历届希望杯竞赛试题

a

希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题

初一 第2试

一、选择题 （每小题6分，共60分） 以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请

将表是正确答案的英文字母添在每题后面的圆括号内。 1．

11

的相反数是（ ）（A）2000（B）（C） 2000（D）1 20002000

2．有如下四个命题：

① 有理数的相反数是正数

② 两个同类项的数字系数是相同的

③ 两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和 ④ 两个负有理数的比值是正数 其中真命题有（ ）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个 3．如图1，平行直线 AB、CD与相交直线EF、GH相交，途中的同旁内角共有（ ）

（A） 4对（B）8对（C）12对（D）16对

4．If [a] indicates the greatest integer less than a,then ( )

(A) a 1 [a] a (B) a 1 [a] a (C) a [a] a 1 (D) a 1 [a] a

5.已知三个锐角的度数之和大于180，则一定有一个锐角大于（ ）（A）81（B）76（C）

68 （D）60

a b c d6．如果有理数a,b,c,d满足a+b>c+d，则（ （）Aa b c d（B）

（C）a b c d（D）a b c d

3

3

3

3

4

4

4

4

2222

7．有三个正整数a,b,c，其中a与b互质且b与c也互质。给出下面四个判断：①(a c)

2

不能被b整除②a c不能被b整除③(a b)不能被c整除④a b不能被c整除

2

2

2

2

2

其中，不正确的判断有（ ）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

8．已知a是不为0的整数。并且关于x的方程ax 2a 3a 5a 4有整数根。则a的值共有（ ）（A）1个（B）2个（C）6个（D）9个

3

2

x2(ax5 bx3 cx)9．已知代数式当x=1时，值为1，那么该代数式当x= 1时的值是（

）

x4 dx2

a

（A）1（B） 1（C）0（D）2

10．在某班的新年晚会上，每个同学都写若干字条祝福他人，已知在任意四个人中，每一位都祝福其他三人中的至少一位，那么该班中没有得到其他同学祝福字条的同学最多有（ ）位（A）1（B）2（C）3（D）4 二、填空题 （每小题6分，共60分）

11．甲车的车轮转一周在地上的车轮印痕长为90厘米，乙车的车轮转120时，车轮印痕长为20厘米，那么，甲车轮直径是乙车轮直径是 倍 12．已知：a 3

138111100 6，b ( 1) 3 ( 5)，c ( 4) ( 2)，74911233

d

20

( 3)2，则a b c d 21

13．If x 3 , y 1 , z 4 ,and x 2y z 9, then x2y4z614.若(2x2 x 1)3 a0x6 a1x5 a2x4 a3x3 a4x2 a5x a6，则a1 a3 a515．已知a=1999，b=1。则a 2b 3ab 16．如图2，正方形ABCD的面积是1。AE=EB，DH=2AH，CH=3DG，BF=4FC。则四边形EFGH的面积是 17．从甲地到乙地是上坡路，从乙地到丙地是下坡路，王燕同学自甲地途径乙地到丙地，立即在沿原路返回甲地，公用3.5小时，已知王燕上坡速度相同，下坡速度也相同，并且走上坡路所用时间比下坡路所用时间多0.5小时。那么，王燕走上坡路共用了 小时

18．满足m n 331的正整数m和n的最大公约数记为k。那么所有这样的k值得和等于

19．在满足x 2y 3，x 0，y 0的条件下x 2y能达到的最大值是20．某商店每月的销售额存放在计算机中。用4位数码表示月份：第1，2位是年份数的

3

2

2

某软件提供自动统计的功能：输入开始、结束月份（如9910，0002），计算机则会输出从开始月份到结束月份的总销售额。该软件的统计方法是：检查存放数据中每个月的信息，

a

如果某一个月的4位数码的每一位都不大于结束月份对应位的数码，并且不小于开始月份对应位的数码，则将该月份的销售额计算在内，否则就跳过去，将计算机统计1999年9跃到2000年3月的总销售额记为a，实际总销售额为b，则a b等于 三、解答题 （每小题10分，共30分）

21

该人把五件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最

大，请你指出背包中所装物品时哪几件？他们的总价值是多少百元？

22．矩形ABCD的面积是36平方厘米。在边AB、AD上分别取点E、F，使得AE=3EB，DF=2AF，DE与CF的交点为O。计算 FOD的面积是多少平方厘米。

23．A和B是高度同为h的圆柱形容器，底面半径分别为r和R，且r<R。一龙头单独向A注水，用T分钟可以注满容器A。现将两容器在他们高度的一半处用一个细管连通（ 连通细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向注水A，问2T分钟时，容器A中水的高度是多少？（注：若圆柱体底面积半径为R，高为h，体积为V，则V Rh。）

答案

2

希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数，则( )．

a

A．a=0 B．a=－1 C．a=l D.不存在这样的a值

2．如图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数最接近的整数是( )．

A．－1 B．0 C．1 D．2

3．我国古代伟大的数学家祖冲之在距今1500年以前就已经相当精确地算出圆周率π是在

35522

为密率、为约率， 则( )． 1137

33335522

A．3．1415<π< B． <π<

1061137

33335522 C．<π< D．<π<1．429

1061137

3．1415926和3．1415927之间，并取

4．已知x和y满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式3x+12xy+y的值是 ( )． A．4 B．3 C．2 D．1

5．两个正整数的和是60．它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是( )． A．273 B．819 C．1911 D．3549

2

6．用一根长为a m的线同成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b m．现于这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为( )． A．

2

2

2b4b6b8bm 13．m C．m D．m aaaa

7．If we let(a)be the greatest prime number not more than a．then the result of

the expression((3)×(25)×(30))is( )． A．1333 B．1999 C．2001 lb．2249

(英汉小字典：greatest prime number最大的质数result结果；expression 表达式．) 8．古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行： 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

从左向右数，第l列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅 ，则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是( )． A．31 B．61 C．91 D．121

2

9．满足(a－b)+(b－a)|a－b|=ab(ab≠0)的有理数a和b，一定不满足的关系是( )． A．ab<O B．ab>0 C．a+b>0 D．a+b<0 lO．已知有如下一组x，y和z的单项式： 7xz，8xy，

32

3

121242323

xyz，－3xyz，9xzy，zy， xyz，9yz，xzy，0．3z． 25

我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看x的幂次，规定x幂

次高的单项式排在x幂次低的单项式的前面；再看y的幂 次．规定y的幂次高的排在y

a

的幂次低的前面；再看z的幂次，规定z的幂次高的排在z的幂次低的前面．

3

将这组单项式按上述法则排序，那么，9yz应排在( )． A．第2位 B．第4位 C．第6位 D．第8位 二、填空题(每小题5分，共50分)

l1．一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角．则这个锐角的度数等于 ．

220012000

12．If a+a=0，then the result of a+b+12 is l3．如图，△ABC中，D、E、F、G均为BC边上的点，且BD=CG，DE=GF=

1

BD，2

EF=3DE．若S△ABC=l，则图中所有三角形的面积之和为 ．

14．使关于x的方程|x|=ax+1同时有一个正根和一个负根的整数a的值是 ． 15．小明的哥哥过生日时，妈妈送了他一件礼物：即3年后可以支取3000元的教育储蓄．小明知道这笔储蓄年利率是3％(按复利计算)，则小明妈妈为这件生日礼物在银行至少要存储 元(银行按整数元办理存储)． 16．m为正整数．已知二元一次方程组

2

mx 2y 10

3x-2y 0

有整数解，即x,y均为整数，则m= ．

17．如图。矩形ABCD中，F是CD的中点，BC=3BE，AD=4 HD．若长方形的面积是300平方米，则阴影部分的面积等于 平方米．

18．一幅图象可以看成由m行n列个小正方形构成的大矩形，其中每个小正方形称为一个点，每个点的颜色是若干个颜色中的一个．给定了m，

n以及每个点的颜色就确定了一幅图象．现在，用一个字节可以存放两个点的颜色．那么当m和n都是奇数时，至少需要 个字节存放这幅图象的所有点的颜色． 19．在正整数中．不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是

20．在密码学中，称直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25．现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为x1，x2,x3,x4．已知整数x1+2x2，3x2，x3+2x4，3x4除以26的余数分别为9，l6，23，12，则密码的单词是 ． 三、解答题(21、23题各15分，22题20分，共50分)

21．有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8．这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3,6，3，9．－10，－1，9，8．继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?

22．如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C +∠D． 证明：β=2α． 23．一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位．

生

a

产一个小熊要使用l5个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元?

一. 选择题： 1. A 6. C

2. C 7. B

3. C 8. B

4. D 9. A

5. B 10. D

二. 填空题（本大题共60分。对于每个小题，答对，得6分；答错或不答，不给分） 11. 60 15. 2746 19. 17 三. 解答题：

12. 12 16. 4 20. hope

13. 7

14. 0 18.

17. 137.5

1

(mn 1) 2

，a，a， ，a 21. 一个依次排列的n个数组成一个n一数串：a， 123n

依题设操作方法可得新增的数为：

a a，a a，a a， ，a a213243nn 1 所以，新增数之和为：

( a a) (a a) (a a) (a a) a a(*)213243nn 1n1 原数串为3个数：3，9，8

第1次操作后所得数串为：3，6，9， 1，8

根据（*）可知，新增2项之和为：6 ( 1) 58 3 第2次操作后所得数串为： 3，3，6，3，9， 10， 1，9，8 根据（*）可知，新增2项之和为：

3 ( 10) 9 5 8 3 3

按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为： ( 13 9 8) 100 (8 3) 520 22. 证法1：因为A， B//ED 所以

A E 180（两直线平行，同旁内角互补）

过C作C（如图1） F//AB

因为A，所以C（平行于同一条直线的两条直线平行） B//EDF//ED

B 1F//AB 因为C，有 ，（两直线平行，内错角相等）

a

又因为C，有 ，（两直线平行，内错角相等） 2 DF//ED 所以定义）

所以 2 （等量代换） 证法2：因为A， B//ED 所以

（两直线平行，同旁内角互补） A E 180

（周角 B C D 1 BCD 2 360

过C作C（如图2） F//AB

因为A，所以C（平行于同一条直线的两条直线平行） B//EDF//ED 因为C，有 ，（两直线平行，同旁内角互补） B 11 80F//AB 又因为C，有 ，（两直线平行，同旁内角互补） 2 D 180F//ED 所以 B C D

B ( 1 2) D ( B 1) ( 2 D) 180 180 360

所以 2 （等量代换）

23. 设小熊和小猫的个数分别为x和y，总售价为z，则z（*） 80x45y5(16xy 9) 根据劳力和原材料的限制，x和y应满足

5x 104y 50，20xy 54 00 1

x y90 化简为32x y 180 及4

(1)

(2)

当总售价z时，由（*）得 2200

69x y 440(3) 1

6xy 97 20 (2) 9得3

(4) 4) (3)得20x 720 440 280 (，

14(A) 即x 927

x 9y 405()

5 (1) 得

22

a

5

， x 440 405 35

2

即x 14()B 综合（A）、（B）可得x ，代入(3)求得y 24 14

(3) (5)得

当x时，有3满足工时和原料的约束条件， 14，y 24x 2y 90，4xy 80此时恰有总售价

z（元） 80 14 45 24 2200

答：只需安排生产小熊14个、小猫24个，就可达到总售价为2200元。

希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题

一、选择题．(每小题5分，共50分)

1．2002+(-2002)－2002 ×(-2002)÷2002=( )． A．－4004 B－2002 C．2002 D．6006． 2．下列四个命题：

①如果两个角是对顶角，则这两个角相等． ②如果两个角相等，则这两个角是对顶角． ③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等． ④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 其中正确的命题有( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．爸爸给女儿园园买了一个(圆柱形的)生日蛋糕，园园想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块(不少于10块)，分给1 O个小朋友，若沿竖直方向切分这块蛋糕，至少需要切( )刀．

A．3 B．4 C．6 D．9

2222

4．当x取1到10之间的质数时，四个整式：x+2，x+4，x+6和x+8的值中，共有质数( )个．

A．6 B．9 C．12 D．16

2

5．1f a is an odd nurnber，then there must exist an integer n such that a—l =( )． (英汉小字典：odd number奇数；there must exist一定存在；such that使得) A．3n B．5n C．8n D．16n

6．如图，直线上有三个不同的点A、B、C，且AB≠BC．那么，到A、B、C三点距离的和最小的点( )．

A．是B点 B．是线段AC的中点 C是线段AC外的一点 D．有无穷多个

a

7．下面四个命题中一定不正确的命题是( )．

2772

A．3ab和7ba是同类项 B．3x－1=O和3+

2

=0是同解方程 x-1

C．a－3和3－a互为倒数

33

D．x－6和－x—6互为相反数

8．如图，O为直线AB上的一点，OM平分∠AOC，0N平分∠BOC，则图中互余的角有( )．

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

9．如图3，点A、B对应的数是a、b，点A在一3、－2对应的两点(包

括这两点)之间移动，点B在－1、0对应的两点(包括这两点)之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是( )．

A．b－a B．

1112

C． D．(a－b)

abb a

l O．Let a be the average0f aIl odd prime numbers less than50．The integer， most

close to a is( )．

(英汉小字典：average平均值；odd prime number奇质数．) A．23 B24 C．25 D．26 二、填空题(每小题5分，共50分)

11．2002年8月，在北京召开国际数学家大会．大会会标如图4所示．它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1．则每个直角三角形的两条直角边的立方和等于 ．

12．数学小组中男孩子人数大于小组总人数的40 %且小于50%，则这个数学小组的成员至少有 人．

13．甲、乙两同学从400 m环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2 m和每秒3 m的速度慢跑．6 s后，一只小狗从甲处以每秒6 m的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6 m的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇．那么小狗共跑了 m． 14．小红的妈妈将一笔奖金存入银行，一年定期，按照银行利率牌显示：定期储蓄一年的年利率是2．25％，利息税是20％，经计算，小红的妈妈可在一年后得到税后利息108元，那么小红的妈妈存入的奖金是 元． 15．如图所示，边长为3cm与5 cm的两个正方形并排放在一起．在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧．则阴影部分

2

的面积是 cm(π取3)．

16．一辆新型家庭轿车油箱的容积为50 L，加满油由北京出发前往相距2300 km的第九届全国运动会举办地广州，已知汽车行驶100 km耗油8 L，为保证行车安全，油箱内至少应存油6 L，则在去广州的途中至少需要加油 次．

a

17．如图所示的是蜂巢的一部分．从中间阴影算起，有27层，每个正六边形的小室中放进一个幼蜂，那么这个蜂巢总计可以放 只幼蜂． 18．已知x=2，y=－1，z=－3是三元一次方程组

mx-ny-z 7 2

2nx-3y-2mz 5 ．的解，则m—7n+3k= ． x y z k

19．5位数2X9Y1是某个自然数的平方，则3X+7Y= ．

20．研究发现，某种感冒药含有使人感到困倦的物质，如果成年人按规定剂量服用，服药

-6

后3 h时血液中这种物质的含量最高(每毫升血液中含6微克，l微克=10克)，随后逐步减少，在9 h的时候，血液中这种物质的含量降到每毫升3微克，当每毫升血液中该物质的含量不少于4微克时，人会有困倦感，那么服用这种药后人会有困倦感的时间会持续 小时(设人体对该药物的吸收与释放是均匀的)． 三、解答题(21、22题各15分，23题20分，共5O分)

21．为鼓励居民用电，某市电力公司规定了如下电费计算方法： 每月用电不超过100度，按每度电O．50元计费；

每月用电超过100度，超出部分按每度电0．40元计费．

(1)若某用电户2002年1月交电费68．00元，那么该用户1月份用电多少度? (2)若某用电户2002年2月平均每度电费0．48元，那么该用户2月份用电多少度?应交电费多少元?

2

22．△ABC的面积是1 cm．如图所示，AD=DE= EC，BG=GF=FC，求阴影四边形的面积．

23．我国除了用公历纪年法外，在很多场合还采用干支纪年法表示年代．例如：公历2002年，干支纪年为壬午．

天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；

地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥． 将天干的10个汉字与地支的12个汉字对应排列成如下两行： 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 ，

子丑寅卯辰已午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 ． 同一列上下对应的两个字就是一个于支年年号． 请你阅读下面的故事：

我国著名的数学家苏步青在1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事：“我有一个学生研究古典文学，送我好几本研究苏东坡的文集，我翻看了一篇《赤壁赋》，《赤壁赋》是苏东坡哪一年写的?书上印的是1080年，苏东坡生于1037年，活了64岁．《赤壁赋》开头几句就是：壬戌之秋，七月既望．大家知道1982年是干支纪年法的壬戌年．我一看苏东坡写《赤壁赋》的年代是1080年，就知道一定是错的．"

请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算"得出这个结论的?并推算苏东坡是哪一年写的《赤壁赋》

?

a

答案

三、解答题 21、（1）100度电的电费为

0.50×100＝50(元) 又 68＞50

所以该用户1月份的电量超过了100度,超出部分为

68 50

45(度)

0.40

该用户1月份共用电100+45=145(度)

(2)设该用户2月份用电x度，则应交电费0.48x元. 因为 2月份平均每度电交0.48元电费 所以 2月份用电量超过100度 根据题意列方程 得

0.50×100＋0.40(x－100)＝0.48x 整理 得 50＋0.40x－400.48x 即 (0.48－0.40)x＝50－40 解得 x＝125(度)

0.48x＝0.48×125＝60.00(元)

答：该用户1月份用电145度；2月份用电125度,应交电费60.00元 22、解：如图7，设AG与BE交于N，AF与BE交于P， 连接

NC，ND，PC，PD

设△NGB的面积为x，△NGE的面积为y，则有△NCG的面

D 积为2x，△NEA的面积为2y

因为 △ABC的面积是1平方厘米

E 且AD=DE=EC，BG=GF=FC 所以 △BCE，△ACF的面积是

△ACG的面积是

1

平方厘米 3

2

平方厘米 3

图7

a

11

3x y x 321

所以 解得

2x 3y 2 y 4

321 1

平方厘米 21

设△PCF的面积为u，△PCE的面积为v，则有

所以△NGB的面积是

1

3u v 3

u 3v 1 3

21 即 u v 36

1

即 四边形PECF的面积是平方厘米

6

1115

所以 阴影四边形的面积= （平方厘米）

321642

所以 4u 4v

23、（1）理由如下：

因为 12与10的最小公倍数是60， 所以 干支纪年法每60年为一个循环

因为 1982年壬戌年，而1982－1080 = 902 而 902显然不是60的倍数

所以 1908年秋天不可能是“壬戌之秋”

所以 苏步青一看苏轼（苏东坡）写《赤壁赋》的时间是1080年，就知道一定是错

的

（2）因为 1982－1080 = 900是60的倍数

又 1982年是壬戌年，所以 1082年也是壬戌年 故 1082年之前的壬戌年是1082－60 = 1022

1082年之后的壬戌年是1082＋60 = 1142

又 苏轼（苏东坡）生于1037年，活了64岁，而

1037＞1022，且1143＞1037＋64

所以 可由《赤壁赋》中的“壬戌之秋”推测，苏东坡写《赤壁赋》的时间是1082年

希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题

一、选择题(每小题5分．共50分)

a

1．某班有30名男生和20名女生．60%的男生和30％的女生参加了天文小组，该班参加天文小组的人数占全班人数的( )．

A．60％ B．48％ C．45％ D．30％

2

1 4.5

(1 2)22.=( )

15 | | 1.3223 122177292A．－ B．－ C．－ D．－

20452045

3．数轴上的点A、B、C分别对应数：0，－1．x，C与A的距离大于C与B的距离，则( )． A．x>0 B．x>－1 C．x<-

1

D．x<－1 2

4．对任意的三个整数．则( )．

A它们的和是偶数的可能性小 B．它们的和是奇数的可能性小 C．其中必有两个数的和是奇数 D．其中必有两个数的和是偶数

5．油箱装满油的一辆汽车在匀速行驶．当汽油愉剩油箱体积的一半时就加满油．接着义按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有

1

体积的汽油．设油箱中所剩汽油量为V(升)，3

时间为t(分钟)．则V与t的图象是( )．

6．将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形( )．

A不可能是等腰三角形 B．不可能是直角三角形 C．不可能是等边三角形 D．不可能是钝角三角形

7．有一个最多能称16 kg的弹簧秤，称重时发现，弹簧的长度(cm)与物体的重量(kg)之间有一定的关系．根据下表考虑：在弹簧称重范围内．弹簧最长为( )cm

A．18 16．19 C．20 D．21 8．If(a)=

a(a 1)

for all integers(整数) a，and b=<8)，then(b) is( )． 2

A．36 13．72 C．666 D．1332

9．有一串数：－2003，－1999，－1995，－1991 按一定的规律排列，那么这串数中前( )个数的和最小．

A．500 B．501 C．502 D．503 1O．“希望杯”四校足球邀请赛规定：

a

(1)比赛采用单循环赛形式；

(2)有胜负时，胜队得3分，负队得O分； (3)踢平时每队各得1分．

比赛结束后，四个队各自的总得分中不可能出现( )．

A．8分 B．7分 C．6分 D．5分 填空题(每小题5分．共50分)

11．如果方程2003x+4a=2004a－3x的根是x=l，则a= ． 12．如图中的大、小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于74平方厘米。则阴影三角形的面积是 平方厘米．

232

13．如果x+x－1=0，则x+2x+3= ．

14．If a，b，c，d are rational numbers(有理数)，|a－b|≤9，|c—d|≤16 and |a－b－c+d|=25，then |b－a|-|d—c|= ． 15．a和

18

都是正整数，则a= ．

a2 a 2

16．如图，ABCD是平行四边形，E在AB上，F在AD上，S△BCE=2S△CDF=

1

S□ABCD=1，则S△CEF= ． 4

17．用中心角为120°，半径为6 cm的扇形卷成一个圆锥(没有重叠)，

2

这个圆锥的表面积是 cm．

18．画一条直线，可将平面分成2个部分，画2条直线，最多可将平面分成4个部分，那么，画6条直线最多可将平面分成 个部分． 19．a与b互为相反数，且|a－b|=

a ab b4

。那么2= 5a ab 1

3

20．正整数m和n有大于1的最大公约数，且满足m+n=371，则mn= 。

三、解答题(21、23题各15分，22题20分，共50分)

21．某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图所示的大正方形．请问该同学的想法能实现吗?如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能，请说明理由．

22．规定：正整数n的“H运算"是 ①当n为奇数时，H=3n+13； ②当n为偶数时．H=n×

11

× × (其中H为奇数)． 22

如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算"的结果是11。经过3次“H运算”的结果是46． 请解答：

(1)数257经过257次“H运算"得到的结果．

(2)若“H运算”②的结果总是常数a，求a的值．

a

23．救灾指挥部，将救灾物品装入34个集装箱：4吨的集装箱3个，3吨的集装箱4个，2．5吨的集装箱5个。1．5吨的集装箱10个，1吨的集装箱l2个，那么至少需要多少辆载重5吨的汽车才能一次将这些救灾物品运走?提出你的运输方案．

参考答案: 一.BACDA,DDCBA.

二.11.1.003; 12.7; 13.4; 17.16 ; 三.

21.答:不能实现.

理由:假设能够实现,不妨设中间小正方形的边长为x(x>0),左下角的正方形的边长为y(y>0),则左上角的正方形的边长为(y-x),右上角的正方形的边长为(y-2x),于是有右下角的正方形的边长为(y-3x)或(y+x). 所以,y-3x=y+x, 于是4x=0,得x=0.

与x>0矛盾,所以该同学的想法不能实现.

H

b,则257经过 22.(1)一个正整数n经达一次“H运算”的结果是b,记为:n H

257×3+13=784; 笫1次“H运算”:257

14.-7; 20.196.

15.4;

7

16.;

4

18.22; 19.

4

; 25

H

784×笫2次“H运算”:784

1

=49; 24

H

49×3+13=160; 笫3次“H运算”:49

H

160×笫4次“H运算”:160

1

=5; 25

H

5×3+13=28; 笫5次“H运算”:5

H

28×笫6次“H运算”:28

1

=7; 22

H

7×3+13=34; 笫7次“H运算”:7

1H

34×=17; 笫8次“H运算”:34

2

H

17×3+13=64; 笫9次“H运算”:17

a

H

64×笫10次“H运算”:64

1

=1; 26

H

1×3+13=16; 笫11次“H运算”:1

H

16×笫12次“H运算”:16

1

=1; 24

H

1×3+13=16; 笫13次“H运算”:1

H

16×笫14次“H运算”:16

1

=1; 24

从笫11步以后出现循环,奇数步的结果为16,偶数步的结果为1. 因此,笫257步后的结果为16.

(2)若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环,此时“H运算”②的运算结果总是a,则a一定是个奇数,那么,对a进行“H运算”①的结果a×3+13是偶数. 再对a×3+13进行“H运算”,即 a×3+13乘以于是

1

的结果仍是a, 2k

a 3 13

=a, 2k

k

也即a×3+13=a×2, 即a×(2-3)=13=1×13. 因为a是正整数, 所以2-3=1或2-3=13, 解得k=2或k=4. 当k=2时,a=13; 当k=4时,a=1.

23.为了用载重量5吨的汽车将救灾物品一次运走,我们应将不同规格的集装箱进行有效组合,即尽量使每一节汽车都能装满.

由题设可知,物资总重63.5吨,而12<63.5÷5<13,由此可知,要把救灾物品一次运走,需要的汽车不能少于13辆. 于是我们提出如下设计方案:

A类:每辆装4吨集装箱1个和1吨集装箱1个,按排3辆汽车;

k

k

k

a

B类:每辆装3吨集装箱1个和1吨集装箱2个,按排4辆汽车; C类:每辆装2.5吨集装箱2个,按排2辆汽车;

D类:每辆装2.5吨、1.5吨、1吨集装箱各1个,按排1辆汽车; E类:每辆装1.5吨集装箱3个,按排3辆汽车; 而3+4+2+1+3=13(辆),

因此,要把救灾物品一次运走,需要汽车至少13辆.

希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题

一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个正确的，请将表示正确答案的英文字母填在后面的圆括号内。

1、已知a 15，则a是（ ）

A、合数 B、质数 C、偶数 D、负数 2若7a+9|b|=0，则ab2一定是（ ） A、正数 B、负数 C、非负数 D、非正数

3、a与b之和的倒数的2003次方等于1，a的相反数与b之和的2005次方也等于1，则a2003+b2004=（ ）

A、22005 B、2 C、1 D、0

4、如图1，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，将三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上移动2秒，这时，三角形扫过的面积是（ ）平方厘米。

A、21 B、19 C、17 D、15

5、小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种水果，由于葡萄每公斤提价5角钱，苹果每公斤降3角钱，买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21元，则春节后购物时，（葡萄、苹果）每公斤的价格分别是（ ）元。

A、（2.5，0.7） B、（2，1） C、（2，1.3） D、（2.5，1）

26、当x 1时，代数式2ax 3bx 8的值为18，这时，代数式9b 6a 2=（ ）

A、28 B、—28 C、32 D、—32

7、The sum or n different postitive integers is less than 50.The greatest possible value of n is（ ）

A、10 B、9 C、8 D、7 （英汉小词典positive integer：正整数）

a

8、已知∠A与∠B之和的补角等于∠A与∠B之差的余角，则∠B=（ ） A、75° B、60° C、45° D、30° 9、如图2，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。根据图中三种状态所显示的数字，“？”表示的数字是（ ）

A、1 B、2 C、4 D、6

10、若a，b都是有理数，且

a2 2ab 2b2 4a 8 0，则ab=（ ）

A、—8 B、8 C、32 D、2004

二、填空题（每小题5分，共50分，含两个空的小题，前空3分，后空2分） 11、若正整数x，y满足2004x=15y，则x+y的最小值是___________；

12、数列1，12，3，5，8，13，21，34，55， 的排列规律：前两个数是1，从第3个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波契数列，在斐波契数列前2004个数中共有___________个偶数。

13、2004年6月2日依照美语习惯写作6/3/2004，依照英语习惯写作3/6/2004，像6/3/2004就难以判断是美语日期还是英语日期，也难以判断是哪一天，称为易混日期，而4/18/2004显然是美语日期，可以准确断定为2004年4月18日；18/4/2004显然是英语日期，可以准确断定为2004年4月18日；2/2/2004虽不能断定是美语日期还是英语日期，但总可断定为2004年2月2日，这些都是不混日期。那么每月有易混日期___________个；2004年全年的不混日期共有___________个。

14、若x2 3x 1 0,则x3 5x2 5x 18 ___________。

15、如图3，甲、乙两船同时从B港分别向C港和A港行驶。已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，A、B两港相距540千米。甲船3小时后到达C港，然后立即驶向A港，最后与乙港同时到达A港，则乙船速度是___________千数/小时。

16、If n is appositive integer,and if the units’ digit of n2 is 6 and the units’ digit of (n-1)2 is 9,the unist’ digit of (n-1)2 is___________。

17、用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是7×20，则围成这个长方形最少需要___________条长为1的线段，它的面积是___________。

3x 4y 3

18、关于x，y的方程组 的解x,y的和等于1，则m的值是______

2mx 3y 2

19、甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字。已知甲每完成8页，乙恰

能完成7页，若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了___________页。

a

20将2004写成若干质数的乘积，如果a，b，c是这些质数中的三个，且a＜b＜c，那么关于x,y的方程组

bx ay 1

的解是x=_____，y=_______。

ax cy 165

三、解答题（每题10分，共30分）要求：写出推理过程。 21、观察下面的等式

2 2 4,31 3 4,2241 4 5,3351 5 6,42

2 2 4;31

3 4;2241 4 5;3351 5 6.42

（1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小

明的猜想正确吗？为什么？

（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想。

22、能否在图4中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？所果能填，请填出一例；如果不能填，请说明理由。

23、在3×3的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8，和x，使得各行、各列所填三个数的和都相等，请确定x的值，并给出一种填数法。

参考答案及评分标准

二、填空题（每小题5分，含两个空格的，前空3分，后空2分）

21．（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例；如1×3≠1+3 （4分） （2）将第一组等式变形为：

22

2 4， 2 4 11

a

n 1n 1

(n 1) (n 1)” （7分） nn

1n 1

右边 证法1：左边＝(1 )(n 1) (n 1)

nn

得出如下猜想：“若n是正整数，则

所以猜想是正确的 （10分）

n 1n(n 1)(n 1)2 证法2: 右边＝＝左边 nnn

所以猜想是正确的 （10分）

22．不能填，理由如下：

设所填的互不相同的4个数为a, b, c, d；则有

2

2

2

① ② ③

2

（4分）

①－②得 c d d c c d

因为： c≠ d，只能是c = -d ④ （6分）

同理可得 c b 因为 c ≠b ,只能c = -b ⑤ （8分）

比较④，⑤得b=d ,与已知b≠d矛盾，所以题设要求的填数法不存在。（10分） 23、因为，x是正整数，所以表中各行或各列三数之和都是相等的正整数即：

2

22

2

1 2 3 4 5 6 7 8 xx

12 （2分）

33

不妨设a,b与x在同一行，c，d与x在同一列，则有

x2

－x＝12－x （4分）

33

1 2 3 4

5 又 a＋b和c＋d的最小值是2

2x212x

5,即x （6分） 又因为 12 ＝a b是整数，且x是不同于所以 12 323

a＋b＝c+d＝12＋

1，2，3，4，5，6，7，8的正整数，因此x＝9 （8分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/q5k4.html