?0d??2dzi?|z|?1z2?2az?11，被积函数

2z?2az?12有两个一级极点，

z1??a?a2?1,z2??a?a2?1, 因为只有|z1|?1，所以只有z1在单位圆内

Resz?z12z2?2az?1?22z?2ia|z?z1?1a?12，所以I??2?1a?cos?0d?=

2?a?12

sin20 计算积分

??|z|?24dz 知识点：利用留数定理或柯西积分公式。 z?12zsin解：被积函数

z4z2?1?有两个极点

z?1,z??1，这两个极点都在圆周内，因此

sinzsinz4sf(z)?Resf(z))而Resf(z)=lim(z?1)24?|z|?2z2?1dz=2?i(Rez?1z?1z??1z?1z?1z24同理Resf(z)?，所以dz=2?i. 2?|z|?2z??14z?1??cosmx21计算积分?dx,m?0。 知识点：利用留数定理计算实的积分。 20x?1??cosmx解

：

被

积

函

数

是

偶

函

数

，

所

以

??=

2 4sin??0x2?1dx?12???cosmxx2?1??dx，而

?

??cosmxx?12??dx=2?iResz?ieimzz?12?2?ie?m2i??e?m，于是有

???cosmxx?120dx?12?e?m。

22 计算积分

?5z?2z(z?1)2|z|?2dz. 知识点：利用留数定理

解：被积函数

f(z)?5z?2z(z?1)2有两个极点z?1,z?0，这两个极点都在圆周内

因此

?5z?2z(z?1)2|z|?2dz=2?i(Resf(z)?Resf(z))，而Resf(z)=limzf(z)=?2

z?0z?1z?0z?0而Rez?1sf(z)?(5z?2z)?|z?1?2z2|z?1?2，所以?5z?2z(z?1)2|z|?2dz=0。

23计算积分

?z12?sin2z|z|?2dz 知识点：利用留数定理或柯西积分公式。

解；由

12?sin2z?0得z?2k???4，这些点都是函数的一阶极点，而只有

，

而

k?0时奇点才在|z|?2z?2sinzcosz|?4内。，

?z12?|z|?2dz=

2?i(Resf(z)?Resf(z))z??sin2zz?2sinzcosz|?4z???Resf(z)?z??z????444Resf(z)?z??4z???4???4，所以

?|z|?2???dz?2?i??????2i

1?2??sin2z2z24计算积分

???2x2(x?1)2??dx 知识点：利用留数定理计算实的积分。 z2解：被积函数

f(z)?(z2?1)2有两个极点z?i,z??i，只有极点z?i在上半平面内

z2(z?i)所以

???2x2(x?1)5??dx=2?iResf(z)，=2?i(2z?i)?|z?i=2?i22zi(z?i)3|z?i??2

25求方程z解：设

?7z4?3z2?z?1?0在|z|?1内根的个数。知识点，利用儒歇定理。

f(z)?7z4,g(z)?z5?3z2?z?1，在f(z),g(z)在|z|?1，内解析，在|z|?1上连续，且在|z|?1上，

|f(z)|?|7z4|?7，|g(z)|?|z5?3z2?z?1|?|z5|?|?3z2|?|z|?1?6，所以在|z|?1上，

|f(z)|?|g(z)|，因此f(z)与f(z)?g(z)，在|z|?1内有相同的零点个数，所以z5?7z4?3z2?z?1?0在

|z|?1内有4个根。

26 设

f(z)在|z|?1内解析, 在边界上|f(z)|?1， 证明在D内存在一点z0使得f(z0)?z0。

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