解排列组合应用题的21种策略

解排列组合应用题的21种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

4解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4?24种，

答案：D.

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

52解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法种52数是A5A6?3600种，选B.

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即

15A5?60种，选B. 24.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三

211步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C7?2520种，选C.

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）

44C12C84C4A、CCC种 B、3CCC种 C、CCA种 D、种 3A3412484441248444124833答案：A.

6.全员分配问题分组法:

例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

23解析：把四名学生分成3组有C4种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故共有23C4A3?36种方法.

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：B.

7.名额分配问题隔板法:

例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，

6故共有不同的分配方案为C9?84种.

8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，

333然后安排其余学生有A8方法，所以共有3A8；③若乙参加而甲不参加同理也有3A8种；④若

甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A82种，

4332共有7A82方法.所以共有不同的派遣方法总数为A8?3A8?3A8?7A8?4088种.

9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

5解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个， 11311311313A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B.

（2）从1，2，3?，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A??7,14,21,被7整除的数组成的集合记做A??1,2,3,4,98?共有14个元素,不能

,100?共有86个元素；由此可知，从A中任取2

211个元素的取法有C14，从A中任取一个，又从A中任取一个共有C14，两种情形共符合要C86211求的取法有C14?C14C86?1295种.

（3）从1，2，3，?，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

解析：将I??1,2,3,100?分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A??4,8,12,100?；

能被4除余1的数集B??1,5,9,的数集D??3,7,11,97?，能被4除余2的数集C??2,6,,98?，能被4除余3

易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；99?，

从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要

2112求；所以符合要求的取法共有C25种. ?C25C25?C2510.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B).

例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

4332n(I)?n(A)?n(B)?n(A?B)?A6?A5?A5?A4?252种.

11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

14解析：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；所14以共有A3A4?72种。.

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）

A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

6解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A6?720种，选C.

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

2解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某1个元素排在后15半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有

125A4A4A5?5760种排法.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）

A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，

333故不同的取法共有C9?C4?C5?70种,选.C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙

2112型1台；故不同的取法有C5C4?C5C4?70台,选C.

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

2解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在四个盒中每次233排3个有A4种，故共有C4A4?144种.

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

22解析：先取男女运动员各2名，有C52C4种，这四名运动员混和双打练习有A2中排法，故共222有C5C4A2?120种.

15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）

A、70种 B、64种 C、58种 D、52种

解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C84四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C84?12?58个.

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

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