细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导

细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导

第化曲线

期由图中可见,

冯贤桂

细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导

当接近根部时二者有明显的分离

洁的优点

,

但在根部还有一定的误差

而且仅能求解均布载,

结

论材料力学解几时误差将超过。

荷问题级数解给出了完全满足边界条件的解而且适用于

在

时可用

,

当大于

沿长度任意变化的分布载荷

但缺点是级数收敛较慢

当轴较短时忽略几。,

,

几,与‘

。

将为同量级

,

材料力学解,,

参

考

文

献,

误差将非常大解作为对材料力学解的改进具有表达式简

王敏中王炜武际可弹性力学教程北京北京大学出版社

细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导冯贤桂重庆大学工程力学系,

重庆

摘要利用细长压杆微小弯曲的平衡条件得到了压杆挠曲线近似微分方程,

,

将挠曲线的初参数解用于几种常见支承条

件的细长压杆

,

可以方便地求得相应的临界压力欧拉公式,

关键词细长压杆

临界压力

,

初参数解,

材料力学中对细长压杆临界压力欧拉公式的推导通常是分几种不同的支承条件,

列出各自的挠曲线近似微分方程,

来求解明

这种方法过程繁杂

教材中一般不可能全部推导证

图

对此微小弯曲压杆建立平衡方程文献【利用弯矩表示的弹性曲线近似微分方程和相,

应的力的边界条件对不同支承条件下的压杆临界压力欧拉公式作了统一推导

艺二

,

二

,

。

。

但是压杆稳定问题本质上是属于压杆整还应考虑到压

一

,一,

体变形效应问题力

,

应在压杆微小弯曲平衡状态下计算临界压压杆各横截面上的剪力相等的弯矩,

仅利用力的边界条件来求解是不恰当的,

其值都为

一甘召将式一日一中

厂

杆端部的变形

这一点在文献闭中已经指明

劝代入压杆弹性挠曲线近似微分方程可得

本文利用细长压杆微小弯曲平衡条件建立近似微分方程式,

得到了挠曲线初参数解及确定压杆临界压力的统一公式中包含了压杆端部的力和变形的边界条件利用统一

酬鄂

,

,

公式可得到几种不同支承条件下压杆的临界压力

弓,

劣一

亏

习》

一常护‘

于片护工乃」

二东二丈玉

叭

设有一受轴向压力作用的细长压杆,

,

最小抗弯刚度为,

尸,

、

压杆长度为,

图

取出长为,

,,

的

一段压杆

不失

乃劣一一一

上式川化为几

一般性,,

还应考虑压杆横截面上的剪力和杆端的剪力

以及杆端的变形,

弯矩

如图

所示式

习

夕

口一片尹」

六〕打

劣

一

梦〔

即为压杆微弯弹性曲线近似微分方程,

,

用初参数法求

解

并注意到夕

尸二

矛‘

,

可得

,

二

劣

十

尸工

图

一几尸一一

一

几劣

一

一

收到第

稿

,

收到修改稿

细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导

力此式即为压杆弹性曲线表达式式中夕,

学,

与

实

践

年第

卷

,

,

分别为压杆在

二

处的挠度转角剪力和弯矩将式夕吮气丁

、

、

卜,卜‘”冲

。

代入

司二

二

可得弯矩方程。二

对式

一丑

。

。

汀

。。

。二

塑

,

。二

即为推导不同支承条件下细长压杆临界压力欧拉公式

的基本方程

式中同时含有压杆的力和变形的边界条件、

其图

中弯矩

、

剪力转角的符号采用文献阎中的符号规定两端铰支压杆

压杆受力如图

所示边界条件为,,

,,

二,

,

对笋山一,

,

代入式

,

得金

百夕

尸

、

“,

二,

一端固定

,

一端铰支压杆,

二

田士作一

设

二

处为固定端,

二

二

处为铰支端图,

,

边界条,

故有

,

其最小根为耐

二

所以牡

一

件为一,

,

一,

护

二君

得临界压力为

代入式。,

,

得。

夕里二几·

可以,

化简为

此方程最小根为二

一‘‘”几一‘,

华

于是可得临界压力

顶厕

豆

图

两端固定压杆压杆受力见图,,

边界条件为,

,

二

,

。,

一

二

,

即

。

一

代入式由,

得到

耐

,

此方程最小根为作

竿一奇

得临界压力设动反,

一端固定二

,

一端定向支承压杆,

处为固定端,

二,

处为定向支承,

,

即不能转

但沿水平方向可以滑动故边界条件为,

轴向允许少量移动图,,

由,

变形的对称性可知入式可得作

压杆两端的弯矩数值相等但其符号相一二,

代,

、

一

,

其最小根

即

二

临界压力

吩图

羊

一竺}

、

下

一端固定

,

一端自由压杆,

设

二

处为固定端,

二,

处为自由端图,

边,

界条件为,

代入式,

可得

由于。,

并”

,

所以万

其最小图

产

根为耐一”“

普即,’一

一

去临界压力一”一‘’

一

‘

弓“若汗

细长压杆临界压力欧拉公式的统一推导

第

期一端弹性支承,

张仲毅一端自由压杆,

细长压杆临界挠度的一级非线性解

其中,

尸

。

,

化简后得,

耐,

。‘

设

二

处为弹性支承图,·

弹

簧转动刚度为二,

二,

鬓允乙

此方程即

处为自由端

代入式,

边界条件为可得一,

是压杆稳定的方程

求得耐以后

即能得到临界压力

斋二

牡‘

一

‘

,

由于方程,

尸二

矛

化简后为,

。

’

此即压杆稳定的

求解出耐以后

便可得到临界压力

图

由以上各例可以看出文中推导的细长压杆临界压力统,

图

一公式有一定应用价值

设一端弹性支承二

,

一端铰支压杆,

处为弹性支承图一

弹簧转动刚度为,

,

二

参二

考

文

献

处,

为铰支端一,

边界条件为,

李有兴

,

肖芳淳用弯剪矩阵法确定压杆临界力的教学研究力,

一

由此有

令“

“

,

’

代入式

学与实践

,

、,

得一

张春晓关于弯剪矩阵的思考力学与实践

,

、,

二

,

、

、。

奥

,

。‘一

刘鸿文

材料力学第三版

北京

高等教育出版社

细长压杆临界挠度的一级非线性解张仲毅江汉大学机电及建筑工程学院,

武汉,,,

摘要给出细长压杆临界挠度的一级非线性解从而简单明了地解释了材料力学教学中细长压杆临界挠度不能确定的原因

,

“,一

昌一

,

,,

,

,

求出其解为一一

关钮词细长压杆

,

临界挠度

,

非线性由第此式

涯一,

公

劣

而,一。

一

将图

中两端铰支的细长压杆挠曲线精确微分方程取

个边界条件简化为

当

二

时

,

求得

一

李

非线性一级近似得

一

而李耐了二

劣

第

个边界条件闭为当先求乙由,

二

一乙

时

,

夕

,

其中

乙

为

压杆一端相对另一端的纵向位移

户

一丈乙一’

曰

乙

了。

夕三“

’‘

二

本文于

一

一

收到

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