北师版七年级数学 《生活中的轴对称》全章复习与巩固提高知识讲解与练习
更新时间:2023-03-21 03:05:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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北师版七年级数学单元讲解和提高练习
知识全面设计合理含答案教师必备
《生活中的轴对称》全章复习与巩固(基础)
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形,增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称的概念,探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.
3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.
4.能按照要求,画出一些轴对称图形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、轴对称
【高清课堂:389304 轴对称复习,本章概述】
1.轴对称图形和轴对称
(1)轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
(2)轴对称
定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.
要求诠释:成轴对称的两个图形的性质:①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;
②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.
(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释:
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,那就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心.
3.角平分线
角平分线性质是:角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等;反过来,在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释:
前者的前提条件是已经有角平分线了,即角被平分了;后者则是在结论中确定角被平分,一定要注意着两者的区别,在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形;
(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.
如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角.
要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).
∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=180
2
A
?-∠
.
(2)等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三
线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
(3)等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”).
要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.2.等边三角形
(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.
要点诠释:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形.
(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°.
(3)等边三角形的判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【典型例题】
类型一、轴对称的判断与应用
1、(2015?泰安模拟)如图所示,把一个正方形对折两次后沿虚线剪下,展开后所得的图形是()
A.B.C.D.
【答案】B.
【解析】按照题意,动手操作一下,可知展开后所得的图形是选项B.
【总结升华】对于一下折叠、展开图的问题,亲自动手操作一下,可以培养空间想象能力.
举一反三:
【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的().
【答案】B ;
提示:从水中看物体——上下颠倒
2、如图,C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点,A 、B?是桌面上的两个球,怎样击打A 球,才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球?请画出A?球经过的路线,并写出作法.
【答案与解析】
解:作点A 关于直线CF 对称的点G ,连接BG 交CF 于点P ,则点P 即为A?球撞击桌面边缘
CF 的位置,A?球经过的路线如下图.
【总结升华】这道题利用了轴对称的性质,把AP 转化成了线段GP ,通过找A 点的对称点,从而确定点P 的位置.
举一反三:
【变式】已知∠MON 内有一点P ,P 关于OM ,ON 的对称点分别是1P 和2P ,12P P 分别交OM, ON
与点A 、B ,已知12P P =15,则△PAB 的周长为( )
A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24
【答案】A ;
提示:根据轴对称的性质,PA=P1A ,PB=P2B ,△PAB 的周长等于12P P .
类型二、线段垂直平分线性质
3、如图,已知AD 是线段BC 的垂直平分线,且BD=3cm ,△ABC 的周长为20cm ,求AC 的长.
【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质,可得AB=AC,BD=CD,然后根据等量代换,解答出即可.
【答案与解析】
解:∵AD是线段BC的垂直平分线,
∴AB=AC,BD=CD,
又∵BD=3cm,
∴BC=6cm,
又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm,
∴2AC=14,
AC=7cm.
【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质,线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
举一反三
【变式】如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是()
A.ED=CDB.∠DAC=∠BC.∠C>2∠BD.∠B+∠ADE=90°
【答案】D;
类型三、角平分线性质
4、如图,点O到△ABC的两边AB,AC的距离相等,且OB=OC.求证:
AB=AC.
【思路点拨】根据题意过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E,F分别是垂足,则
OE=OF,已知OB=0C,可证Rt△OEB≌Rt△OFC,从而得∠OBE=∠OCF,又由OB=OC 得∠OBC=∠OCB,可得∠ABC=∠ACD,即AB=AC.
【答案与解析】
证明:过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E,F分别是垂足,
由题意知,OE=OF.
在Rt△OEB和Rt△OFC中,
∵OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC,
∴∠OBE=∠OCF,
又由OB=OC知∠OBC=∠OCB,
∴∠ABC=∠ACD,
∴AB=AC.
【总结升华】本题考查了三角形全等的判定与性质.关键是根据题意证明三角形全等,得出相等角,利用等角对等边证明结论.
举一反三
【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等,则点D在()
A. BC的中线上
B. BC边的垂直平分线上
C.BC边的高线上
D.∠A的平分线所在的直线上
【答案】D;
类型四、等腰三角形的性质与判定
5、已知:一等腰三角形的两边长x,y满足方程组
23
328
x y
x y
-=
?
?
+=
?
,则此等腰三角形的
周长为()
A.5
B.4
C.3
D.5或4
【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长,由于没有指定边长是腰还是底,所以需要分类讨论,最后还要注意检验能否构成三角形.
【答案】A;
【解析】
解:解方程组
23
328
x y
x y
-=
?
?
+=
?
得
2
1
x
y
=
?
?
=
?
,
当腰为1,2为底时,1+1=2,不能构成三角形,
当腰为2,1为底时,能构成三角形,周长为2+2+1=5
【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形,涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.
举一反三:
【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°,则另两个内角的度数是()
A.55°,55°
B.70°,40°
C.55°,55°或70°,40°
D.以上都不对【答案】C;
提示:当70°为顶角时,另外两个角是底角,它们的度数是相等的,为(180°-70°)÷2=55°,当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°-140°=40°.
6、如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE
相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
【思路点拨】要判断△AFC的形状,可通过判断角的关系来得出结论,那么就要看∠FAC和∠FCA的关系.因为∠BAD=∠BCE,因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可.
【答案与解析】
解:△AFC是等腰三角形.理由如下:
在△BAD与△BCE中,
∵∠B=∠B,∠BAD=∠BCE,BD=BE,
∴△BAD≌△BCE,
∴BA=BC,∠BAC=∠BCA,
∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE,即∠FAC=∠FCA.
∴AF=CF,
∴△AFC是等腰三角形.
【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键.
举一反三:
【变式1】如图,∠1=∠2,AB=AD,∠B=∠D=90°,请判断△AEC的形状,并说明理由.
【答案】
解:△AEC是等腰三角形.
理由如下:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=∠2+∠3,即∠BAC=∠DAE,
又∵AB=AD,∠B=∠D,
∴△ABC≌△ADE(ASA),
∴AC=AE.
即△AEC是等腰三角形.
【变式2】如图,∠BAC=90°,以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD,M是BC的中点,请你探究线段DE与AM之间的数量关系.
【答案】ED=2AM
解:连接DE,
∵∠BAC=90°,M是BC的中点
∴AM=BM=MC=1
2 BC
∠EAD=∠BAC=90°,AE=AB,AC=AD
∴△ABC≌△AED
∴ED=BC
∴ED=2AM
类型五、等边三角形的性质与判定
【高清课堂:389303 等边三角形:例4】
7、如图,设D为等边△ABC内一点,且AD=BD,BP=AB, ∠DBP=∠DBC.求∠BPD的度数.
【答案与解析】
解:如图,连接CD,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,又AD=BD,DC是公共边,
∴△BDC≌△ADC(SSS),
∴∠DCB=∠DCA=1
2
×60°=30°,∠DBC=∠DAC,
∵∠DBP=∠DBC,
∴∠DAC=∠DBP,
又已知BP=AB,
∴BP=AC,
∴△DBP≌△DAC(SAS),∴∠P=∠ACD=30°.
【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质,在判定三角形
全等时,关键是选择恰当的判定条件.
举一反三:
【变式】(2015?营口)如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是
()
A.25°B.30°C.35°D.40°
【答案】B.
解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,
分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:
∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,
∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为C,
∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,
∴OC=OP=OD,∠AOB=∠COD,
∵△PMN周长的最小值是5cm,
∴PM+PN+MN=5,
∴DM+CN+MN=5,
即CD=5=OP,
∴OC=OD=CD,
即△OCD是等边三角形,
∴∠COD=60°,
∴∠AOB=30°;
故选:B.
《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)
责编:康红梅
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形,增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称的概念,探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.
3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.
4.能按照要求,画出一些轴对称图形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、轴对称
【高清课堂:389304 轴对称复习,本章概述】
1.轴对称图形和轴对称
(1)轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
(2)轴对称
定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.
要求诠释:成轴对称的两个图形的性质:①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;
②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.
(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释:
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,那就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,
直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心.
3.角平分线
角平分线性质是:角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等;反过来,在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释:
前者的前提条件是已经有角平分线了,即角被平分了;后者则是在结论中确定角被平分,一定要注意着两者的区别,在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形;
(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.
如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A 是顶角,∠B、∠C是底角.
要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).
∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=180
2
A
?-∠
.
(2)等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
(3)等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”).
要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.2.等边三角形
(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.
要点诠释:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形.
(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°.
(3)等边三角形的判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【典型例题】
类型一、轴对称的性质与应用
1、(2015?阳谷县一模)若∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1,P2,连接OP1,OP2,则下列结论正确的是()
A.OP1⊥OP2B.O P1=OP2
C.OP1≠OP2D.O P1⊥OP2且OP1=OP2
【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解.
【答案】D;
【解析】解:如图,∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2,
∴OP1=OP2=OP,
∠AOP=∠AOP1,∠BOP=∠BOP2,
∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2,
=2(∠AOP+∠BOP),
=2∠AOB,
∵∠AOB=45°,
∴OP1⊥OP2成立.
故选D.
【总结升华】本题考查了轴对称的性质,是基础题,熟练掌握性质是解题的关键,利用图形更形象直观.
举一反三:
【变式】如图,△ABC的内部有一点P,且D,E,F是P分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点.若△ABC的内角∠A=70°,∠B=60°,∠C=50°,则∠ADB+∠BEC+∠CFA
=()
A.180°
B.270°
C.360°
D.480°
【答案】C ;
解:连接AP ,BP ,CP ,
∵D ,E ,F 是P 分别以AB ,BC ,AC 为对称轴的对称点
∴∠ADB =∠APB ,∠BEC =∠BPC ,∠CFA =∠APC ,
∴∠ADB +∠BEC +∠CFA =∠APB +∠BPC +∠APC =360°.
2、已知∠MON =40°,P 为∠MON 内一定点,OM 上有一点A ,ON 上有一点B ,当△PAB 的周长取最小值时,求∠APB 的度数.
【思路点拨】求周长最小,利用轴对称的性质,找到P 的对称点来确定A 、B 的位置,角度的计算,可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.
【答案与解析】
解:分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ,2P ,连接12P P 交OM 于A ,ON 于B.则△PAB 为符合
条件的三角形.
∵∠MON =40°
∴∠12P PP =140°.
∠1
PPA =12∠PAB,∠2P PB =12∠PBA. ∴12
(∠PAB +∠PBA)+∠APB =140° ∴∠PAB +∠PBA +2∠APB =280°
∵∠PAB =∠1P +∠1
PPA , ∠PBA =∠2P +∠2P PB ∴∠1P +∠2P +∠12P PP =180°
∴∠APB =100°
【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型,将周长的三条线段的和转化为一条线段,
这样取得周长的最小值.
举一反三:
【变式】(2014秋?西城区期末)如图,动点P从(0,3)出发,沿所示的方向运动,每当碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,第一次碰到长方形的边时的位置为P1(3,0).
(1)画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中,运动的路径;
(2)当点P第2014次碰到长方形的边时,点P的坐标为.
【答案】
解:(1)如图所示;
(2)如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),
∵2014÷6=335…4,
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹,
∴点P的坐标为(5,0).
故答案为(5,0).
类型二、线段垂直平分线性质
3、如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,DE是AC的垂直平分线,线段DE=1cm,求BD的长.
【思路点拨】连接AD,根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出∠CAD=30°,再求出
∠BAD=90°,然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE,BD=2AD,代入数据进行计算即可得解.
【答案与解析】
解:连接AD,∵等腰△ABC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD,
∴∠CAD=∠C=30°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°,
在Rt△CDE中,CD=2DE,
在Rt△ABD中,BD=2AD,
∴BD=4DE,
∵DE=1cm,
∴BD的长为4cm.
故答案为:4cm.
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.
举一反三
【变式】如图,在△ABC中,∠A=50°,DE是线段AB的垂直平分线,E为垂足,交AC于点D,则∠ABD=_________ .
【答案】50°;
类型三、角平分线性质
4、已知:如图,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE、CD相交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.
证明:∵AO平分∠BAC,
∴OB=OC(角平分线上的点到角的两边距离相等)上述解答不正确,请你写出正确解答.
【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE,然后证明△DOB≌△EOC,可得证OB=OC.
【答案与解析】
证明:∵AO 平分∠BAC,CD⊥AB,BE⊥AC,
∴OD=OE,
在△DOB 和△EOC 中,
∠DOB=∠EOC,OD=OE ,∠ODB=∠OEC,
∴△DOB≌△EOC(ASA ),
∴OB=OC.
【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质,注意点到直线的距离是垂线段的长.
举一反三
【变式】如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E 、F 为垂足,对于结论:①DE=DF;②BD=CD;③AD 上任一点到AB 、AC 的距离相等;④AD 上任一点到B 、C 的距离相等.其中正确的是( )
A .仅①②
B .仅③④
C .仅①②③
D .①②③④
【答案】D ;
类型四、等腰三角形的综合应用
5、如图①,△ABC 中.AB=AC ,P 为底边BC 上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E 、F 、H .易证PE+PF=CH .证明过程如下:
如图①,连接AP .
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴ABP S △=12AB?PE,ACP S △=12AC?PF,ABC S △=12
AB?CH. 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△, ∴12AB?PE+12AC?PF=12AB?CH.∵AB=AC,∴PE+PF=CH.
(1)如图②,P 为BC 延长线上的点时,其它条件不变,PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:若∠A=30°,△ABC 的面积为49,点P 在直线BC 上,且P 到直线AC 的距离为PF ,当PF=3时,则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.
【答案】7;4或10;
【解析】
解:(1)如图②,PE=PF+CH .证明如下:
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴ABP S △=12AB?PE,ACP S △=12AC?PF,ABC S △=12
AB?CH, ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △,
∴12AB?PE=12AC?PF+12
AB?CH, 又∵AB=AC,
∴PE=PF+CH;
(2)∵在△ACH 中,∠A=30°,
∴AC=2CH.
∵ABC S △=
12AB?CH,AB=AC , ∴12
×2CH?CH=49, ∴CH=7.
分两种情况:
①P 为底边BC 上一点,如图①.
∵PE+PF=CH,
∴PE=CH -PF=7-3=4;
②P 为BC 延长线上的点时,如图②.
∵PE=PF+CH,
∴PE=3+7=10.
故答案为7;4或10.
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积,难度适中,运用面积证明可使问题简便,(2)中分情况讨论是解题的关键.
6、已知,如图,∠1=12°,∠2=36°,∠3=48°,∠4=24°. 求ADB 的度数.
【答案与解析】
解:将ABD △沿AB 翻折,得到ABE △,连结CE ,
则ABD ABE △≌△,
∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1=∠5=12°.
∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60°
∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =.
又∵∠2=36°,34BCD ∠=∠+∠=72°,
∴,BDC BCD BD BC ∠=∠=
∴BE =BC
∴BCE △为等边三角形.
∴.BE CE =
又,AB AC AE =∴垂直平分BC .
∴AE 平分BEC ∠. ∴
12AEB BEC ∠=
∠=30° ∴∠ADB =30°
【总结升华】直接求ADB ∠很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形,从而使其换个位置,看看会不会容易求.
举一反三:
【变式】在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =80°,D 为形内一点,且∠DAB =∠DBA =10°,
求∠ACD 的度数.
【答案】 A C D 1 2 3 B 5 E
解:作D关于BC中垂线的对称点E,连结AE,EC,DE
∴△ABD≌△ACE
∴AD=AE, ∠DAB=∠EAC=10°
∵∠BAC=80°,
∴∠DAE=60°,△ADE为等边三角形
∴∠AED=60°
∵∠DAB=∠DBA=10°
∴AD=BD=DE=EC
∴∠AEC=160°,
∴∠DEC=140°
∴∠DCE=20°
∴∠ACD=30°
类型五、等边三角形的综合应用
7、如图所示,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为
直线BC上一动点,△DMN为等边三角形.
(1)如图(1)所示,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?
(2)如图(2)所示,当点M在BC上时,其他条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图(2)证明;若不成立,请说明理由.
【答案与解析】
解:(1)EN=MF,点F在直线NE上.
证明:连接DF,DE,
∵△ABC是等边三角形,
∴ AB=AC=BC.
又∵ D,E,F是△ABC三边的中点,
∴ DE,DF,EF为三角形的中位线.
∴ DE=DF=EF,∠FDE=60°.
又∠MDN+∠NDF=∠MDF,∠NDF+∠FDE=∠NDE,
∵△DMN为等边三角形,DM=DN,∠MDN=60°
∴∠MDF=∠NDE.
在△DMF和△DNE中,
DF DE
MDF NDE DM DN
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△DMF≌△DNE,
∴ MF=NE,∠DMF=∠DNE.
∵∠DMF+60°=∠DNE+∠MFN
∴∠MFN=60°
∴FN∥AB,
又∵EF∥AB,
∴E、F、N在同一直线上.
(2)成立.证明:连结DE,DF,EF,
∵△ABC是等边三角形,
∴ AB=AC=BC.
又∵ D,E,F是△ABC三边的中点,
∴ DE,DF,EF为三角形的中位线.
∴ DE=DF=EF,∠FDE=60°.
又∠MDF+∠FDN=60°,∠NDE+∠FDN=60°,∴∠MDF=∠NDE.
在△DMF和△DNE中,
DF DE
MDF NDE DM DN
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△DMF≌△DNE,
∴ MF=NE.
【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.(2)题的证明可以沿用(1)题的思路.
【巩固练习】
一.选择题
1. (2015?河北)一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个圆形小孔,则展开铺平后的图案是()
A.B.C.
D.
2.直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的()
A.形内
B.形外
C.斜边的中点
D.不能确定
3. 以下叙述中不正确的是()
A.等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B.其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C.等腰三角形一定是锐角三角形
D.在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等;反之,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等
4.下列条件①有一个角为60°的三角形;②三个外角都相等的三角形;③一边上的高与中
线重合的三角形;④有一个角为60°的等腰三角形.能判定三角形为等边三角形的有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
5. 如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE ∥BC ,DE 交AB 于E, 且AB = BC ,则下列结论中错误..的是( )
A .BD⊥AC
B .∠A=∠EDA
C .BC =2A
D D .B
E =ED
6. 如图,△ABC 中∠ACB =90°,CD 是AB 边上的高,∠BAC 的角平分线AF 交CD 于E ,则△CEF 必为( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
7.下列说法中不正确的是( )
A.等边三角形是轴对称图形
B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分,则这两个图形关于这条直线对称
C.若△ABC ≌△111C B A ,则这两个三角形一定关于一条直线对称
D.直线MN 是线段AB 的垂直平分线,若P 点使PA =PB ,则点P 在MN 上,若11P A PB ,
则1P 不在MN 上
8.如图所示,Rt △ABC 中,∠C =90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ,交AB 于点E .当∠B =30°时,图中不一定相等的线段有( )
A .AC =AE =BE
B .AD =BD
C .C
D =D
E D .AC =BD
二.填空题
9. 如图,O 是 △ABC 内一点,且 OA =OB =OC ,若∠OBA =20°,∠OCB =30°,则∠OAC =_________.
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